2021年宁夏银川一中高考数学二模试卷（文科）（解析版）

2021年宁夏银川一中高考数学二模试卷（文科）

一、选择题（每小题5分）.

1.已知集合人二但工-IWO},8=3尸&_1},则AU8=（）

A.{1}B.[0,1]C.{0}D.R

2.已知复数2=（1-2i）（i为虚数单位），则|z|=（）

A.B.2C.^3D.1

3.设aeR,则“2VaV3"是aa2-5a-6<0w的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

y€R,则白=（

4.已知。是正方形4BCC的中心.若而=入标+|1菽，其中入，I)

A.-2B.C.-A/2D.V2

2

5.设为、乃分别是双曲线乂2_彳=1的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PFi|=5,则『Bl

=（）

A.1B.3C.3或7D.1或9

6.一组数据X.,X2,X3,…，X”的平均数为彳，现定义这组数据的平均差为D=

|x「x|+|x2]XI+IX3-X"……+凡-乂|.如图是甲、乙两组数据的频率分布折

n

根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差的大小关系是（）

A.B.。1=。2C.Di<D2D.无法确定

7.已知，n、〃、/是三条不同的直线，a、p是两个不同的平面，则下面说法中正确的是（）

A.若〃zua,〃ua,月.Z±n.贝！J/_La

B.若/ua,〃u仇且/_L〃，贝iJ/_L0

C.若加_La,且/_L机，则/〃a

D.若m_La,〃_L0,且/〃加，l//n,则a〃0

8.已知函数f（x）二sin（3x（3〉0）的一条对称轴为x二C，则3的最小值为（)

6

A.1B.2C.3D.4

9.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位

作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四

个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位

数字之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78.1周角等于6000

密位，记作1周角=60-00,1直角=15-00.如果一个半径为2的扇形，它的面积为1•兀，

6

则其圆心角用密位制表示为（）

A.12-50B.17-50C.21-00D.35-00

10.函数f（x）=cosxTn（八tI-x）在［-1，1］的图象大致为（）

A.

11.如图，在AABC中，D,E是AB边上两点，BM=2M0且XEDM,△AEM,

△ACM的面积成等差数列.若在△ABC内随机取一点，则该点取自的概率是

()

12.已知aeR.设函数/（x）=«x?-2ax+2a,x<l,若关于》的不等式/（》）与。在R

x-alnx,x>l.

上恒成立，则a的取值范围为（）

A.[0,1JB.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线V=4x上的点A到其焦点的距离是6,则点A的横坐标是.

14.已知sin（CL则sin2a=.

15.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的

表面积为.

恻祝田

16.如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M,N分别在线段A8,AC上，将△AMN

沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM

的最小值为

A

N

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:

共60分）

17.已知等比数列｛小｝的前〃项和为S”且a“+i=2+S“对一切正整数〃恒成立.

（1）求©和数列｛a,J的通项公式；

（2）求数列｛a｝的前"项和4.

18.某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（，"，"）

之间近似满足关系式（A。为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量

与尺寸的比在区间（捺，内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下:

97

尺寸x(mm)384858687888

质量y(g)16.818.820.722.42425.5

质量与尺寸的比工0.4420.3920.3570.3290.3080.290

x

（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求恰有一件优等品的概率；

（2）根据测得数据作出如下处理：令3=1伙,Ul=lnyi,得相关统计量的值如下表:

6666

£viuiJiE%

i=li=li=li=l

75.324.618.3101.4

（i）根据所给统计量，求y关于x的回归方程;

（ii）已知优等品的收益z（单位：千元）与x,y的关系为z=2y-0.32x,当优等品的

质量与尺寸之比为微■时，求其收益的预报值.（精确到0.1）

O

附：对于样本（*，Ui）（i=l,2,•••,n）,其回归直线〃=b・u+〃的斜率和截距的最小

n_n

52(vi-v)£viui-nvu

二乘估计公式分别为：［得---------=3----------------，a=u-b^>^2.7182.

▽(一、2▽2-2

i=li=l

19.已知三棱柱ABC-AiBCi如图所示，平面ABC，平面ACGAi,N44iC=N4C8=90°,

/4AC=30°,4c=2BC,点M在线段A181上.

(1)求证：AAilAiB；

lA,M

(2)若BC=2«,三棱锥Al-BCM的体积为6,求的值.

20.已知函数/(x)=/必k(x-l)+］.

x

(1)当％=2时，求曲线/(x)在点(1,/(I))处的切线方程;

(2)当x>l时，函数f(x)有两个零点，求正整数火的最小值.

2L已知椭圆c与土―的离心率为等椭圆C与y轴交于点48(点

abz

B在x轴下方)，D(0,4),直径为8。的圆过点E(-a,0).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过。点且不与y轴重合的直线与椭圆C交于点M,N,设直线4N与交于点7,

证明：点T在直线y=l上.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

第一题记分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

JT

22.在平面直角坐标系x0y中，直线/过定点P(3,0),倾斜角为a(0<a<—),曲

(1

x=t+~

线C的参数方程为J1(f为参数)；以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，

_t1

y方可

建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)己知直线/交曲线C于M,N两点，且•『四|=¥，求/的参数方程.

［选修4-5：不等式选讲］

23.函数/(x)=—(x+1)2.

4

(1)证明：/(x)+|/(x)-2|22；

(2)若存在XER,且XW-1,使得一(x)W|〃?2-"LH成立，求机取值范围.

4f(X)

参考答案

一、选择题(共12小题).

1.己知集合4=国工-1<0},B={y\y=y/~^~i},则AUB=()

A.{1}B.[0,1]C.{0}D.R

解：集合4={x|x-1W0}={X|XW1},B={y|y=Jx-。={九2}，

.\AUB=R.

故选：

2.已知复数2=(1-2i)•，(i为虚数单位)，则|z|=()

A.遥B.2C.MD.1

【解答】解法1：.z=(l-2i)i=2+i=>|Z|=\/22+12=V5;

解法2：|z|=|(l-2i)i|=|l-2i||ilV5><l=V5.

故选：A.

3.设aeR,则“2<aV3”是wa2-5a-6<0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：由〃-5a-6<0,可得-

由2<“<3可推出-

由-1<〃<6不能够推出2<a<3,

所以«GR,“2VaV3”是一5a-6<0"的充分不必要条件.

故选：A.

入

4.已知。是正方形A8C£>的中心.若而=入族+|1菽，其中入，咋R，则

A.-2B.蒋C.-&D.亚

解：DO=DA+AO=CB+AO=AB-AC+]AC=AB»AG

・••入=1,|i=~—,

2

故选：A,

B

5.设Fi、尸2分别是双曲线x2_（=l的左、右焦点，点P在双曲线上，且|尸m=5,则|尸四

=()

A.1B.3C.3或7D.1或9

解：双曲线乂2_工：=1，可得。=1,

x4

为、22分别是双曲线乂2.《=1的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PFi|=5,

当P在双曲线的左支时，则|PB|=2a+|PFi|=2+5=7,

当P在双曲线的右支时，则|尸刑=-2a+\PF\\=-2+5=3,

综上|PB|=3或7.

故选：C.

6.一组数据XI,X2,X3,…，x〃的平均数为7，现定义这组数据的平均差为D=

|x「xI+IX2-XI+IX3-XI+……+|xn-x|如图是甲、乙两组数据的频率分布折

n

根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差。2的大小关系是（）

A.D\>DiB.DI=D2C.D\<DID.无法确定

解：根据题意知，平均差也表示一组数据的离散程度，平均差越小，说明该组数据越集

中，

由频率分布折线图知，甲组数据较为分散，平均差大些，乙组数据较为集中，平均差小

些,

所以

故选：A.

7.已知叭〃、/是三条不同的直线，a、0是两个不同的平面，则下面说法中正确的是()

A.若mua,〃ua,且/_L〃?，Z±n,贝！J/_La

B.若lua,nep,且/_!_〃，则LL0

C.若加_La,且/J_加，则/〃a

D.若朋_La,n±p,且/〃机，l//nf则。〃0

解：由小、〃、/是三条不同的直线，a、(3是两个不同的平面，知：

对于A,若mua,nca,且/_Lm,ILn,则只有当机，〃相交时，才有/_La,故A错误;

对于3,若/ua,小邙，且/_!_〃，则/与0相交、平行或/u0,故3错误；

对于C,若加_La,且/_Lm,则/〃a或/ua,故C错误；

对于£),若相_La,n±p,且/〃加，l//n,则由面面平行的判定定理得a〃0,故。正确.

故选：D.

8.已知函数f(x)=sin(3x个f)(3>0)的一条对称轴为x二二1，则3的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

TTJT

解：由函数/(x)=sin(a)x+—)的一条对称轴为x=k，

66

TTTTJT

所以----------kn-\--->keZ,解得3=6k+2,keZ；

662

又3>0,所以3的最小值为2.

故选：B.

9.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位

作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四

个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位

数字之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成-4-78.1周角等于6000

密位，记作1周角=60-00,1直角=15-00.如果一个半径为2的扇形，它的面积为《冗，

6

则其圆心角用密位制表示为()

A.12-50B.17-50C.21-00D.35-00

7

解：面积为3兀，半径为2的扇形所对的圆心角弧度数大小为

6

771

S67兀，

兀尸几・

e=2…92"7T

JTr4H

7兀

由题意可知,其密位大小为12

6000X=1750'

271

所以用密位制表示为17-50.

故选：B.

10.函数f(x)=cosx・ln(dx2+l-x)在［-1，1］的图象大致为()

解：f(-x)=cos(-x)*lnG/x2+l+x)=-cosx*ln(A/x2+l-x)=_f(x),故函数/(x)

为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD；

又f(1)=cosl，ln(J^-l)<0,故排除4.

故选：B.

11.如图，在△ABC中，D,E是4B边上两点，gjj=2HC>且△BCM,AEDM,/\AEM,

△ACM的面积成等差数列.若在aABC内随机取一点，则该点取自aAEM的概率是

()

sA++S

解：因为BM=2H0SAACH=yABAM^2BDMAEDMAAEM'

因为△BQM,4EDM,l\AEM,△ACM的面积成等差数列，

设S^BDM=a\,公差为d,

所以SaE0M=m+d,SMEM=a\+2d,S^ACM=ci\+3d,

代入①式可得'a।+3^=~2(a1+a[+d+a]+2d)，

所以〃l=3d,故S/i8/)M=3d,S^EDM=4d,S&EDM=5d,SAACM=6(1,

S总=3d+4d+5d+6d=18d,

所以该点取自AAEM的概率是汽=」.

18d18

故选：A.

12.已知aeR.设函数f(x)=,x2-2ax+2a,x<l,若关于工的不等式『(》)在R

x-alnx,x〉l,

上恒成立，则。的取值范围为()

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]

解：当x=l时，/(I)=1-2a+2a=1>0恒成立；

2

当x<\时，f(x)=x2-2cix+2a0<=>2a——恒成立，

X-1

22

令g(x)=/=_x=_(1-X-1)=_(1-X)2-2(1-x)+」=_(1__+1_

x-11-x1-x1-x1-x

2)W-(2J(i-x).-l--2)=0,

V1-x

Ka'g(X)max~0,工o20.

当x>l时，f(x)=x-—恒成立，

lnx

1

ldnx-x*一lnx-1

令h(尤),则/(x)______x_

(lnx)2

lnx(lnx)2

当x>e时，h'(x)>0,h(x)递增,

当l<xVe时，//(x)<0,h(无)递减,

；.x=e时，h(x)取得最小值/?(e)=e,

:.aWh(x)nin=e,

综上”的取值范围是[0,e].

故选：C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线V=4x上的点A到其焦点的距离是6,则点A的横坐标是5

解：抛物线V=4x的准线方程为x=-1,

；抛物线炉=以上点到焦点的距离等于6,

.•.根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为5.

故答案为：5；

14.已知sin(a则sin2a=—.

'4J10-25一

解：因为sin(a+J，可得sina+cosa所以sin2a+1=^巳,解得

410b2b

sin2a=-祟,

NJ

故答案为：-.

25

15.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的

解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，

可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为底面是一个等腰直角三角形的

三棱锥，如图.

则这个几何体的外接球的球心0在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心,

这个几何体的外接球的半径叵.

33_

则这个几何体的外接球的表面积为S=4n/?2=4nx（也）2=驾匚

33

故答案为：雪匚.

16.如图所示，边长为1的正三角形4BC中，点M,N分别在线段A8,AC上，将△AMN

沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM

的最小值为2、巧-3

解：设AM=x,NAMN=a,则ZAMB=180°-2a,：.ZBAM=2a-60°,

AMBM

在△A8M中，由正弦定理可得

sinZABMsinZBAM

Xl-x返

BPV3"sin(2CC-60o)，2

■^■+sin(2Cl-600)

返

.•.当2a-60°=90°即a=75。时，x取得最小值一―=2«-3.

故答案为：2y-3.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:

共60分）

17.已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S”，且a.+i=2+S,对一切正整数〃恒成立.

（1）求G和数列｛〃“｝的通项公式；

（2）求数列｛SJ的前"项和4.

解：等比数列｛m｝的前〃项和为S”且ae=2+S,对一切正整数〃恒成立,

当〃=1时，02=2（/”4/2=2+51,

解得：0=2,

当"）2时，a»=2+Sn-1,

两式相减得：斯+尸2即

即：氏*=2（常数），

an

故：数列｛0,｝是以6=2,公比为2的等比数列.

n

所以：an=2.

n

（2）由于：an=2.

所以：Si*"

22n+1

则：Tn=(2+2+-+2)-2m

n

=4(2-l)

-2n,

2-1

=2"+2-2〃-4

18.某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸

之间近似满足关系式（氏c为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量

与尺寸的比在区间（提，内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下:

97

尺寸x(m/n)384858687888

质量y(g)16.818.820.722.42425.5

质量与尺寸的比工0.4420.3920.3570.3290.3080.290

X

（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求恰有一件优等品的概率；

（2）根据测得数据作出如下处理：令％=痴,如=/〃）*•,得相关统计量的值如下表:

6666

vu▽v2

£ii£vx£%£i

i=li=li=li=l

75.324.618.3101.4

（i）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；

（ii）已知优等品的收益z（单位：千元）与x,y的关系为z=2y-0.32x,当优等品的

质量与尺寸之比为£时，求其收益的预报值.（精确到0.1）

附：对于样本（％,出）（/=1.2,〃），其回归直线的斜率和截距的最小

n_n

汇（vj-v）£viui-nvu

二乘估计公式分别为：b=-^---------------=J^-----------------，工）42.7182.

工（Vj-u）2£v^-nv2

i=li=l

解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间（之，称）内，

97

即工£（0.302,0.388）

x

则随机抽取的6件合格产品中，

有3件为优等品Ai,A2,小，3件为非优等品3,B2,&-----------------（1分）

现从任选2件，共有（Ai,A2）、（Ai,A3）、（Ai,Bi）、（A”&）、

（Ai,Bj）、{Ai,A3）、（A2,Bi）、（A2）&）、（42,83）、

（A3,Bi）、（A3,&）、（A3,83）、

（Bi,82）、（Bi,B3）、（&,83）15种方法---------

设任选2件恰有一件优等品为事件C,

则事件C包含（4,S）、（A,&）、

（Ai,83）、（A2,Bi）、

（A2,B2）、（A2,B3）、（A3,Bi）、

（A3,82）、（A3,&）共9种方法--------------------------------------------

由古典概型有p（c）=22，故所求概率为3------------------------------

1555

(2)解：对y=c・f(〃，c>0)两边取自然对数得例

由Vj=lnxi9Ui=Inyif得〃=b・u+a,且〃=加。---------

,•、人3、,___,一工八、，八75.3-24.6X18.3.6Q271

（）根据所给统计里及最小二乘估计公式有•一

1b=101.4-24.6o24-60.54=727

____[•**

a=u-bv=（18.3--X24.6）+6=1,^a=lnc=1'故c=e

所求y关于x的回归方程为7--------------------

y=e*x

-1•

（ii）由（i）可知，万，则_厂「0。

y=e・x"z-20Rx-0.32x

当丫_6*2_e_e,即J^=8,x=64时----

xxVx8

得收益的预报值z=i6e-0.32X64=23.((千元)'

19.已知三棱柱4BC-4BQ如图所示，平面ABC_L平面ACCA,乙MC=/4CB=90°,

/4AC=3O°,AC=28C,点M在线段上.

(1)求证：A4i±AiB；

(2)若BC=2«,三棱锥Ai-BCM的体积为6,求高片的值.

【解答】（1）证明：•••平面A8CL平面ACG4,平面A8CC平面ACGAi=AC,

BC±AC,BCu平面ABC,，BCJ_平面。i,

而AiCu平面AAGC,/.BC±AiC,得N4CB=9O°,

设BC=x,-：AC=2BC,则AC=2x,又NA4iC=90°,NAiAC=3O°,

=-

***AiCXrAA।xfA।Bx,AB="^"^x，

而AAj+AiB2=3x2+2x2=5x2=AB2,

.•.A4I±AIB；

(2)解：过例作MN_LA山交AiB于N,

若BC=2«,由(1)得，A]C=2«,A4I=B8I=6,

VA_BCM"MN*SAAICB=6,即当MNX得X2^X2y=6,

解得MN=3,又；/41出=/485=90°,

.A1H_HN_31

•♦不7-丽y一会至’

1A,M

111MDi

20.已知函数/(x)=/--k(x-l)+]

x

(1)当k=2时;求曲线f(x)在点(1,f(l))处的切线方程；

(2)当x>l时，函数f(x)有两个零点，求正整数人的最小值.

解：(1)k=2时，f(x)=lnx-——+1=bvc+^--1,x>0,

XX

x-2

f(x)=—,/(I)=1,f(1)=-1,

X

故切线方程是y-l=-(X-1),即x+y-2=0；

x~~k

(2)f(x)=-①,当女>0时，由，(x)=0可得x=Z,

x

由，(x)V0得xV鼠由/(x)>0,得x>k,

①若kWl时，/(元)在(1,+8)上单调递增，至多1个零点，不合题意，

②若k>l时，函数f(x)在(1,k)上单调递减，在(k,+8)上单调递减，

*.*/(1)=1,故若函数/(工)有2个零点，则/(k)而〃=/(2)=lnk-H2<0,

令g(x)=lnx-x+2,(x>l),则g'(x)=工^<0,g(x)在(1,+°°)递减，

x

又g(2)=/n2>0,g(3)=/n3-l>0,g(4)=/〃4-2V0,

故存在xo€(3,4)使得g(xo)=0,则g(x)VO的解集是(xo,+8),

综上，%的取值范围是(xo,+8),xoG(3,4),

故正整数&的最小值是4.

21.已知椭圆C：M■三=1(">6>0)的离心率为返，椭圆C与)，轴交于点A,8(点

a"b"2

8在x轴下方)，D(0,4),直径为8。的圆过点E(-a,0).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过。点且不与y轴重合的直线与椭圆C交于点M,M设直线AN与BM交于点T,

证明：点T在直线y=l上.

解：(1)由已知可得又直径为BD的圆过点E(-a,0),(0,-b),D

a2

(0,4),

所以8E_LQE,即瓦•而=(a,-b)'(a,4)=a2-4b=0>

又〃2=按+理，联立解得浮=8,加=4,

22

所以椭圆的方程为江上=1；

84

(2)证明：由题意可知，直线的斜率存在，

设其方程为：y—kx+4,M(xi,yi),N(M,”)，

y=kx+4

联立方程1V2v2，消去y整理可得：(1+2R)R+16丘+24=0,

—+^—=1

84

所以△=256F-96(1+2F)>0,解得

--16k_24

且QX[+X2一？，XiXn-o1

l+2k?1+2

y2-2

因为A(0,2),B(0,-2),所以直线AN的方程为y=1一x+2,

x2

y2-2

y=---------x+2

Yi+2x2

直线3M的方程为y=」-x-2,联立方程《

X1y,+2

y——x-2

X1

XX12kxjX+2Xj+6X

消去X整理可得：一^9-(y-2)=-=(y+2),解得)，=22

2

y2~了1+23x2-Xi

+2kX|X2+3(Xj+x2)

2kxjX22X।+6X2

所以y-1

3X2-X13X2-X1

2k.-24__48k_

乙AQr\

l+2kJl+2kJ石

----Q---