2023-2024学年广东省广州重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省广州重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线3x+yA.30° B.150° C.120°2.已知向量a=(−3,2,5)，A.3 B.1 C.4 D.23.如果AC<0，且BC<0A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知向量a=(−1,2,1)，A.3 B.−3 C.9 D.5.点O为空间任意一点，若OP=34OA+18OB+A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.无法判断6.已知△ABC的三边上高的长度比分别为1：2：2，若△ABC的最短边与最长边的长度和为A.22 B.7 C.7.已知三棱锥O−ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥A.2 B.3 C.58.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在A.1

B.22

C.3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知{a,b,c}A.2a B.−b C.c 10.在下列四个命题中，错误的有(

)A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π]

C.若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为11.下列命题中，正确的是(

)A.在△ABC中，A>B，则sinA>sinB

B.在锐角△ABC中，不等式sinA>c12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1DA.B1D⊥A1P

B.DP/​/平面AB三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a=(1,2,1),14.直线mx+y−m15.函数y=Asin(

16.点M、N分别是正四面体ABCD棱BC、AD的中点，则cos四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知平面向量a，b满足|a|=4，|b|=3，a⋅b=6．

(18.(本小题12.0分)

已知{a,b,c}是空间的一个基底，且OM=2a+b−c，OA=3a+3b，O19.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bcosC=2a+c．

(1)求角B的大小；20.(本小题12.0分)

已知在多面体ABCDE中，DE/​/AB，AC⊥BC，BC=2AC=4，AB=2DE，DA=DC且平面DA21.(本小题12.0分)已知直线l过定点A(1)若直线l与直线x+(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l22.(本小题12.0分)

如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为3，点E在母线PC上，且AE=3，CE=1．

(1)求证：直线PO/​/平面BDE；

(2

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：设倾斜角为α，直线3x+y−2=0的斜率为−3，

则tanα=−3，2.【答案】C

【解析】解：因为向量a=(−3,2,5)，b=(1,x,−3.【答案】C

【解析】解：∵直线Ax+By+C=0可化为y=−ABx−CB，

又AC<0，BC<0，

∴AB>0，4.【答案】D

【解析】解：∵a=(−1,2,1)，b=(3,x,y)，且a/​/b，

∴3−1=x2=y5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查共面向量基本定理，属于基础题．

由已知条件结合共面向量基本定理可得答案．【解答】

解：∵点O为空间任意一点，

OP=34OA+18OB+18OC，

且36.【答案】B

【解析】解：设△ABC中三个角为A，B，C，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

设a<b<c，AB、AC、BC边上的高分别为h1，h2，h3，

则S△ABC=12ah3=12bh2=12ch1，

根据题意可得h1：h2：7.【答案】B

【解析】解：以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，

所以AB=(−18.【答案】C

【解析】解：以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：

，

则可设E(a,a,0)，其中0≤a≤1，F(b,1,b)，其中0≤b≤1，

根据图中可知直线BD和直线B1C为异面直线，

若能取到两异面直线间的距离，则此时EF距离最小，

根据异面直线公垂线的定义知EF⊥BD，EF⊥B1C，

EF=(b−a,1−a,b)，D9.【答案】CD【解析】解：已知{a,b,c}是空间的一组基底向量，则a,b,c不共面，

对于选项A：因为2a=23(2a−b)+23(a+b)，

所以2a与2a−b,a+b共面，不合题意，故A错误；

对于选项C：设c=x(2a−b)+10.【答案】AB【解析】解：对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A错误；

对于B，直线倾斜角的取值范围是[0,π)，∴B错误；

对于C，一条直线的斜率为tanα，此直线的倾斜角不一定为α，

如y=x的斜率为tan5π4，它的倾斜角为π4，∴C错误；

对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tanα或不存在，D错误．

故选：ABCD．

A中，直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在；11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形、三角函数的单调性、诱导公式、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

A.在△ABC中，由正弦定理可得sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，即可判断出正误；

B.在锐角△ABC中，由π2>A>π2−B>【解答】

解：对于A，由A>B，可得：a>b，利用正弦定理可得：sinA>sinB，故A正确；

对于B，在锐角△ABC中，A，B∈(0,π2)，∵A+B>π2，∴π2>A>π2−B>0，∴sinA>sin(π2−B)=cosB，因此不等式sin12.【答案】AB【解析】解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

对于A，B1(2,2,2)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，P(22,2,22)，

B1D=(−2,−2,−2)，A1P=(−22,2,−22)，

B1D⋅A1P=1−2+1=0，

∴B1D⊥A1P，故A正确；

对于B， DP=(22,2,13.【答案】(1【解析】解：a=(1,2,1),b=(1,0,0)，

则a⋅14.【答案】(1【解析】解：∵直线mx+y−m−1=0，即(x−1)m+(y−1)=0，

由x−115.【答案】y=【解析】解：由图象可知A=2，T2=5π12+π12=π2，

∴T=π，

∴ω=2，

∴三角函数的解析式是y=2sin(2x+φ)

∵函数的图象过(−π12,16.【答案】−2【解析】解：如图，

设正四面体的棱长为a，则|AM|=|CN|=32a，

AM=12(AB+A17.【答案】解：(1)设a与b的夹角为θ，

因为|a|=4，|b|=3，a⋅b=6，

所以cosθ=a⋅b|a【解析】(1)根据定义法直接求解即可；

(218.【答案】解：(1)由AB=OB−OA=−a+b+2c，AC=OC−OA=−4a−b+3c，

而AM=OM−OA=−a−2b−c，则【解析】(1)根据向量的线性(加减)关系判断AM=mAB+19.【答案】解：(1)由余弦定理及2bcosC=2a+c得，2b⋅a2+b2−c22ab=2a+c，

整理得，a2+c2−b2=−ac，

由余弦定理知，cosB=a2+c2−b22【解析】(1)利用余弦定理化简已知等式，可得a2+c2−b2=−ac，再结合余弦定理，求解即可；

(2)20.【答案】解：(Ⅰ)证明：取AC的中点O，连接EF，OF，

由在△DAC中DA=DC，所以DO⊥AC，

由平面DAC⊥平面ABC，且交线为AC，得DO⊥平面ABC，

因为OF/​/AB，且AB=2OF，

又DE/​/AB，AB=2DE，所以OF/​/DE，且OF=DE，

∴四边形DEFO为平行四边形，∴EF//DO，

∴EF⊥平面ABC；

(Ⅱ)解：由DO⊥平面ABC，AC⊥BC，

【解析】(I)由DO⊥AC，得DO⊥平面ABC，证明四边形DEFO为平行四边形，∴EF//DO，所以EF⊥平面ABC；

(II21.【答案】解：(1)直线l与直线x+2y−5=0垂直，设直线l的方程2x−y+c=0，

将定点A(2,1)代入可得4−1+c=0，解得c=−3，

故直线l的方程为2【解析】本题考查了两直线垂直的斜率之间的关系，考查了截距式方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

(1)直线l的方程2x−y+c=0，将定点A(2,1)22.【答案】(1)证明：如图所示，设AC与BD交于点F，连接EF，则PO⊥BD，

又EC⊥BD，EC∩PO=P，EC，PO⊂平面AEC，

由线面垂直的判断定理可得BD⊥平面AEC，

又EF⊂平面AEC，∴EF⊥BD，

△ABD是底面圆的内接正三角形，则AD=3，AF=32，AC=2，

又AE=3，CE=1，则AC2=AE2+CE2，由勾股定理可得∠AEC=90°，

AEAC=AFAE=