建筑力学：结构的动力计算

第十九章结构的动力计算§19-1动力计算的特点和动力自由度一、动力计算的特点

“静力荷载”：大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。由它所引起的内力和变形都是确定的。“动力荷载”：大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。P(t)tPt简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载二、动力荷载分类

（变化规律及其作用特点)1）周期荷载：随时间作周期性变化。3）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）PtP(t)ttrPtrP三、动力计算中体系的自由度

实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：

1、集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数2个自由度y2y12个自由度自由度与质量数不一定相等mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱厂房排架水平振时的计算简图单自由度体系水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块θ(t)v(t)u(t)4个自由度m1m2m32个自由度y(x,t)x无限自由度体系2、广义座标法：如简支梁的变形曲线用三角级数来表示xyxa1，a2，……..any(x,t)其中：φi（x）是自动满足位移边界条件的函数结合中任意选取的n个函数。3、有限单元法：将杆件分为若干个单元§19-2单自由度体系的自由振动

自由振动：没有动荷载的作用。静平衡位置m获得初位移y

m获得初速度要解决的问题包括：建立运动方程、计算自振频率、周期等

一、运动微分方程的建立方法：达朗伯尔原理应用条件：微幅振动1、刚度法：m..yj.yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移y(t)=yj+ydk力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重力W弹性力恒与位移反向惯性力与加速度反向惯性力……………(a)其中kyj=W及上式可以简化为或由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。2、柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。..m静平衡位置I(t)可得与(b)

相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。二、自由振动微分方程的解改写为其中它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：积分常数C1，C2由初始条件确定m静平衡位置I(t)设t=0

时..（d）式可以写成

由式可知，位移是由初位移y

引起的余弦运动和由初速度v

引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,令(e)式改写成它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和

可由下式确定振幅相位角y0ty

-y

TTTyt0yt0

A-A三、结构的自振周期和频率由式及图可见位移方程是一个周期函数。Tyt0

A-A周期－工程频率－圆频率－计算频率和周期的几种形式例1.计算图示结构的频率和周期。mEIl/2l/21例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IE,I1E,A1

IIEI1=

mhk例3.计算图示刚架的频率和周期。由截面平衡四、简谐自由振动的特性由式可得加速度为：

在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动.它们的幅值产生于时，其值分别为：

既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程.惯性力为：例4.计算图示体系的自振频率。ABCDEI=

l/2l/2lkBCk..A1..A2

解：单自由度体系，以表示位移参数的幅值,

各质点上所受的力为：建立力矩平衡方程化简后得m§19-3单自由度体系的受迫振动

受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。ky(t)ymkyP(t)mP(t)P(t)弹性力－ky、惯性力和荷载P(t)之间的平衡方程为:单自由度体系强迫振动的微分方程一、动荷载为简谐荷载tmFtAtAqqwqqsinsinsin22=+-tAyqsin=mtFyyqwsin2=+&&tytmFystqwqqwqwsin)1(1sin)1(22222-=-=特解：最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。特解可写为：通解可写为：设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按荷载频率振动平稳阶段：最大动位移（振幅）为：动力系数β为：1023123wqb重要的特性：当θ/ω→0时,β→1当0<θ/ω

<1时,β>1，并且随θ/ω的增大而增大。当θ/ω

→1时,β→∞。振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75<θ/ω<1.25称为共振区。当θ/ω

>1时,β的绝对值随θ/ω的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2

,k=48EI/l3

,P=20kN,θ=80s-1

求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ω2)求β3)求ymax，Mmax例、一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）解：1）求自振频率和荷载频率

I22b3570cm4357039.7对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。3252）求动力系数β175.6MPa

必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。39.71.35149.2设体系在t=0时静止，然后有瞬时冲量S作用。二、外荷载为一般荷载1、瞬时冲量的动力反应P(t)tP瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。由动量定理：Δtcossin)(00www+=tvtytyΔtτtt't'cossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtyty2、任意荷载P(t)的动力反应P(t)tττ时刻的微分冲量对t瞬时(t>τ)引起的动力反应:初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:t(Duhamel

积分)……（15.29）初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:3、几种典型荷载的动力反应1）突加荷载

P(t)tP0yst=P0δ=P0/mω2ysty(t)ωt0π2π3π2）短时荷载P(t)tPu阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同。阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移和速度为初始条件作自由振动。sincos)(00www+=tvtyty或者直接由Duhamel积分作另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu当0<t<u当t>uysty(t)ωt0π2π3πωT1）当

u>T/2

最大动位移发生在阶段Ⅰ2）当u<T/2

最大动位移发生在阶段Ⅱβ1/611/22动力系数反应谱(β与T和u之间的关系曲线)3）线性渐增荷载P(t)tP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解:

对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0βtrP0动力系数反应谱动力系数β介于1与2之间。如果升载很短，tr<T/4,则β接近于2,即相当于突加荷载情况。如果升载很长，tr>4T,则β接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。§19-5多自由度体系的自由振动一、刚度法（1）两个自由度体系m1m2y1(t)y2(t)m1m2K2K1K2K1y1(t)y2(t)11两自由度体系自由振动微分方程设解为=常数当然Y1=Y2=0为其解，为了求得不全为零的解，令特征方程频率方程1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。（1）主振型（2）按主振型振动的条件：初位移或初速度与此振型相对应；m1m2Y21Y11Y12Y22最小圆频率称为第一(基本)圆频率：——第二圆频率例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和k2，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。m1m2k1k211（3）一般振动两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动多自由度体系自由振动的振型分解解：（1）求频率方程中的刚度系数k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（2）求频率k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式若有（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振型二、柔度法m1m2y1(t)y2(t)设解为在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。此时惯性力幅值主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。m1m2Y1Y2

当然解Y1=Y2=0，为了求得不全为零的解，令令主振型0.5a例9.试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）计算频率1a1（2）振型