2021年全国中考数学真题分类汇编-函数：函数与几何（压轴题2）（学生版）

2021全国中考真题分类汇编(函数)

---函数与几何(2)

1.(2021•四川省眉山市)如图，直线y=Zx+6与x轴交于点A,与y轴交于点艮直线MN

4

//AB,且与aAOB的外接圆0P相切，与双曲线y=-毁在第二象限内的图象交于C、

x

D两点.

(1)求点A,8的坐标和OP的半径；

(2)求直线MN所对应的函数表达式;

(3)求ABCN的面积.

2.(2021•四川省南充市)如图，已知抛物线ynoAbx+d(a#0)与x轴交于点A(1,0)

和B,与)，轴交于点C,对称轴为直线x=>|.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合)，过点P作y轴的平

行线交抛物线于点Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说

明理由；

(3)如图2,在(2)的条件下，。是OC的中点，过点。的直线与抛物线交于点E,且

ZDQE=2ZODQ.在y轴上是否存在点F,得ABEF为等腰三角形？若存在，求点F

的坐标；若不存在，请说明理由.

3.（2021•遂宁市）如图，已知二次函数的图象与x轴交于1和6（—3,0）两点，与y轴

交于C（0,-3）,对称轴为直线％=-1,直线尸一2*+而经过点儿且与y轴交于点〃，

与抛物线交于点E,与对称轴交于点F.

（1）求抛物线的解析式和r的值；

（2）在y轴上是否存在点。，使得以小£、P为顶点的三角形与△?（切相似，若存在，求出

点一的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）直线尸1上有双"两点（"在N的左侧），且,W2,若将线段秘V在直线y=l上平

移，当它移动到某一位置时，四边形,侬W的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果

保留根号）.

4.（2021•四川省自贡市）如图，抛物线y=（x+D（x-a）（其中。＞1）与x轴交于4、8两

点，交y轴于点C.

（1）直接写出NOCA的度数和线段AB的长（用。表示）；

（2）若点。为AABC的外心，且△BC。与△ACO的周长之比为J而：4,求此抛物线

的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线丁=（》+1）（》-。）上是否存在一点「，使得

NC4P=NDBA?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

5.（2021•天津市）己知抛物线y=ox2-2at+c（a,c为常数，。。0）经过点,

顶点为。.

（I）当。=1时，求该抛物线的顶点坐标；

(II)当a>0时，点E(O』+a),若DE=2®)C，求该抛物线的解析式；

(III)当"-1时，点*0,1—。)，过点C作直线/平行于x轴，/(根,0)是x轴上的动

点，N(m+3,—1)是直线/上的动点.当“为何值时，产M+DV的最小值为2碗，并求

此时点M,N的坐标.

6.2021•湖北省恩施州)如图，在平面直角坐标系中，四边形A8C。为正方形，点A,B在

x轴上，抛物线y=/+bx+c经过点8,D(-4,5)两点，且与直线。C交于另一点£.

(1)求抛物线的解析式；

(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,

3为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明

理由；

(3)。为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连接ME,BP,探究

EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，

请说明理由.

备用图

7.(2021•浙江省金华市)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-旧，0),点B在直

线/：上，过点B作AB的垂线，过原点。作直线/的垂线，两垂线相交于点C.

8

(1)如图，点8,C分别在第三、二象限内，8c与AO相交于点。.

①若84=80,求证：CD=CO.

②若NCBO=45°,求四动形ABOC的面积.

(2)是否存在点B,使得以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB

的长；若不存在，请说明理由.

8.(2021•湖北省荆门市)如图，抛物线y=a?+6x+c交x轴于4(-1,0),/?(3,0)两

点，交y轴于点C(0,-3),点。为线段BC上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求|。。|+|。川的最小值；

(3)过点Q作PQ〃AC交抛物线的第四象限部分于点P,连接见,PB,记△山。与4

PBQ面积分别为Si,52,设5=5|+52,求点P坐标，使得S最大，并求此最大值.

9.(2021•江苏省盐城市)学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时

针旋转一定的角度a,能得到一个新的点P,经过进一步探究，小明发现，当上述点P

在某函数图象上运动时.，点P也随之运动,并且点P的运动轨迹能形成一个新的图形.

试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度a的大小来解决相关问题.

【初步感知】

如图1,设A(1,1),a=90°,点P是一次函数图象上的动点，己知该一次函

数的图象经过点Pl(-I,1).

(1)点Pi旋转后，得到的点Pi'的坐标为(1,3):

(2)若点P的运动轨迹经过点尸2,(2,1),求原一次函数的表达式.

【深入感悟】

如图2,设A(0,0),a=45°,点尸是反比例函数丫=-上(x<0)的图象上的动点，

x

过点P'作二、四象限角平分线的垂线，垂足为例，求△OMP'的面积.

【灵活运用】

如图3,设A(1,-V3)>a=60°,点P是二次函数y=L2+2«r+7图象上的动点，

2

已知点8(2,0)、C(3,0),试探究△BCP的面积是否有最小值？若有，求出该最小

值；若没有，请说明理由.

10.(2021•重庆市4)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=/+加+。经过A(0,-

1),B(4,1).直线AB交x轴于点C,尸是直线A8下方抛物线上的一个动点.过点P作

PD±AB,垂足为£>,PE〃x轴，交AB于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当的周长取得最大值时，求点P的坐标和周长的最大值；

(3)把抛物线y=/+区+。平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛

物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四

边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

11.(2021•重庆市8)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=〃/+以-4(存0)与x轴交

于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)直线/为该抛物线的对称轴，点。与点C关于直线/对称，点P为直线下方抛

物线上一动点，连接以，PD,求△出。面积的最大值.

(3)在(2)的条件下，将抛物线、=加+法-4(存0)沿射线AQ平移4加个单位，得

到新的抛物线》,点E为点P的对应点，点尸为力的对称轴上任意一点，在力上确定一

点、G,使得以点。,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G

的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

备用图

12.(2021•湖北省十堰市)已知抛物线丁=依2+历;一5与x轴交于点A(-1,0)和

B(-5,0),与y轴交于点C,顶点为P,点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交

抛物线于“，连AC、CM.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,当tanNAOM=2时，求M点的横坐标；

(3)如图2,过点P作x轴的平行线/,过用作/于若MD=6MN，求N点

的坐标.

13.(2021•湖南省张家界市)如图，已知二次函数、=。/+。8+。的图象经过点。(2,—3),

且与x轴交于原点及点3(8,0).

(1)求二次函数的表达式；

(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；

(3)判断4180的形状，试说明理由：

(4)若点P为。。上的动点，且。。的半径为20,一动点E从点A出发，以每秒

2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P,再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB

匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间，的最小值.

14.(2021•海南省)已知抛物线y=o?+2r+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，

4

且点A的坐标为(-1,0)、点C的坐标为(0,3).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1,若该抛物线的顶点为P,求△PBC的面积；

(3)如图2,有两动点£＞、E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们

分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C-O-B方向向终点B运动，点E

沿线段BC按8-C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止

运动.设运动时间为r秒，请解答下列问题：

①当f为何值时，△8DE的面积等于世；

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②在点。、E运动过程中，该抛物线上存在点凡使得依次连接A。、DF、FE、EA得到

的四边形4OFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标.

15.（2021•广西玉林市）已知抛物线：y=«%2-3ox-4a（a>0）与x轴交点为A,B

（A在3的左侧），顶点为O.

（1）求点A,8的坐标及抛物线的对称轴；

3

（2）若直线y=与抛物线交于点”，N,且M，N关于原点对称，求抛物线的解

析式；

7

（3）如图，将（2）中抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点以在直线/：y上，

O

设直线/与y轴的交点为0',原抛物线上的点尸平移后的对应点为点Q,若O'P=O'Q,

求点P,。的坐标.

16.（2021•广西贺州市）如图，抛物线"/+区+,与X轴交于A、3两点，且*（T，°）,

对称轴为直线％=2.

（1）求该抛物线的函数达式：

（2）直线/过点A且在第一象限与抛物线交于点C.当NCAB=45°时，求点。的坐标；

（3）点。在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令尸（号,%）,当

l<xp<a,1W.W5时，求△PCD面积的最大值（可含4表示）.

17.2021•山东省济宁市)如图，直线y=-1+3分别交x轴、y轴于点4,B,过点A的

22

抛物线y=-7+bx+c,与x轴的另一交点为C,与y轴交于点0(0,3),抛物线的对称轴

1交AD于点、E,连接OE交AB于点立

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：OE_LAB；

(3)P为抛物线上的一动点，直线尸。交4。于点M,是否存在这样的点P,使以A,O,

M为顶点的三角形与△AC。相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

18.（2021•内蒙古包头市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-d+4x经过坐标原点,

与x轴正半轴交于点4点是抛物线上一动点.

（1）如图1,当相>0,〃>0,且〃=3m时，

①求点M的坐标：

②若点在该抛物线上，连接OM,BM,C是线段上一动点（点C与点M,B

不重合），过点C作CD//MO,交x轴于点。，线段0。与MC是否相等？请说明理由；

（2）如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点K,点在对称轴上，当机>2,«>0,

且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N,G为y轴

（［8、

上一点，点G的坐标为0,—，连接GF.若EF+NF=2MF,求证:射线FE平分ZAFG.

图1图2

19.（2021•齐齐哈尔市）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线^=0¥2+2%+。（。工0）与彳轴交于点4、B,与y轴交

于点C,连接BC,Q4=l,对称轴为x=2,点。为此抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上C,。两点之间的距离是；

(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE.求ABCE面积的最大值；

(4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q,使以点8、C、P、。为顶点的四边形为矩

形，请直接写出点。的坐标.

20.(2021•内蒙古通辽市)如图，抛物线y=af+灰+3交x轴于A(3,0),8(-1,0)两

点，交y轴于点C,动点P在抛物线的对称轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当以P,B,C为顶点的三角形周长最小时，求点尸的坐标及APBC的周长；

(3)若点。是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点。，使得以A,C,P,Q为

顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请

说明理由.

备用图

21.（2021•黑龙江省龙东地区）如图，抛物线、=依2+法+3（。工0）与x轴交于点A（l,0）

和点3（—3,0）,与y轴交于点C,连接3C,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点O.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点。在射线互>上，若以点尸、Q、E为顶点

的三角形与ABOC相似，请直接写出点P的坐标.

22.（2021•绥化市）如图，已知抛物线"办2+公+55/0）与工轴交于点4（一5,0）,点

3（1,0）,（点A在点8的左边），与>轴交于点C,点。为抛物线的顶点，连接50.直线

y=%—经过点A,且与y轴交于点E.

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备用题

（1）求抛物线的解析式；

（2）点N是抛物线上的一点，当△8DV是以ON为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；

（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG,并延长FG与线段BD

交于点H（点〃在第一象限）.当NEFG=3N84石且HG=2FG时，求出点尸的坐标.

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