12.2三角形全等的判定2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）（解析版）

第第⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”）技巧归纳：．证题的思路：注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形面积相等．题型一：SSS证明三角形全等问题1．（2023秋·全国·八年级专题）如图，已知，若用定理证明，则需要添加的条件是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由于，则需添加第三边对应相等时可以利用“”判断，从而可对各选项进行判断．【详解】解：∵，∴当添加时，可利用“”判断．故选：B．【点睛】本题考查了全等会三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④【答案】A【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（SSS），∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．3．（2022秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，.求证：（1）；（2）【答案】（1）见解析；（2）理由见解析.【分析】（1）证明三角形即可解题,（2）利用全等得到∠A=∠D,即可解题.【详解】（1）证明：，即在和中，（2）理由如下：由（1）得：（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和平行线的判定,属于简单题，熟悉全等三角形的判定方法和平行线的判定定理是解题关键.题型二：SAS证明三角形全等问题4．（2023秋·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，将两根钢条、的中点连在一起，使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出的长等于内槽宽；那么判定的理由是

A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边【答案】A【分析】由于已知是、的中点，再加对顶角相等即可证明，所以全等理由是边角边．【详解】解：在与中，

，，，∴．故选：A．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法，此题利用了，做题时要认真读图，找出有用的条件是十分必要的．5．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点G．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可以先证明，则，利用角平分线可得，再利用直角三角形的两锐角互余解题即可．【详解】解：∵正方形∴在和中，，∴∴∵平分∴∴故选B．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．6．（2023秋·安徽·八年级阶段练习）如图，和中，，连接，．

(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据证明可得出结论；（2）根据可得，再根据证明可得出结论．【详解】（1）证明：，又，，，∴；（2）证明：，，即，又，，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．题型三：ASA（AAS）证明三角形全等问题7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点B，F，C，E在同一直线上，，，如果根据“”判断，那么需要补充的条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用全等三角形的判定方法，“”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．【详解】解：需要补充的条件是，在和中，，．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．8．（2023秋·浙江·八年级专题练习）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意易得，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，，，，∴，∴，，∴，∵在和中，∴；∴，，∴，故选C．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．9．（2023秋·八年级课时练习）如图，点B，C分别在射线，上，点E，F都在内部的射线上．已知，且．(1)求证：；(2)试判断，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析．【分析】（1）根据已知和三角形外角性质求出，，根据证两三角形全等即可；（2）结合（1），可得，，进而根据线段的和差即可解决问题．【详解】（1）证明：∵，，∴，同理：，在和中，∴．（2）解：，理由如下：∵，∴，，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，解本题的关键是得到．题型四：“HL”证明三角形全等问题10．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，若要用“”证明，则还需补充条件（

）A． B．或C． D．以上都不正确【答案】B【分析】图形中已有条件，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可．【详解】解：∵图形中已有条件，∴若要用“”证明，则还需补充条件或，故选：B．【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．11．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】证明，得到，进而可得答案．【详解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明是解题的关键．12．（2023秋·甘肃天水·八年级校考期末）如图，于，于，若、．

(1)求证：平分；(2)已知，，求的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线的判定定理得出即可；（2）证明，根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案．【详解】（1）解：证明：，，，在与中，，，，又，，平分；（2），，，，，在与中，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．题型五：全等三角形的辅助线问题13．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，为边上的中线．

(1)按要求作图：延长到点E，使；连接．(2)求证：．(3)求证：．(4)若，，求的取值范围．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)【分析】（1）根据题目中语言描述画出图形即可；（2）直接利用证明即可；（3）根据，得，从而得出，再根据三角形三边关系即可得出，即可得出结论；（4）根据三角形三边关系得，又由，，，，代入即可求解．【详解】（1）解：如图所示，

（2）证明：如图，

∵为边上的中线，∴，在和中，，∴．（3）证明：如图，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．（4）在中，，由（3）得，，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形三边的关系是解题的关键．14．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知：，，．(1)如图1当点在上，______．(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可．（2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可．【详解】（1）解：，，又，，，在中，，故答案为：．（2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知：，，，（同角的余角相等），

在与中有：（），，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等．15．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于．（1）证明：；（2）试说明：；（3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BD=DE+CE；证明见解析；（4）BD=DE−CE【分析】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可；（2）根据（1）的结论，进而可得；（3）方法同（1）证明，进而可得（4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得．【详解】（1）证明：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．（2）解：∵，∴，．又∵，∴．（3）解：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．∴，，，∴（4）解：．理由如下：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴，∴，．又∵，∴．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．题型六：全等三角形判定和性质综合16．（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，中，，，点为延长线上一点，点在上，且．

(1)求证：．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据直角三角形全等的判定和性质，即可；（2）根据全等三角形的性质，得，根据等边对等角，等腰直角三角形的性质，求出，再根据，，即可．【详解】（1）证明，如下：∵，∴，∴在和中，，∴．（2）∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴．【点睛】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．17．（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）问题背景如图，在中，点为边上一点，连接，延长至点，使得，连接．

问题提出（1）如图1，若，，，求的度数；问题拓展（2）如图2，的角平分线交于点，若，，在上取一点，使，试判断与是否相等，并说明理由．【答案】（1），（2）相等，理由见解析【分析】（1）根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得，即可求解；（2）根据角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，，推得，结合题意可得，根据三角形的外角性质可得，即可证明．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∵，∴，∴．（2）解：相等；理由如下：∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．18．（2023春·山西吕梁·八年级校考阶段练习）在中，，，点为边上一点，过点作，交于点，连接，取的中点，连接，．

(1)观察猜想：如图（），与之间的数量关系是_______，与之间的位置关系是______．(2)类比探究：将图（）中的绕点逆时针旋转，取的中点P，连接，．（）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（）的情形给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)，；(2)，，理由见解析．【分析】（）利用直角三角形斜边中线的性质证明即可；（）结论成立.过点作交的延长线于，交于点，证明，可得结论．【详解】（1）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，故答案为：，，（2）结论成立，理由如下：如图，

过点作交的延长线于，交于点，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴．单选题19．（2023秋·北京海淀·八年级北京市师达中学校）如图，在和中，点、、、在同一直线上，，，只添加一个条件，不能确定的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明，再根据三角形全等的判定方法做出选择即可．【详解】解：，，A、，不能判断，故符合题意；B、，，即，利用可以判断，故不符合题意；C、，利用可以判断，故不选项符合题意；D、，利用可以判断，故不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据、、、、判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．20．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由D为中点可得，利用即可证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可.【详解】解：∵D为的中点，∴，又∵为公共边∴，故①正确，∴，∵，∴，即，故②③④正确.综上所述：正确的结论有①②③④共4个，故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键.21．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，王华站在河边的处，在河对面(王华的正北方向)的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达电线杆处，接着再向前走了步到达处，然后转向正南方向直行，当他看到电线塔、电线杆与所处位置在一条直线上时，他共计走了步．若王华步长约为米，则处与电线塔的距离约为(

)

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】设王华走了步时到达点处，则、、三点在同一条直线上，连接，则点在上，，证明，根据全等三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图，设王华走了步时到达点处，则、、三点在同一条直线上，连接，则点在上，，

由题意得：步，步，，，解得，米，米，在和中，，，，米，处与电线塔的距离约为米，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理的应用，根据题意构造出相应的全等三角形是解题的关键．22．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，是的平分线，于P，连接，若的面积为16，则的面积为（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】延长交于点，证明可得，再利用三角形的中线可得，由此即可得出答案．【详解】解：如图，延长交于点，

是的平分线，∴∵，∴∵，∴，，，（等底同高），，又的面积为，，即，解得，即的面积为，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积，证明是解题的关键．23．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图是小华作业的部分片段，则被污染的部分可能是（

）题干：……，求证：．证明：在和中，，∴．

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解．【详解】解：∵，即运用的是“角边角”的证明方法，且，，∴当时，即可运用“角边角”证明，故选：．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．24．（2023秋·八年级课时练习）如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（

）

A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】运用方法判定，得，进而求解．【详解】解：∵，，∴．∵，，∴．∴．∴．故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．25．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，在中，H是高和的交点，且．求证：．

【答案】见解析【分析】先证出，再由证明即可．【详解】证明：∵和是的高，∴，又∵，，∴，在和中，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．26．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形中，点E为对角线上一点，，，且．

(1)证明：；(2)若，，求的长度．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由平行得，由求证三角形全等；（2）由全等三角形得，，进而求得．【详解】（1）解：∵，∴，在和中，，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴的长度为．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；由全等三角形得到线段相等是解题的关键．一、单选题27．（2023秋·北京海淀·八年级）如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第3块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的，故选：B．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．28．（2023春·河北石家庄·八年级统考开学考试）如图，要测量一条河的宽度，先在的垂线BF上取两点C、D，使，再过点D作，要使点A、C、E在同一条直线上，则可以说明，从而得到，因此测得的长就是得长，判定的依据是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对顶角相等得出，根据题意得出，根据垂直的定义得出，即可根据证明．【详解】解：在和中，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有．29．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为，则与的面积之和是（

）

A．6 B．8 C．9 D．【答案】A【分析】根据得到，，从而得到，即可得到，结合的面积为，即可得到答案；【详解】解：∵，，，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∵的面积为，，∴，∴与的面积之和是6，故选：A．【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是得到．30．（2023秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图，D，A，E三点在一条直线上，并且有，若，，，则的长为（

）

A．8.5 B．12 C．13.5 D．17【答案】D【分析】利用余角的性质可得，然后利用证明，再利用全等的性质求出，，即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，在和中，∴，∴，，又，，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等，求出，．31．（2023秋·江苏淮安·八年级校考期末）如图，交于点M，交于点D，交于点N，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据，，，可得，三角形全等的性质；可得①；由可得，④不成立．【详解】解：∵，，，∴，∴；，故④符合题意；∵，∴；故①符合题意；∵，∴，，又∵，∴，故③符合题意；∴，∴，∵，∴，∴，∴不能证明成立，故②不符合题意．综上分析可知，成立的有3个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．二、填空题32．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，要测量小金河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取C、D两点，且使．从点D出发沿与河岸垂直的方向移动到点E，使点A、C、E在一条直线上．若测量的长为28米，则A、B两点之间的距离为米．【答案】28【分析】由垂直的定义得，根据ASA证明，得出米即可．【详解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴米．故答案为：28．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．33．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点E，F在上，，，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使得≌，你添加的条件是．

【答案】或或【分析】本题要判定≌，已知，由可得，那么只需添加一个条件即可．添边可以是或添角可以是或．【详解】解：所添加条件为：或或，∵，∴，即，添加：，在和中，，∴≌；添加：，在和中，，∴≌添加：，在和中，，∴≌．故答案为：或或．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．34．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，，且．，垂足分别为．若，则的长为．

【答案】【分析】证，利用全等三角形对应边相等即可求解．【详解】解：

由题意得：∴∵∴∴∵∴故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟记相关结论是解题关键．35．（2023春·河南信阳·八年级校联考阶段练习）如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为．

【答案】6【分析】延长交于点，根据角平分线和垂线的定义，易证，得到，，进而得到，即可求出的面积．【详解】解：如图，延长交于点，平分，，，，在和中，，，，，和等底同高，，，的面积为，，故答案为：6．

【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．36．（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）如图，在中，为中点，为边上的动点，连接，交的延长线于点，若，则的值是．

【答案】5【分析】由平行线的性质可得，由证明，得到，最后由即可得到答案．【详解】解：，，为中点，，在和中，，，，，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键．37．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，点在直线上，在中，．动点从点出发沿的路径向终点运动；动点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以和的速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，分别过点作于点于点，则点运动时，与全等．

【答案】或【分析】根据题意分两种情况讨论，根据全等三角形的性质得出关于t的程，求出即可．【详解】解：由题意得分为两种情况，如图1，P在上，Q在上，

∵，∴，∵，∴，∴，则，∴，即，解得；当P、Q均在上的时候，此时，如图2：

，∴，解得；故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等．三、解答题38．（2023秋·江苏·八年级校考周测）如图，在中，，，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D．(1)试说明；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由题意可得，，即，根据“”可证，可得；（2）先求出，然后根据全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴；（2）∵，，∴．∵是边上的中线，∴．∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．39．（2023秋·云南昆明·八年级数据测试校2017112校考开学考试）如图，已知点、、、在同一直线上，，，．

(1)求证：；(2)，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质得到，等量代换可得，再利用证明即可；（2）根据全等三角形的性质得到，再利用外角的性质计算即可．【详解】（1）解：，，，，即．在和中，，．（2），，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解决此题的关键．40．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考开学考试）如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．

(1)求证：；(2)已知，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据垂直的定义得出，再根据同角的余角相等得出，然后由证明即可；（2）由全等三角形