2021年上海市杨浦区高考数学二模试卷（解析版）

2021年上海市杨浦区高考数学二模试卷

一.填空题(满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分).

1.已知复数z满足z=2-i(i为虚数单位)，则z・W=.

2.已知函数f(x)=^TT的反函数为(x)，则fi(3)=.

137

3.在行列式。=25-2中，元素3的代数余子式的值为.

124

4.在(x-a”的二项展开式中，K项的系数是.

'x+l>0

5.已知x,y满足，y-240，则z=x-2y的最大值为.

x-y-440

6.方程logs(2X-3)的解为x=.

7.已知一组数据m3,-2,6的中位数为4,则其总体方差为.

8.已知函数/(x)=g(x)+|2x-1|为奇函数，若g(-1)=7,则g(1)=.

9.直线/：(〃+2)1=0OeN*)被圆C：(x-1)2+y2=i6所截得的弦长为d“，

则八%”户.

n—+8

10.非空集合A中所有元素乘积记为T(A).已知集合加={1,4,5,7,8},从集合M

的所有非空子集中任选一个子集A,则7XA)为偶数的概率是.(结

果用最简分数表示)

11.函数f(x)=sin(3x)+/§cos(Sx)(3>0),若有且仅有一个实数机满足：①

JT

0<m<-y；②氏二根是函数图象的对称轴，则3的取值范围是.

12.如图，在棱长为2的正方体ABCC-ABiGA中，点P是平面ACG4上一动点，且满

足印•而=0,则满足条件的所有点P所围成的平面区域的面积

是.

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

13.若m,Z7GR,i是虚数单位，则，=〃"是"(m-〃)+(,〃+〃)i为纯虚数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.已知数列｛小｝是无穷等比数列，若则数列｛m｝的前〃项和S,()

A.无最大值，有最小值B.有最大值，有最小值

C.有最大值，无最小值D.无最大值，无最小值

15.在四边形A8CO中，AB=DC=(3,如)，且满足7Ty，则|菽尸

|ABIIADIIACI

()

A.2B.6C.73D.2A/3

16.已知函数f(x)的定义域为Q,值域为A,函数/(x)具有下列性质：(1)若x,ye。,

f(x)

则EA；(2)若x,ye。，则f(x)4/3eA.下列结论正确的是()

f(y)

①函数/(x)可能是奇函数;

②函数/(x)可能是周期函数；

③存在XED,使得f(x)；

2,2020

④对任意在。，都有/(%)64.

A.①③④B.②③④C.②④D.②③

三、解答题(本大题满分76分)本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤.

17.如图，棱柱ABC-481cl中，AB=BC=AAt=2,底面ABC,AB1BCDAB

的中点.

(1)求证：直线BC与直线0G为异面直线;

(2)求直线OG与平面AiBC所成角的大小.

2

18.已知f(x)=ax+~^—，(。为实常数)

x2+l

(1)当。=1时，求不等式£&)+仪工)<*的解集；

x

(2)若函数/(X)在(0,+8)中有零点，求a的取值范围.

19.如图，A,B,C三地在以O为圆心的圆形区域边界上，42=30公里，AC=10公里，

NBAC=60°,。是圆形区域外一景点，ZDBC=90°,NDCB=60°.

(DO.A相距多少公里？(精确到小数点后两位)

(2)若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到。处，需要多少

小时？(精确到小数点后两位)

20.(16分)焦点为F的抛物线J：y2=4x与圆,2：(x-1)2+丫2口6交于A,B两点，

2=

y4x,X《XA

其中A点横坐标为后，方程1&的曲线记为「，P是曲线「上一

(x-l)2+y2=16,x>.

xA

动点.

(1)若P在抛物线上且满足|PQ=3,求直线PF的斜率；

(2)T(m,0)是x轴上一定点.若动点P在「上满足XWXA的范围内运动时，|P7]W|A71

恒成立，求m的取值范围；

(3)。是曲线「上另一动点，且满足若△PFQ的面积为4,求线段PQ的长.

21.（18分）已知无穷数列｛m｝与无穷数列｛仇｝满足下列条件：①斯日0,1,2｝,neN*；②

如此=（-1）"•|《〃“-1%+小〃6N*.记数列｛儿｝的前”项积为北.

bn24

（1）若。|=6=1,。2=0,43=2,44=1,求及；

（2）是否存在0,。2,。3,。4,使得历,b2f仇，仇成等差数列？若存在，请写出一组

0,。2，。3，。4；若不存在，请说明理由；

（3）若。］=1,求“021的最大值.

参考答案

一.填空题(满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分).

1.已知复数z满足z=2-i(;为虚数单位)，则z*~=5.

解：因为z=2-i,所以W=2+i，

所以z・z=(2-/)(2+0=4+1=5,

故答案为:5.

2.已知函数f(x)=收1I的反函数为fl(x)，则(3)=5.

解：令f(x)=V2x-l=3>解得x=5,

故广⑶=5.

故答案为：5.

137

3.在行列式£>=25-2中，元素3的代数余子式的值为-10.

124

137

解：在行列式。=25-2中，元素3的代数余子式的值为：

124

(-1)1+2[2X4-(-2)Xl]=-10,

故答案为：-10.

4.在(x-a”的二项展开式中，4项的系数是56.

解：由已知可得展开式中含3的项为：

Cgx6・(-我')2=2X283=56/,

所以展开式中/项的系数为56,

故答案为：56.

x+l)0

5.已知x,y满足，y-240,则z=x-2y的最大值为9.

x-y-4=C0

解：由约束条件作出可行域如图，

由z=x-2y,得尸卷长由图可知，当直线y=]|过A时，直线在y轴上的截距最

小，

z有最大值为9.

故答案为：9.

6.^logc（4x-ll）-l=log（2x-3^^x=2

OuR

解：vlog.（4x-ll）-l=lo-（2x-3）,

ougp

4x-ll>0

.I2x-3>o

解得x=2.

故答案为：2.

7.已知一组数据〃，3,-2,6的中位数为4,则其总体方差为学.

解：因为数据m3,-2,6的中位数为4,

所以乎=4,故。=5,

2

所以这组数据的平均数为1X(-2+3+5+6X.

故方差为工X[(-2-3)2+(3-3)2+(5-3)2+(6-3)2]=—.

42

故答案为：

8.已知函数/(x)=g(x)+|2x-1|为奇函数，若g(-1)=7,则g(1)=-11

解：根据题意，函数/(x)=g(x)+|2x-1|,

则/⑴=g⑴+1,f(-1)=g(-1)+3,

又由函数/(x)=g(x)+\2x-1|为奇函数，则/(-1)V(1)=g(1)+g(-1)+4=

0,

贝1Jg(1)=-11,

故答案为：-11.

9.直线/：(/2)1=0(〃EN*)被圆C(工-1)2+y2=i6所截得的弦长为心,

则，修』_2放

解：圆C：(x-1)2+炉=16的圆心(1,0),半径为4,

由点到直线的距离公式可得"1=2r=4v需

9“

2

nn

216—

-45

]1+~y

1n1n/

9y

limd—lim?n4

n—+8n+8'16—＞号-=2A/16-9=2V7.

1-+--^7

1n1n4

故答案为：2，，.

10.非空集合A中所有元素乘积记为7(A).已知集合用={1,4,5,7,8},从集合M

的所有非空子集中任选一个子集A,则T(A)为偶数的概率是空.(结果用最简

—31―

分数表示)

解：因为集合河={1,4,5,7,81,

所以集合M的所有非空子集共有25-1=31种，

若T(A)为奇数，则A中元素全部为奇数，

又{1,3,5}的非空子集个数，共有23-1=7种，

所以T(A)为偶数的共有31-7=24种，

故T(A)为偶数的概率是答.

故答案为：詈.

O1

11.函数f(x)=sin(3x)+7§cos(sx)(3〉0),若有且仅有一个实数机满足：①

兀17

O《m《g；②x="是函数图象的对称轴，则3的取值范围是」之一冬_.

/Oo

TT

解：•.♦函数f(x)=sin(3x)^V§cos(3x)(W>0)=2sin(a)x+—),

o

TT

若有且仅有一个实数拼满足：①04m41；②x=〃?是函数图象的对称轴，

JT

故函数的图象的对称轴只有一条在[0,-y]±,

JTTTTTI

=ku+——，ERx=(加+——)•---,keZt

3-------263

jr

令k=0,可得函数的图象的对称轴方程”=3，

63

.兀兀口兀▲2兀、兀

..而w5，

求得■1•Wa)Vq",

oO

故答案为：&1).

12.如图，在棱长为2的正方体ABC£>-48IGOI中，点P是平面ACG4上一动点，且满

足D[P，CP=O,则满足条件的所有点尸所围成的平面区域的面积是4K.

1-2.

解:因为D[P・CP=O,

所以DyPVCP,

故P在以CDy为直径的球面上，且P在平面ACCiA,上，

则尸在面ACG4截球所得的圆上，设该圆半径r,且正方体棱长为2,

则CZ)=2&,球半径R=)CD=&，

连接SA,则B£)i_LAiG，B\D\LAA\,

所以BiA_L平面ACCA,

所以。i到平面ACG4的距离"="BID[=近,

因为。为CQ中点，

所以。到平面ACC'的距离归4必=返，

212

所以圆半径「=五2_壮2=后,

圆面积5=113=耳二.

故答案为：之;.

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

13.若加，"CR,i是虚数单位，则，=”"是"(m-〃)+(m+n)i为纯虚数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

Jm-n=0

解:复数z=m-n+(m+n)i为纯虚数,可得1m+n7^0解得〃?="W0.

二“机=〃”是“复数z=m-”+(m+n)，•为纯虚数”的必要不充分条件.

故选：B.

14.己知数列｛〃”｝是无穷等比数列，若0<〃2<0,则数列｛〃“｝的前”项和S,()

A.无最大值，有最小值B.有最大值，有最小值

C.有最大值，无最小值D.无最大值，无最小值

解：根据题意，数列｛%｝是无穷等比数列，若0<42<0,

则其公比4=上a2>0,数列｛〃“｝所有项为负，

al

则有。2=S2-SV0,即有$>S2,

同理可得S|>S2>……>s„>……，

故数列｛如｝的前〃项和S"有最大值，无最小值，

故选：C.

15.在四边形A8C。中，AB=DC=(3f我)，且满足■^:+,吧，=则|菽尸

|ABI|ADIIACI

()

A.2B.6C.73D.2M

板..ABADAC

m-：.—=；—+—=；—=一=一，

IABIIADIIACI

.•.AC为NBA。的角平分线,

,/AB=DC-四边形ABCD是平行四边形，

，四边形A8CD是菱形，

J.ZBAC^ZBCA,屈=V^§=2«，

故选：D.

16.已知函数，(x)的定义域为。，值域为A,函数f(x)具有下列性质：(1)若x,y&D,

则分生-EA；(2)若X,yED,pli]/(x)eA.下列结论正确的是()

fly)

①函数/(X)可能是奇函数；

②函数/(X)可能是周期函数；

③存在x&D,使得f(x)

④对任意联£>,都有f(x)GA.

A.①③④B.②③④C.②④D.②③

解：①中，若f(x)为奇函数，则由性质(1)得，f(x)WO,所以当y=-x时，f(x)

+f(y)=/(x)+/(-x)=OcA,性质(1)(2)矛盾，①错误；

若/CO为周期函数，则/(x)=f(x+T),T为周期，当Ae(-8,0)U(0,+8)

时，性质(1)(2)均成立，结论②正确；

由上述分析可知，当AC(-8,0)U(0,+8)时/(x)的值域为R,所以一定存在

xo使得/(xo)=然/，结论③正确；

由性质(2)可得当y=x时，y(x)4/(y)=2于3E,故A为无穷集合，故/(x)6A,

结论④正确.

故选：B.

三、解答题(本大题满分76分)本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤.

17.如图，棱柱ABC-中，AB=BC=A4i=2,底面ABC,AB_LBC£>是棱A8

的中点.

(1)求证：直线BC与直线OG为异面直线;

(2)求直线。G与平面4BC所成角的大小.

B.

A1

5

BA

【解答】(1)证明：假设直线BC与直线。G共面,

:点B,C,OC平面4BC,

而过直线BC和直线BC外一点D有且只有一个平面,

；.Cie平面ABC,矛盾！(1分)

假设不成立故直线8C与直线。G为异面直线.(1分)

(2)解：如图，以8为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，(1分)

则B(0,0,0),C(2,0,0),4(0,2,2),BC=(2,0,0)，瓯=(0,2,2),

设平面43C的一个法向量n=(u,v,w)，

则z取左(。，1，

12v+2w=0

D(0,1,0),G(2,0,2),DC[=(2,-1,2),(1分)

设直线DC,与平面MBC所成角所成角为0,

|DC「n|3圾

则sin8(1分)

|DC^|-|n|'3V2~2

所以0=45°.(1分)

（1）当。=1时，求不等式f（x）+f（上）＜x的解集；

X

（2）若函数f（x）在（0,+8）中有零点，求。的取值范围.

解：（1）当4=1时，不等式f（x）+f（工）=X+L+1〈X,化简可得生上＜0,

XXX

所以%（x+1）V0,解得-1VxVO,

所以不等式的解集为（-1,0）；

（2）因为函数/（x）在（0,+8）中有零点，

2

所以—二0，工€（。，+8）有解，

xJ+l

X__1

则软二2+1=r（x＞o）,

XXL

X

因为x」■的取值范围是［2,+°°），

X

故。的取值范围是［4，0）.

19.如图，A,B,C三地在以0为圆心的圆形区域边界上，A8=30公里，AC=10公里，

ZBAC=60°,。是圆形区域外一景点，ZDBC=90°,ZDCB=60°.

（1）0、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）

（2）若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路A。行驶到。处，需要多少

小时？（精确到小数点后两位）

解：（1）在aABC中，由余弦定理可得，

BC2=AB2+AC2-2ABACCOSZCAB=302+\02-23010cos60°=700,

：•BC=10\/7,

1Q

则OA-^X.=1x10"=VH^15.28（公里）・

2sinZBAC2sin603

答：0、A相距约15.28公里;

(2)在RtZ\C8D中，BD=BC・tan60°=10A/7X73=1(X/21>

在△ABC中ACBC

'sin/ABCsin/BCA'

1077・•・sin/ABcW，

即10

sin/ABCsin600

V21

••cosZABD=cos(ZABC=-sin/ABC=F，

AD2AB2+BD22ABBDcosZABD

302+(10V2i)2-2X30X10V21X=3900-

.••AD=10V39(公里)-

所需时间为而«圆g125小时•

"J505L‘°

答：从A行驶到。约需要1.25小时.

20.(16分)焦点为尸的抛物线Ci：y2=4x与圆C2：(x-l)2+y2=i6交于A,8两点，

2=

y4x,x<xA

其中A点横坐标为以，方程1。的曲线记为「，尸是曲线「上一

(x-l)2+y2=16,x>.

xA

动点.

(1)若尸在抛物线上且满足|PF|=3,求直线PF的斜率；

(2)T(m,0)是x轴上一定点.若动点P在「上满足xW必的范围内运动时，IP71WH7]

恒成立，求机的取值范围；

(3)。是曲线「上另一动点，且满足FPLFQ,若△PFQ的面积为4,求线段P。的长.

解：⑴P是抛物线V=4x上满足尸网=3的点，

过点P作尸MJJ于M

由抛物线的定义可知，|PQ=|PN，

设P(x'，y')，则x'+1=3,解得x'=2,

又因为点尸在抛物线上，

所以2=8,得y'=±2&,

所以直线PF的斜率为左一■^=±2叵

2-1

(2)设尸5,%),

山卜了":16,得代:

,y2=4x1y--3^3

所以A(3,2y),B(3,-2«),刈=3,

由|P71W|A7],得(xi-m)2+巾2<(3-m)2+12,

即xj_2〃?汨+瓶2+4为<21-6〃?+机2,

因为XIWXA=3,所以mW、-21=力(厂3+6-」4),

2x-62x-3

令/(x)=—(x-3+6--),则是增函数，且0Wx<3,

2x-3

当x=o时，三?二21取得最小值?，所以

2x-622

即町WIA71恒成立的范围是(-8,Z].

(3)点P,。都是r上的动点，

①当P,Q都在圆弧上时，

\FQ\=\FP\=4,PFA.QF,

所以SMFQ=^X4X4=8,

不满足SV、Q=4的条件.

②当P在抛物线上，。在圆上，

由底勿2=4,得|尸厅=2,

在RtZiPFQ中，|PF|2+|PQF=22+42=20,

③当P,Q都在抛物线上，

设P（为，％）.Q（松，72）,

所以|PF|=xi+l,\QF\=xz+\,

因为FP±FQ,

所以kpF，kQF=

y-2

所以了27=-1,

（十T）（"）

所以yi2y2?-4（W+讨）+16丫3+16=0,①

因为△尸FQ的面积为4,

所以•||PF||QR=4,

所以（X1+1）（X2+1）=8,

所以XIX2+（X1+X2）-7=0,

2222

所以力・丫2+（丫1+52）-7=0,

4444

所以巾2y22+4（娟+W）-112=0②，

①+②得，2yry22+16yiy2-96=0,

所以-48=0,

令t=y\yi,

贝lj3+81-48=0,

解得，=-12或）=4,

即y\yi=-12或6”=4,

"==

y1y2-12fy1y24

代入②得｛22（舍）叫22，

+y=8Y

了］2"\+y2=24

若/”=4>0,则yi,”同号,且yi#y2,

由②可知-2正

所以短+对<24矛盾,

%产2=4

所以《99（舍），

y/+y2=24

综上所述，|PQI=2娓.

21.（18分）己知无穷数列｛〃“｝与无穷数列｛d｝满足下列条件：①斯日0,1,2｝,KN*；②

bn+111

上L=（_1）喑MGN*.记数列｛儿｝的前〃项积为7〃.

bn24

（1）若〃1="=1,6/2=0,6=2,44=1,求北；

（2）是否存在0,672,。3,。4,使得b\,历，b3,64成等差数列？若存在，请写出一组

0,。2,。3，。4；若不存在，请说明理由；

（3）若从=1,求2）21的最大值.

bo1111

解：（1）由丁=-|521-7221=下得，b2=-y>

b

,4111I3ZH3

由已=-6&3-了&4|=二得，b4W，

3

••.T4=brb2-b3-b4-；

（2）不存在.假设存在，设岳，立,b&公差为d,

若仇>0,则为VO,63V0,Z?4>0,公差d=〃2-4VO,d=b4-b3>0,矛盾；

若。<0,则历>O加>0,仇VO,公差d=〃2>0,d=h4-fe<0,矛盾，

・・・假设不成立，故不存在；

（3）由题意，历=