2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z=1+2i(iA.−3+2i B.−3+2.将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是(

)A.32 B.−32 C.23.双曲线y22a−A.y=±2x B.y=±4.赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为θ，且tanθ2=1A.4

B.5

C.16

D.255.正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为11，则其体积为(

)A.28 B.283 C.32 D.6.已知半径为3的圆C的圆心与点P(−2,1)关于直线xA.(x+1)2+(y−7.如图，在三棱锥S−ABC中，SA=SC=AC=2A.12π

B.4π

C.48.设椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右两个焦点分别为F1、A.3−12 B.33−二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知i为虚数单位，复数z=−3+A.复数z的实部为3 B.复数z的虚部为4

C.复数z的共轭复数为3+4i D.复数10.实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径.某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本，对学生某一天社会实践的时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.已知样本中[60,70)的人数为20A.a=0.020

B.N=100

C.估计全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为1600人11.如图，P是椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2：x2A.|PF1|=a+m，|PF2|=a−m 12.如图，正方体ABCD−A1B1C1DA.BP的最小值为62

B.PA+PC的最小值为2−2

C.当P在直线A1D上运动时，三棱锥三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点A(2,4)，直线l：x−2y+1=0，且点14.函数f(x)=cos15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P

16.已知长方形ABCD的边长AB=2，BC=1，P，Q分别是线段BC，四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(2a−c)sinA+(2c18.(本小题12.0分)

已知⊙C：x2+y2=16．

(Ⅰ)设点Q(x,y)为⊙C上的一个动点，求4x+3y的范围；

(Ⅱ)19.(本小题12.0分)

某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为p，乙同学答对每题的概率均为q(p>q)，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512．

(1)求p和q的值；

(2)设事件Ai=“甲同学答对了i道题”，事件B20.(本小题12.0分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为A1C1的中点．

(1)求证：C21.(本小题12.0分)

已知直线2x−y−1=0与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，且|AB|=415．22.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，连结PF1，PF2并延长，分别交椭圆于点A，B.答案和解析1.【答案】B

【解析】解：z2=(1+2i)22.【答案】B

【解析】解：设直线l的方程为y=kx+b，其中k是l的斜率

∵沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，

∴平移后的直线对应方程为：y=k(x−2)+b−3，即y=kx−2k+b−3，

又∵平移后的直线与直线l重合

∴kx+b3.【答案】C

【解析】解：双曲线y22a−x2a=1

(a≠0)渐近线方程为：4.【答案】D

【解析】解：∵tanθ2=13，∴tanθ=2tanθ21−tan2θ2=2×131−(13)2=34，

∴设直角三角形两边之长为3a，5.【答案】A

【解析】解：如图所示，正四棱台中，OO1是高，

连接

OB，O1B1，设B1E⊥OB，垂足为E，

显然OB=1242+46.【答案】D

【解析】解：设圆心坐标C(a,b)，

由圆心C与点P关于直线y=x+1对称，得到直线CP与y=x+1垂直，

结合y=x+1的斜率为1得直线CP的斜率为−1，

所以1−b−2−a=−1，化简得a+b+1=0①，

再由CP的中点在直线y=x+1上，

得到1+b27.【答案】A

【解析】解：设点E为AC的中点，连接EB，ES，由于SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SE，AC⊥BE，所以∠SEB为二面角S−AC−B的平面角；

由于二面角S−AC−B的正切值是2，

所以tan∠SEB=2，故cos∠SEB=33；

在△SAC中，SE=6，

在△ABE中，8.【答案】B

【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，三角形的解法，是中档题．

画出图形，利用已知条件，通过求解三角形推出椭圆的离心率即可．【解答】

解：设椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，右顶点为A，

M为椭圆上一点，且∠MF2A=∠MAF2=2∠MF19.【答案】BD【解析】解：由题设z的实部为−3，虚部为4，共轭复数为−3−4i，模为(−3)10.【答案】AB【解析】解：某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，

通过分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本，

对学生某一天社会实践的时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，

由(0.01+2a+0.045+0.005)×10=1，得a=0.02，故A正确；

因为样本中[60,70)的人数为20人，所以20N=0.2，得N=100，故B正确；

因为全校社会实践时间在60分钟以上的频率为0.9，

所以全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为0.9×2000=180011.【答案】AB【解析】解：由椭圆和双曲线的定义|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|−|PF2|=2m，

∴|PF1|=a+m，|PF2|=a−m，故A正确；

在△F1PF2中，由余弦定理可得(a−m)12.【答案】AC【解析】解：对于A，∵正方体ABCD−A1B1C1D1边长为1，∴A1B=BD=A1D=2，

∴B到直线A1D的距离d=32⋅2=62，故A正确；

对于B，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，C(0,1,0)，

设A1P=λA1D，则P(1,λ,1−λ)，

PA+PC=λ2+(1−λ)2+1+2(λ−1)2=2λ2−2λ+1+2λ2−4λ+3

=2(λ2−λ+12+λ2−2λ+32)=2((λ−12)2+14+(13.【答案】(3【解析】解：设M(a,b)，

由题意可知，m−2n+1=0n−4m−2×14.【答案】1

【解析】解：f(x)=cosx−3sinx=2×(12cosx−32si15.【答案】[2【解析】解：分别取A1D1的中点N，A1B1的中点M，连接AM，AN，MN，

因为E，N分别为B1C1，A1D1的中点，所以AN/​/BE，

又AN⊄平面BEF，BE⊂平面BEF，所以AN/​/平面BEF，

因为E，F分别为B1C1，C1D1的中点，所以EF/​/B1D1，

同理可知MN/​/B1D1，所以MN/​/EF，

又MN⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以MN/​/平面BEF，

因为AN∩MN=N，A16.【答案】4【解析】解：设A点为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立坐标系，如图，

不妨设DQ=x，BP=y(x>0,y>0)，则Q(x,1)，P(2,y)，

AP⋅AQ=(2,y)⋅(x,1)=2x+y，其中tan∠B17.【答案】解：(1)∵(2a−c)sinA+(2c−a)sinC=2bsinB，

∴由正弦定理可得2sin2A−sinCsinA+2sin2C−sinAsinC=2si【解析】(1)直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出B的值；

(218.【答案】解：(Ⅰ)设4x+3y=t，则直线4x+3y=t与⊙C有公共点，

所以圆心到直线的距离d≤4，

|t|42+32≤4，

解得−20≤t≤20．

4x+3y的范围：[−20,20]；

(Ⅱ)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=3，l与圆的两个交点坐标为【解析】(Ⅰ)设4x+3y=t，通过直线4x+3y=t与⊙C有公共点，列出不等式求解即可．

(Ⅱ)当直线l垂直于x轴时，验证两点的距离为2719.【答案】(1)设A事件为“甲同学答对第一题”，B为“乙同学答对第一题”，则P(A)=p，P(B)=q．

设C为“甲、乙二人均答对第一题”，D为“甲、乙二人中恰有一人答对第一题”，

由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，

所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)，P(D)=P(A)(1−P(B))+(1−P(A))P(B)．

由题意可得【解析】(1)根据题意得出关于p，q的方程而后求解即可；

(220.【答案】解：(1)证明：在正三棱柱ABC−A1B1C1中，可得面AC1⊥面A1B1C1，

D为A1C1的中点，可得B1D⊥A1C1，

面AC1∩面A1B1C1=A1C1，CB1D⊂面A1B1C1，

所以B1D⊥面AC1，CD⊂面AC1，

【解析】(1)由正三棱柱的性质可证得B1D⊥面AC1，进而可证得结论；

(2)求出C到面BB1D的距离及21.【答案】解：(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由2x−y−1=0x2=2py，可得x2−4px+2p=0，

由Δ=16p2−8p>0p>0，则p>12，

所以x1+x2=4p，x2x2=2p，

弦长|AB|=1+22⋅(x1+x2)2−4x1x2=5