2021年山东省烟台市高考数学诊断性试卷（一模）

2021年山东省烟台市高考数学诊断性试卷（一模）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求。

1.（5分）已知集合4={划一/+2%>0},B={x|x>l）,则）

A.（0,1）B.（0,1]C.（f0）D.（1,2）

2.（5分）已知i为虚数单位，若复数z==，则|z|二（）

1-z

A.右B.5C.GD.3

3.（5分）（1一万2）*一2）6展开式中含f项的系数为（）

A.240B.-240C.176D.-176

4.（5分）已知尸为抛物线C：V=8x的焦点，直线/与C交于A,3两点，若回中点的

横坐标为4,则|AF|+|8用=()

A.8B.10C.12D.16

5.（5分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mgIL）

与时间「（单位：力）间的关系式为P=4e4,其中外，大为正的常数.如果一定量的废气在

前10/?的过滤过程中污染物被消除了20%,那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过

多长时间？（）（结果四舍五入取整数，参考数据：/〃2°0.693,历5引.609）

A.11/?B.21/?C.31/tD.41〃

6.（5分）平行四边形ABC©中，AB=4,AD=3,Z13AD=60°,。为C。中点，点P在

对角线比>上，且丽=几丽，若/，丽，贝l"=（）

1123

C

A.4-B.2-3-D.4-

7.（5分）已知/（%）是定义在火上的奇函数，/（2-x）=/（x）,当xe[0,1]时，/（x）=V,

则（）

A./(2021)=0

B.2是/（X）的一个周期

C.当xe(l,3)时，/(x)=(l-x)3

D./（x）>0的解集为（4k,4k+2）（kwZ）

8.（5分）某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线/上取长度为2的线

段并作等边三角形ABC,第一次画线：以点8为圆心、明为半径逆时针画圆弧，交

线段C3的延长线于点£）;第二次画线：以点。为圆心、CD为半径逆时针画圆弧，交线段

AC的延长线于点E;以此类推，得到的螺线如图所示，贝4（）

A.第二次画线的圆弧长度为可

B.前三次画线的圆弧总长度为4万

C.在螺线与直线/恰有4个交点（不含A点）时停止画线，此时螺线的总长度为30%

D.在螺线与直线/恰有6个交点（不含A点）时停止画线，此时螺线的总长度为60不

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.（5分）若Ovavbvl,c>1,则（）

ab1c

A.c<cB.ba<abC.D.logflc<log,,c

c-ac

22

10.（5分）已知双曲线C：r^——vJ=l（mER）的一条渐近线方程为4x—3y=o,则（）

mm+1

A.（币,0）为c的一个焦点

双曲线C的离心率为3

B.

C.过点（5,0）作直线与c交于A,3两点，则满足|AB|=15的直线有且只有两条

D.设A,B,M为C上三点且A,4关于原点对称，则M4,仞B斜率存在时其乘积

16

9

11.(5分)已知函数/a)=2|sin%|+|cosx|-l,则()

jr

A./（x）在［0,5］上单调递增

■TT

B.直线x=鼻■是/（X）图象的一条对称轴

C.方程/。）=1在［0,划上有三个实根

D./（X）的最小值为-1

12.（5分）骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀

的正方体，六个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6.现有一款闯关游戏，共有4关，规

则如下：在第〃关要抛掷六面骰〃次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这〃次抛掷

所出现的点数之和大于2"+",则算闯过第〃关，〃2,3,4.假定每次闯关互不影响，

则（）

7

A.直接挑战第2关并过关的概率为二

12

B.连续挑战前两关并过关的概率为三

24

C.若直接挑战第3关，设A="三个点数之和等于15"，B="至少出现一个5点”，

则P（4|B）=（

D.若直接挑战第4关，则过关的概率是为35

1296

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

JTTT\

13.（5分）已知a50,万），若sin（］+2a）=§,则tana的值为.

14.（5分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京举行，习近平总书记庄严

宣告我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.已知在党委政府精准扶贫政策下，自2017年起某地

区贫困户第X年的年人均收入y（单位：万元）的统计数据如表：

年份2017201820192020

年份编号X1234

年人均收入y0.60.81.11.5

根据如表可得回归方程夕=%+&中的B为0.3,据此模型预报该地区贫困户2021年的年人

均收入为（单位：万元）.

15.（5分）已知点A为直线/：y=3x上一点，且A位于第一象限，点B（10,0）,以钻为直

径的圆与/交于点C(异于若NCBA..60。，则点A的横坐标的取值范围为一.

16.(5分)已知正三棱锥尸-/WC的底面边长为2,侧棱长为其内切球与两侧面R钻，

PBC分别切于点M,N,则“V的长度为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)在①%+%=14,②S&=28,③6是4与小的等比中项，三个条件中任选一

个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：已知｛为｝为公差不为零的等差数列，其前〃项和为S"，也」为等比数列，其前〃项

和7；=2"+2,4为常数，%=",—.

(1)求数列｛6,｝,色｝的通项公式；

(2)令c“=[lga“],其中[%]表示不超过X的最大整数，求C1+C2+C3+…+C]0n的值.

18.(12分)将函数/(x)=sinx+gcosx图象上所有点向右平移g个单位长度，然后横坐标

缩短为原来的;(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象.

(1)求函数g(x)的解析式及单调递增区间；

(2)在AA3c中，内角A,B,C的对边分别为a,h,C,若打f-网B=-,

364

C=g(*，b=2后求A45c的面积.

19.(12分)如图，四边形A8CO是边长为2的正方形，AP=PD,将三角形皿)沿45折

起使平面Q4Z)_L平面AB8.

(1)若M为PC上一点，且满足80，尸。，求证：PD±AM；

(2)若二面角3-PC-Z)的余弦值为-半，求AP的长.

20.(12分)某品牌餐饮企业为满足人们餐饮需求、丰富产品花色、提高企业竞争力，研发

了一款新产品.该产品每份成本60元，售价80元，产品保质期为两天，若两天内未售出，

则产品过期报废.由于烹制工艺复杂，该产品在最初推广阶段由企业每两天统一生产、集中

配送一次.该企业为决策每两天的产量，选取旗下的直营连锁店进行试销，统计并整理连续

30天的日销量（单位：百份），假定该款新产品每口销量相互独立，得到如图的柱状图.

（1）记两天中销售该新产品的总份数为J（单位：百份），求岁的分布列和数学期望；

（2）以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份、28百份两

种方案中应选择哪种？

21.（12分）己知6，K分别是椭圆。：=+[=15＞方＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上

a'b'

顶点，△A耳人是面积为4的直角三角形.

（1）求椭圆。的方程；

（2）设圆0:『+尸=]上任意一点p处的切线/交椭圆。于点”，N,问：PM♦PN是否

为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.

22.（12分）已知函数f（x）=；x2+cosx,/"）为/（%）的导函数.

（1）求函数/（X）的极值；

（2）设函数g（x）=（三一x+吧"吧），一4dV+sinx—X）,0€及，讨论g（x）的单调性；

（3）当x..o时,f'kx\,e'+bx-i,求实数。的取值范围.

2021年山东省烟台市高考数学诊断性试卷（一模）

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求。

1.(5分)已知集合A={x|-x2+2x>0},B={x|x>l},则41|为8=(

A.(0,1)B.(0,1]C.(-<»,0)D.(1,2)

【解答】解：,•・A={X[0<X<2},B={X\X>\],

.•.务8=5|.三,1},Ap|5B=(0,1].

故选：B.

2.（5分）已知i为虚数单位，若复数z=三,则|z|=（

1-/

A.#)B.5c.GD.3

■初夕<▼3—j(3—Z)(l+/)4+2j.

【解答】解：z=——=-——-~-=-----=2+小

1-i(1-0(1+/)2

则|Z|=V22+I2=y/5.

故选：A.

3.（5分）（1-/）（》-2）6展开式中含？项的系数为（

A.240B.-240C.176D.-176

【解答】解：（1-Y）0-4展开式中含f项有两部分组亦

①第一个括号中提供常数1时，（x-2）6应提供f项;

②第一个括号中提供常数-小时，（x-2）6应提供常数项,

所以（1一/）（工一2）6展开式中含/项的系数为：以亡＜—2）4—屋（-2）6=240-64=176,

故选：C.

4.（5分）已知尸为抛物线C：V=8x的焦点，直线/与C交于A,B两点,若回中点的

横坐标为4,则|AF|+|BF|=()

A.8B.10C.12D.16

【解答】解：F为抛物线C：V=8x的焦点（2,0）,准线方程x=-2,

由题设知知线段AB的中点到准线的距离为：4+2=6,

设A,5两点到准线的距离分别为4，4，

由抛物线的定义知：

\AB\=\AF|+|8用=4+&=2x6=12.

故选：C.

5.（5分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg①

与时间f（单位：用间的关系式为尸其中凡，大为正的常数.如果一定量的废气在

前10/?的过滤过程中污染物被消除了20%,那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过

多长时间？（）（结果四舍五入取整数，参考数据：加2=0.693,//15®1.609）

A.11/?B.21/7C.31〃D.4M

【解答】解：令r=10,则尸=（1-20%）4=4”“，

所以一1=山0.8=—/〃*,所以k=＞（历5—/〃4）=—（/〃5-2加2）x0.0233,

41041010

当尸=50%弓时，有50%用

所以50%4=*"必”，即"Q5=402331,

Ini

所以-Iril=-0.0233r,则f=——-31/?,

0.0233

故选：C.

6.（5分）平行四边形ABC©中，AB=4,AD=3,Z13AD=60°,。为CD中点，点P在

对角线比＞上，且丽=几丽，若/，丽，则丸=（）

1123

C

A.4-B.2-3-D.4-

【解答】解：根据题意，如图：

AP=AB+BP=AB+ABD=^+A(AD-AB)=(l-A)AB+AAD,

BQ=BC+CQ=BC+-W=AD--AB,

若AP1BQ则

Q.丽=[(1一0而+4醺]•(丽-g醺)=—通通?+(1—技)希•丽=0,

变形可得：82-2=0,

解可得：4=:，

4

故选：A.

0

7.(5分)已知/(X)是定义在H上的奇函数，/(2—x)=/(x),当xe[0,1]时，f(x)=d,

则()

A.—2021)=0

B.2是/(X)的一个周期

C.当xe(l,3)时，/(x)=(l—x)3

D./(x)>0的解集为(软，4k+2)伏eZ)

【解答】解：根据题意，是定义在R上的奇函数，则/(%)=-/(-x),

又由/(2-x)=/(x),则/(2-犬)=一/(一x),变形可得/(x+2)=-/(行，

则有/(x+4)=—/(x+2)=/(x),即/(x)是周期为4的周期函数，3错误，

又由xe[0,1]时，/(x)=V,则/(2021)=/(l+4x505)=/(1)=1,A错误，

当0]时,—Xe[0,1],则有/(-x)=(-x)’=一/，

又由为奇函数，则.〃幻=一/(一幻=/，

则在区间[T,1]上，/(x)=f,

当xe[l,3]时，2-xe[-l,2],则/(2-x)=(2-x)3,

又由/(2—x)=/(x),贝iJ/(x)=/(2—X)=(2-X)3,c错误,

“人-r•汨,/、fx3,xe[-l,l]

综合可得：〃X）=。、3，

[（2-x）,xe[ln,T3]1

在区间[T,3]上，若/（x）＞0,必有0vxv2,

又由是周期为4的周期函数，则/（x）＞0的解集为（耿,必+2）,。正确，

故选：D.

8.（5分）某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线/上取长度为2的线

段延，并作等边三角形ABC,第一次画线：以点3为圆心、区4为半径逆时针画圆弧，交

线段8的延长线于点O;第二次画线：以点C为圆心、8为半径逆时针画圆弧，交线段

AC的延长线于点E;以此类推，得到的螺线如图所示，则（）

A.第二次画线的圆弧长度为彳

B.前三次画线的圆弧总长度为4不

C.在螺线与直线/恰有4个交点（不含A点）时停止画线，此时螺线的总长度为30万

D.在螺线与直线/恰有6个交点（不含A点）时停止画线，此时螺线的总长度为60%

【解答】解：第1次画线：以点3为圆心，r=2,旋转丁，划过的圆弧长为2*丁=下；

333

第2次画线：以点。为圆心，r=4,旋转M，划过的圆弧长为4x==g,故选项A错

333

误，交/累计1次；

第3次画线：以点A为圆心，r=6,旋转丁，划过的圆弧长为6x：-=一丁=4%,故选

333

项3错误，交/累计2次；

242乃16万

第4次画线：以点8为圆心，r=8,旋转——，划过的圆弧长为8x^=一1；

333

第5次画线：以点C为圆心，r=10,旋转”,划过的圆弧长为10乂女=驷，交/累计

333

3次;

4^-8112乃16乃207〜、

前5次累计画线一+—+---+——+---=207，

33333

2427r24zr

第6次画线：以点A为圆心，r=12,旋转会，划过的圆弧长为12“'=上=8），交/

333

累计4次，累计画线20万+8万=28/，故选项C错误；

第7次画线：以点3为圆心，厂=14,旋转：，划过的圆弧长为14xW=一二；

333

第8次画线：以点C■为圆心，r=16,旋转整，划过的圆弧长为16x,=等，交/累计

5次;

第7次画线：以点A为圆心，厂=18,旋转主，划过的圆弧长为18x型=啊=12%,交/

333

累计6次，累计画线28乃+上+二+12万=60%,故选项。正确.

33

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.（5分）若Ovavbvl,ol>则（）

abcc

A.c<cB.ba<abC.D.logac<log,,c

c-ac

【解答】解：因为Ovavbvl,ol,由指数函数的性质可得C"<d,故A正确：

因为Ovavbvl,所以

b

因为c>l,所以c—1>0,

所以铲Y1,所以翁<1，即历'<亦，故5正确；

或二2,因为力-c<0,C—>。，所以或出<0,

c-acc（c-a）c（c-a）

b-abT”

所以----<一，故C正确；

c-ac

由c>\,可得log«a<log*<0,

所以」一<」一<（）,所以log〃c<log“c,故。错误；

10glicloghc

故选：ABC.

/v2

10.（5分）已知双曲线C：^——上一=1（，"€/?）的一条渐近线方程为4》一3卜=0,贝I"）

m机+7

A.（J7,0）为。的一个焦点

B.双曲线C的离心率为之

3

C.过点(5,0)作直线与c交于A,8两点，则满足|AB|=15的直线有且只有两条

D.设A,B,M为。上三点且A,3关于原点对称，则M4,MB斜率存在时其乘积

*16

为豆

22

【解答】解：双曲线C：三--=1(/MWR)的一条渐近线方程为4x-3y=0,

mm+7

一,口加+716e加

可得----=—»解得加=9,

m9

、2

则双曲线的方程为三-E=l,

916

可得a=3,b=4,c=5,焦点为(±5,0),故A错误；

c5

双曲线的离心率为e=-=—,故8正确；

a3

过右焦点(5,0)作直线与C交于A,B两点,

若A,5均在右支上，可得|A8|...§=F，

32

而15>§,可得这样的直线有两条；

若A,5分别在双曲线的左、右支上，可得|加|..勿=6,

而15>6,可得这样的直线有两条，则满足|A8|=15的直线共有4条，故C错误；

2222

设A(加,〃)，8(一加,一〃)，M(sJ),可得^-——=1,—=1,

916916

两式相减可得中答=富四，

916

即有M4,MB斜率存在时其乘积为n二巳皿=3，

m-sm+s9

故£>正确.

故选：BD.

11.(5分)已知函数，(x)=2|sinx|+|8sxi-1,则()

jr

A./(X)在［0,不］上单调递增

jr

B.直线x=5是/(X)图象的一条对称轴

C.方程/(x)=l在［0,柯上有三个实根

D./(x)的最小值为-1

【解答】解：函数/(x)=2|sinx|+|cosx|-l,=

对于A：由于xw[O,§时,/(x)=2sinx+cosx-l=V^sin(x+e)-l(tane=g),

jrjr

当“万-。时，函数达到最大值，故函数在［。，，-例上单调递增，故A错误;

对于8：咛-x)=2|si寿-x>||e5s<x-)卜1S?sta(+H^|aos(一刊1-,

7T

故函数的图象关于x=U对称，故B正确；

对于C：当xe［O,自时，/(x)=2sinx+cosx-l=A/5sin(x+^)-l,

令/(X)=l,则吗蚩"L,/(0)=0,由于函数在［0,自内满足吗一。)=石—1>1,

所以在xw［O,1-例满足一个/,使得/(不)=1,故有一实根；

冗I

当［一,4］时，/(x)=2sinx-cosx-l=石sin(x-a)-1,tancr=--,

则函数在-a］上单调递增，在x£-a,加上单调递减，

且满足/(〃)=IT=O,〃9=1,/弓+。)=&-1>1,

所以存在一个实数a,使得函数/(x)在［0,加上存在，6,pa,使得/(x)=l,故c

正确;

JTTT

对于。：函数的周期为万，故在/(o)=o,/弓)=1，由于函数关于x=5对称，/(7)=0,

故不存在X,使得/(X)的最小值为-1,故。错误.

故选：BC.

12.(5分)骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀

的正方体，六个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6.现有一款闯关游戏，共有4关，规

则如下：在第〃关要抛掷六面骰〃次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这〃次抛掷

所出现的点数之和大于2"+",则算闯过第〃关，〃=1,2,3,4.假定每次闯关互不影响,

则()

7

A.直接挑战第2关并过关的概率为一

B.连续挑战前两关并过关的概率为上

24

C.若直接挑战第3关，设A="三个点数之和等于15"，B="至少出现一个5点”,

则P(A|B)=七

35

D.若直接挑战第4关，则过关的概率是氤

【解答】解：对于A,直接挑战第2关,JUij2"+n=22+2=6,

所以投掷两次点数之和应大于6,

故直接挑战第2关并过关的概率为［」+2+：+4+5+6=,故选项A正确；

6x612

对于3,闯第1关时，2"+“=2+1=3,

所以挑战第1关通过的概率为6=；,

I77

则连续挑战前两关并过关的概率为「=利=5*七=五，故选项3错误；

对于C,由题意可知，抛掷3次的基本事件有63=216个，

抛掷3次至少出现一个5点的基本事件共有6-5,=216-125=91个，

91

故P(8)=y

216

而事件A3包括：含5,5,5的1个，含4,5,6的有6个，一共有7个，

故P(AB)=」-,所以P(A|B)=曳竺型=-L,故选C正确；

216P(B)2169113

对于。，当〃=4时，2"+〃=24+4=20,基本事件共有。个，

“4次点数之和大于20”包含以下情况：

含5,5,5,6的有4个，含5,5,6,6的有6个，含6,6,6,6的有1个，含4,6,6,

6的有4个，

含5,6,6,6的有1个，含4,5,6,6的有12个，含3,6,6,6的有4个，

所以共有4+6+1+4+4+12+4=35个，

3535

所以直接挑战第4关，则过关的概率是2，二，=与7,故选项。正确.

6x6x6x61296

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知CG(O,£),若sin(g+2a)=L则tana的值为—

223-2

JII

【解答】解：因为sink+2a）=：；,

23

所以cos2a=」,

3

2.9

8s“a-sural-tcu/a1

22=

因为cos2a=cosa-sina=-2r~?―9—'

cos-a+sin~aI3

1

所以tair9a=—，

2

因为。€（0,工），所以tana=1.

22

故答案为：—.

2

14.（5分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京举行，习近平总书记庄严

宣告我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.已知在党委政府精准扶贫政策下，自2017年起某地

区贫困户第X年的年人均收入y（单位：万元）的统计数据如表：

年份2017201820192020

年份编号X1234

年人均收入y0.60.81.11.5

根据如表可得回归方程夕=%+£中的g为0.3,据此模型预报该地区贫困户2021年的年人

均收入为1.75（单位：万元）.

._1+2+3+4_0.6+0.8+1.1+1.5,

【解答21r】解：x=---------=2.5,y=---------------=],

44

样本中心点的坐标为（2.5,1）,代入亍=0.3x+G中,

可得&=1-0.3x2.5=0.25,

则$，=0.3x+0.25,把x=5代入，可得==0.3x5+0.25=1.75（万元）.

故答案为：1.75.

15.（5分）已知点A为直线/：y=3x上一点，且A位于第一象限，点B（10,0）,以A5为直

径的圆与/交于点C（异于用，若NCBA.60。，则点A的横坐标的取值范围为_|1+36士

4-00)

【解答】解：设点A的坐标为（a,3a）,«>o,则|40|=屈,

如图所示，过点A作AH_Lx轴，

由面积相等可得1|0B||47|=1|Q4||BC|,

22

g|J-xl0x3a=-x>/i0«x|BC|(所以|8(7|=3加，

22

CCIU_tt.TTZU-,..IBCI3>/l03

所以在直角二角形ABC中，cosZCBA=i—；=,----=/--------=

|A8|Jg-10)2+(34)2Va2-2a+10

因为NC73A.60。，所以cos/CBA,-，

2

即31化简可得"_2a-26..0,即(a-I)2..27,

，“2-2a+102

所以。..36+1或。,,1—3月(舍去)，

所以实数。的取值范围为[36+1,+8),

16.（5分）已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2,侧棱长为V13，其内切球与两侧面PAB,

PBC分别切于点M,N,则的长度为-.

~6~

【解答】解：设正三棱锥的内切球的半径为R,M为内切球与侧面勿3的切点，。为侧面

上切点所在小圆的圆心，半径为r,如图所示，

因为AABC为等边三角形，

所以CD=JBC2-8£>2=也,CH=-CD=^,

33

因为"OMS"[)H,

所以瑞=蒜'即£=黑/

3

因为PD=ylPB°-BD2=J13-1=2月,

R晅.RL

所以--%=—,解得R=—哑"，

V32V321

T

因为sinZOMQ=sinNPDH=需=平，

所以r=MQ=ReosZOMQ=RsinZPMQ=RsinAPDH=­R,

6

由正三棱锥的定义可知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故

ZQMN=\20°,

35525

由余弦定理可得MN'=/+/-2/cosl2()o=3r2=3x—x—=—,

362136

所以="

6

故答案为：?.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)在①%+%=14,②£=28,③6是%与小的等比中项，三个条件中任选一

个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：已知｛%｝为公差不为零的等差数列，其前〃项和为黑，也』为等比数列，其前〃项

和1=2"+/1,4为常数，%=",

(1)求数列｛%｝,血｝的通项公式;

，，

(2)令%=[/ga“],其中[x]表示不超过x的最大整数，求。1+2+3+—+900的值.

【解答】解：选①%+%=14,(1)设｛6,｝的公差为4,4不为零，色｝的公比为

由已知可得以=g-g=2,4=]_4=4,

所以q=色=2,则々=b2q--=2x2吃=2必.

b2

故4=4=1,

贝Ijl+2d+l+4t/=14,解得d=2,所以〃〃=1+2(〃-1)二2〃-1；

(2)由C〃=UgaJ,

贝UC]=C2=G=J=a=0，Cg=C：=♦♦・=C50-1,C51~与2=•,,=。00=2,

所以q+C2+C3+...+c1Go=1x45+2x50=145.

选②54=28.

(1)设｛可｝的公差为4，4不为零，也J的公比为“，

由已知可得向=《一4=2,4=4-4=4,

所以q=%=2,则以=b,q"“=2x2”2=；

h2

故4=4=1,

4x3

由§4=28,可得4x1+亏xd=28,解得d=4,

所以为二4九一3；

(2)由c“=[/ga“],

贝！JC[=02=弓=0,Q=q=・・.=C25=1，^26=027=•,,=0100=2，

所以q+j+C3+...+q()o=1x22+2x75=172.

选③恁是生与%的等比中项，

(1)设｛4｝的公差为〃，"不为零，也｝的公比为9，

由已知可得,=《_g=2,by=T3-T2=4,

所以4=%=2,则年=b,qg=2x2'-2=2"-'；

b2

故4=〃=1,

由《是％与%的等比中项，可得d=%阳，

即(1+71)2=(1+41)(1+121),

解得4=2,则%=1+2("-1)=2〃-1；

(2)由q,=[/ga“],

则q=C?=C3=C4=C5=0,=C7=...=C50=1»。51^52=***~。|00=2,

所以q+C2+C3+...+c100=1x45+2x50=145.

18.(12分)将函数/(x)=sinx+6cosx图象上所有点向右平移三个单位长度，然后横坐标

6

缩短为原来的;(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象.

(1)求函数g(x)的解析式及单调递增区间：

(2)在AA3c中，内角A,B,C的对边分别为a,h,C,若虱£-溷§+B=,，

364

c=g(?),b=2+,求AABC的面积.

【解答】解：(1)函数〃x)=sinx+/cosx=2sin(x+?图象，

函数/(X)上所有点向右平移£个单位长度，然后横坐标缩短为原来的!(纵坐标不变)，

62

TT

得到函数g(x)=2sin(2x+w)的图象.

6

令：一生+2%磅也工+工2%乃+匹(&cZ),

262

jrjr

整理得：一；+攵磅k攵4+?/wZ),

36

TTn

故函数的单调递增区间为：[-7+版■，版■+：](ZcZ).

36

用"TC7V

(2)Sc=g(-)=2sin(-+-)=2,

636

故c=2,

.，4C、小1

sin(——B)cos(—+B)=一,

364

71

整理得cos(—+8)=土一，

62

由于Be(0,万)，

〜、兀.7174、

所以，

666

TT1ir

①当cosq+BX；；,解得B=：,

626

由余弦定理：b2=tz2+c2-26/rcosB,

解得：。=6+布，

所以：^&ABC=LX2X(A/3+y/Ti)='+一.

22

TT1TT

②当cos(7+8)=—；；时，解得8=7.

622

由勾股定理：解得112-4=20,

所以5.比=；*2、2£=2〃・

19.(12分)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP=PD,将三角形始Z)沿AD折

起使平面Q4D1•平面ABCZ).

(1)若M为尸C上一点，且满足5A/J_P£>,求证：PDYAM；

(2)若二面角8—PC—。的余弦值为-巫，求"的长.

5

【解答】(1)证明：因为平面外£>_!_平面A8CD,平面B4DC平面A3C£>=A£>,ABu平

面ABCQ,AB±AD,

所以A3,平面A4。，又PDu平面上M>,所以

又PDLBM,AB^BM=B,AB,3Mu平面45A/,

所以P£>_L.平面ABM,又AMu平面ABM,

所以PD_LAM；

(2)解：取4)的中点。，以。为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设。尸=a,

则B(l,2,0),C(-l,2,0),D(-l,o,0),P(0,0,a),

所以丽=(2,0,0),前=(0,-2,0),而=(1,-2,a),

设平面PBC的法向量为所=(X,y,z),

m-CB=02x=0

则有1

ffiCP=Qx-2y+az=0

^y=a,则x=O，z=2,故玩=(0,a,2),

设平面PS的法向量为万=（p,q/）,

n-CD=O-2q=0

则有，

n-CP=Op-2q+ar=0

号p=a,贝iJq=0,r=—1,故万二(。,0,-1),

因为二面角3—的余弦值为-半，

,.\ih-n\2V10

所以|cos<犯〃>|=|一।一=厂—L—=二~，解得。=1，

|w||«lVa+4.V«+15

所以AP=47T=血.

20.（12分）某品牌餐饮企业为满足人们餐饮需求、丰富产品花色、提高企业竞争力，研发

了一款新产品.该产品每份成本60元，售价80元，产品保质期为两天，若两天内未售出，

则产品过期报废.由于烹制工艺复杂，该产品在最初推广阶段由企业每两天统一生产、集中

配送一次.该企业为决策每两天的产量，选取旗下的直营连锁店进行试销，统计并整理连续

30天的日销量（单位：百份），假定该款新产品每口销量相互独立，得到如图的柱状图.

（1）记两天中销售该新产品的总份数为J（单位：百份），求J的分布列和数学期望;

（2）以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份、28百份两

种方案中应选择哪种？

【解答】解：（1）根据题意可得:

J的所有可能取值为24,25,26,27,28,29,30,

P(^=24)=—X—=—,

1010100

133

P(/=25)=—