2023-2024学年河北省衡水市重点中学高二（上）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省衡水市重点中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知A(1,1,0)，BA.(4,−4,0) B.2.直线3x+2y−1=0的一个方向向量是

A.(2,−3) B.(23.已知向量a=(6,−2,6A.−2 B.3 C.−3 4.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点MA.12a−23b+125.两条平行直线3x+4y−12=0A.235 B.2310 C.7 6.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD−A1B1C1DA.15

B.25

C.35

7.若第一象限内的点(m,n)关于直线x+y−2A.25 B.259 C.17 D.8.阅读材料：空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(xA.1035 B.75 C.9.下列命题中正确的是(

)A.若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0

B.|a|−|b|=|a+b|是a，b共线的充要条件

C.若AB，CD共线，则AB二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）10.已知直线l1：ax−y+2=0A.当a=0时，两直线的交点为(−2,2) B.直线l1恒过点(0,2)

C.11.下列说法正确的是(

)A.直线l的方程为x−ysinθ+2=0，则直线l的倾斜角α的范围是[π4,π2)∪(π2,3π4]

12.如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设A1A=A1B1A.BC⊥平面AA1A2

B.AA1/​/平面BB2C2C

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l的一个方向向量为d=(1,−2,0)，平面α的一个法向量为n14.已知直线l过定点A(3,2,1)，且n=(15.点P(−2,−1)到直线l：(16.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知等腰三角形ABC，底边上两顶点坐标为B(1,4)，C(3,8)，顶点A在直线上x+18.(本小题12.0分)

如图，在底面为菱形的四棱锥E−ABCD中，BE⊥底面ABCD，F为CD的中点，且AB=BE=2，∠ABC=120°，以B19.(本小题12.0分)

已知空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,20.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BB1=2，BC=3，三棱柱A21.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系中，已知射线OA：3x−y=0，射线OB：3x+3y=0(x≥0)，过点P(1,0)作直线分别交射线OA、22.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D．

(1)求证：A1C⊥平面BDE；

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A(1,1,0)，B(2,0,−1)，C(−2.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了直线的方向向量，属于基础题．

先根据直线方程得直线的斜率，再根据斜率可得直线的方向向量．【解答】

解：依题意，直线3x+2y−1=0的斜率为k=−323.【答案】C

【解析】解：当a//b时，则存在唯一的实数λ使得b=λa，

即−3=6λ1=−2λx=6λ4.【答案】B

【解析】【分析】本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．

由题意，把OA，OB，OC三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将【解答】

解：由题意

MN=MA+AB+BN

=13OA+OB5.【答案】D

【解析】【分析】本题考查两条平行直线之间的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

先将两条平行直线的系数化成对应相等，再利用距离公式，即可求得结论．【解答】

解：由题意，直线3x+4y−12=0与ax+8y+11=0，

所以3a=6.【答案】D

【解析】解：连结BC1，因为C1D1/​/AB且C1D1=AB，

所以四边形ABC1D1是平行四边形，故BC ​1/​/AD1，

所以∠A1BC1就是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角，

连结A1C7.【答案】B

【解析】解：设点(m,n)关于直线x+y−2=0的对称点(a,b)在直线2x+y+3=0上，

m+a2+n+b2−28.【答案】A

【解析】解：∵平面α的方程为3x−5y+z−7=0，

∴平面α的法向量可取n=(3,−5,1)，

直线l的方向向量为m=(39.【答案】A

【解析】解：根据向量加法三角形法则可知A对；

若a、b同向共线则不满足|a|−|b|=|a+b|，可知B错；

若AB，CD共线，则AB/​/CD或重合，可知C错；

对空间任意一点P与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC10.【答案】AB【解析】解：A中，a=0时，直线l1的方程为：y=2，直线l2的方程为：x=−2，

可知两条直线的交点坐标为(−2,2)，所以A正确；

B中，直线l1恒过(0,2)，所以B正确；

C中，若l1⊥l2，则a×1+(−1)⋅(−a)=0，可得a=0，所以C正确；

11.【答案】CD【解析】解：对A：直线l的方程为x−ysinθ+2=0，当sinθ=0时，

直线方程为x=−2，倾斜角α=π2，

当sinθ≠0时，直线方程化为y=1sinθx+2sinθ，斜率k=1sinθ，

因为sinθ∈[−1,0)∪(0,1]，

所以k∈(−∞,−1]∪[1,+∞)，即tanα∈(−∞,−1]∪[1,+∞)，

又因为α∈[0,π)，所以12.【答案】AC【解析】解：对于A.如图所示，连接A1A2，取BC中点D，取B1C1中点E.连接A1E，AD，DE．

由等边三角形的性质得BC⊥AD，由等腰梯形的性质得BC⊥DE.又AD∩DE=D，AD，DE⊂平面ADEA1，

所以BC⊥平面ADEA1．

所以BC⊥AA1.同理BC⊥AA2，又AA1∩AA2=A，AA1，AA2⊂平面AA1A2，

所以BC⊥平面AA1A2，所以该选项正确；

对于B，首先计算等腰梯形的高=12−(12)2=32，再计算几何体ABC−A1B1C1的高．

取AB中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，设O1是△A1B1C1的中心，O2是△ABC的中心．

过A1作A1G⊥AD，过E作EH⊥AD⋅DH=O2D−O2H=33−13×32=3613.【答案】6

【解析】解：∵直线l的一个方向向量为d=(1,−2,0)，

平面α的一个法向量为n=(m,3,6)，且l/14.【答案】6【解析】解：设a=AP=(0,1,1)，u=n|n|=(2215.【答案】13【解析】解：∵直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0，

∴可将直线方程变形为x+y−2+(3x+y−4)λ=0，

∴x+y−2=03x+y−416.【答案】180

【解析】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立

直角坐标系，

可得B2(3,3)，B3(5,3)，C3(6,0)，

直线B3C3的方程为y=−3(x−6)，

可设Pi(xi,y17.【答案】解：(1)kBC=8−43−1=2，且BC的中点M(2,6)，

所以BC边的垂直平分线的斜率为−12，

且经过点M(2【解析】(1)根据中垂线过线段的中点且与线段垂直求解；

(2)联立点18.【答案】解：(1)由题意，可得△BCD为正三角形，

∵AB=2，∴BF=3，

以B为坐标原点，分别以BA，BF，BE所在的直线为x、y、z轴建立的空间直角坐标系，

【解析】(1)根据△BCD为正三角形，由AB19.【答案】解：(1)因为空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)，

所以AB=(−2,−1,3)，AC=(1,−【解析】(1)由已知中空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)，我们分别求出向量AB，A20.【答案】解：(1)证明：依题意，(2+3+AC)×2=10+213,AC=13，

所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC，

根据直三棱柱的性质可知BB1⊥平面ABC，

而AB，BC⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC，

由此以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则A1(2,0,【解析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面A1BC⊥平面ABB1A21.【答案】解：(1)设A(x1,3x1)，B(x2,−33x2)．

∵线段AB的中点为P(1,0)时，∴x1+x22=1，3x1−33x22=0，

解得x1=【解析】(1)设A(x1,3x1)，B(x2,−33x2).由于线段AB的中点为P(122.【答案】证明：(1)法一：连结AC1，∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，

又C1D⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴C1D⊥BD

∵AC∩C1D=D，AC，C1D⊂平面AA1C1C

∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C，∴BD⊥A1C，

由题设知四边形AA1C1C为菱形，∴A1C⊥AC1，

∵D，E分别为