无穷级数习题及答案

PAGE1PAGE3第十一章无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1．；2．；3．。判断下列正项级数的敛散性4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．。求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛11．；12．；13．；14．；求下列幂级数的收敛半径和收敛区间15．；16．；17．；18．；19．；20．；求下列级数的和函数21．；22．；将下列函数展开成的幂的级数23．，；24．，；25．，；26．，；将下列函数在区间上展开为付里叶级数27．，。28．，29．将函数展开成付里叶级数。30．将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。(B)用定义判断下列级数的敛散性1．；2．；3．；判断下列正项级数的敛散性4．；5．；6．，()；7．，其中()，，，均为正数；8．，()；9．；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛10．；11．；12．；求下列幂级数的收敛半径和收敛域13．；14．，(,)；15．；16．；求下列级数的和函数17．；18．；19．；20．求证：；求下列级数的和9．10．展开为幂级数，并推出。11．求级数的收敛区间及和函数。12．设函数，试分别将展成为以为周期的区弦级数和余弦级数。13．将周期函数，展为付氏级数，并据此求周期函数，，的付氏级数，求下面级数。第十一章无穷级数(A)1．解：∵，(),∴原级数发散。2．解：∵，()，∴原级数收敛且和为。3．解：∵，()，∴原级数收敛且和为。4．解：∵，∴由比值判别法知原级数发散。5．解：∵，∴由比值判别法知，原级数收敛。6．解：∵，∴原级数发散。7．解：∵，而发散，∴由比较判别法知原级数发散。8．解：∵，∴由比值判别法知，原级数收敛。9．解：∵，∴由比值判别法知，原级数收敛。10．解：∵，而，故，∴由比值判别法知，原级数收敛。11．解：，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原级数绝对收敛。12．解：，而发散，故发散。因此原级数非绝对收敛，又，显然，，且，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。13．解：∵，∴原级数发散。14．解：此为交错级数，∵，()而级数发散，故发散，即原级数非绝对收敛，显然单调递减且趋向于零，故原级数条件收敛。15．解：∵，∴，当时，级数为发散，当时，级数为收敛。故原级数的收敛区间为。16．解：∵，，∴，收敛区间为。17．解：∵，，∴。18．解：∵，∴。故当，即时收敛，当或时发散，当时，级数为，收敛；当时，级数为，发散。故收敛区间为。19．解：∵，，当时，即时收敛，当，即或时发散，∴。当时原级数为，发散，故收敛区间为。20．解：∵，，∴，当时，原级数，发散。故收敛区间为。21．解：设，，∴，。22．解：设，，则，即，∴，。23．解：，。24．解：，。25．解：，。26．解：，即27．解：∵为偶函数，∴，，令，得，且在上连续∴，。28．解：由于是奇函数，故，∴。29．解：，时，。时，，所以除上均成立。30．解：1）正弦级数，注意到，作奇延拓，使在上恒有。再将周期延拓得，，是一个以为周期的连续函数，，，计算付氏系数如下：，(),∴,.2)余弦函数作偶延拓设，使在上恒有。再将周期延拓得，，是一个以为周期的连续函数，，，计算付氏系数如下：,∴,.(B)1．解：∵,，∴原级数收敛且和为。2．解：∵，，∴原级数收敛且和为。3．解：∵，，∴原级数收敛且和为。4．解：∵，∴由比值判别法知原级数收敛。5．解：∵，∴由根值判别法知原级数收敛。6．解：∵当充分大时有，而，故，∴由根值判别法知原级数收敛。7．解：∵，，∴当，即时，原级数收敛；，即，原级数发散，当时不定。8．解：当时，∵，∴级数发散。当时，∵，()，而收敛，∴级数发散。9．解：∵，∵收敛，∴由比较判别法知级数收敛。10．解：∵，，故也发散，故也非条件收敛。11．解：∵，而发散，故级数发散，即原级数非绝对收敛，原级数为交错级数，显然数列单调递减且收敛于零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。12．解：∵，而发散，∴发散，即原级数非绝对收敛。记原级数为为交错级数，∵又，即，故由莱布尼兹判别法知原级数收敛，故原级数条件收敛。13．解：∵，，故对，原级数收敛，所以收敛半径为，收敛区间为。14．∵，∴，当时，原级数发散，故收敛区间为，其中。15．解：∵，，∴当，即时，原级数收敛，当，即或时，原级数发散，当，原级数收敛，当时原级数也收敛。故原级数收敛半径为2，收敛区间为。16．解：∵，，∴，当，即，原级数收敛。当时，原级数收敛，当时，原级数发散。故原级数的收敛区间为。17．解：，但，故有，。18．解：∵，，而，∴，。19．解：∵，∵，故，。20．证明：考虑级数，，逐项微分得：，。，取，得。21．解：，，，，。∴，。22．解：，()。23．解：∵，∴，。25．解：，∴。由于对，有，所以。因此以周期的周期函数，并且显然只有当，时是及第一类间断点，所以符合狄利克雷收敛定理的条件，故付氏级数在处处收敛，，有。26．解：∵奇函数，所以。所以，除均成立，()。27．解：又∵函数展成正弦级数为，又∵∴展开成余弦级数为，。(C)1．解：,故原级数收敛，且和为。2．证：，由比较判别法知原正项级数收敛。3．解：∵，，∴由比值判别法知，原级数发散。4．解：考虑函数，，，由得，易知时的最大值，所以当地，，∴，但为收敛的几何级数，∴原级数也收敛。5．解：，∵有；而当时，有，∴当时，，而级九可判别其是收敛的，∴原级数收敛。6．解：因为已知级数条件收敛的级数。设其部分和数极限为，则有，而级数，取其前项，其和与的部分和相等且为，当时，，故原级数收敛且和为。7．解：，，当，即时，收敛；当时发散。故，当时，级数为发散，故原级数收敛域为。8．解：，由于，而当，故；当时，原级数为，由于通项不以零为极限，故发散。所以原级数的收敛域为。9．解：当时，级数收敛。设，，则，，，，两边积分得：，(∵)；再积分一次，(∵)；∴，即原级数的和。10．解：∵，∴因为当时，又当时，故展开式对所有的均成立，在展开式中令，得 。11．解：，()，故当，即当时级数收敛，当时级数发散，因此原级数收敛区