2023-2024学年广东省东莞市重点中学高二（上）联考数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省东莞市重点中学高二（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z在复平面上对应的点为(2,−1A.z=−1+2i B.|z2.设e1，e1是两个不共线的向量，且a=e1+λA.−1 B.3 C.−133.若直线l的方向向量a=(−2,6A.13 B.−13 C.34.设直线l的斜率为k，且−1≤k<3，求直线lA.[0,π3)∪(3π5.在△ABC中，a=2b=A.23 B.32 C.6.若a=(1,λ,2)，b=(2,−A.1 B.−1 C.1或2 D.7.在正方体ABCD−A1B1A.33 B.63 C.8.在正四棱台A1B1C1D1−ABA.2 B.3 C.52 D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知向量a−=(2x,1,−2A.−2 B.−1 C.0 10.若A(0,13)，B(2,A.−2 B.−13 C.2 11.若PAB=19，PA=23A.事件A与B互斥 B.事件A与B不互斥

C.事件A与B相互独立 D.事件A与B不相互独立12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P满足BP=λBA.当λ=1时，△AB1P的面积为定值

B.当λ+μ=12时，三棱锥P−C1EF的体积为定值

C.存在0三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为

．14.在空间直角坐标系Oxyz(O为坐标原点)中，点A(4,−615.已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=16.在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别为BD1

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知向量a=(2,−1,2)，b=(1,4,18.(本小题12.0分)

三棱柱ABC−A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设AB=19.(本小题12.0分)

已知直线AB与x轴正半轴交于点A(a,0)，与y轴正半轴交于点B(0,b)，点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM(O为原点)的斜率为20.(本小题12.0分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．

(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值；

(Ⅱ)求样本成绩的第75百分位数；

(Ⅲ)已知落在[50,60)的平均成绩是21.(本小题12.0分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从下面两个条件中任选一个作答．

①b=2a−2ccosB；②3a=b22.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D．

(1)求证：A1C⊥平面BDE；

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由于复数z在复平面上对应的点为(2,−1)，

对于A选项，由复数的几何意义可知，z=2−i，故A错误；

对于B选项，|z|=22+(−1)2=5，故B错误；

对于C选项，由z2.【答案】D

【解析】解：∵e1，e1是两个不共线的向量，

若a=e1+λe2与b=−13e2−e1共线，

则存在实数μ使得：a=μb，即e1+λ3.【答案】D

【解析】解：根据题意，设A(x1,y1)和B(x2,y2)是直线l上不同的两点，

则AB=(x1−x2,y1−y2)，

若直线l的方向向量a=(−2,4.【答案】D

【解析】解：直线l的斜率为k，且−1≤k<3，

∴−1≤tanα<3，α∈[0,π)，

5.【答案】D

【解析】解：在△ABC中，a=2b=3，C=606.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了空间向量的共面定理，属于基础题．

向量a，b，c共面，存在实数m，n使得c=ma+nb，即可得出．

【解答】

解：向量a，b，c共面，又a与b不共线，

∴存在实数m，n使得c=ma+7.【答案】B

【解析】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，

所以DA1=(1,0,1)，DC1=(0,1,1)，DB=(1,1,08.【答案】D

【解析】解：正四棱台A1B1C1D1−ABCD中，设AB=2A1B1=2a，高为h9.【答案】AC【解析】解：已知a−=(2x,1,−2)，b−=(x+1,3,−x)10.【答案】CD【解析】解：由于A(0,13)，B(2,5m)，C(6,m2)三点共线，

所以AB=(2,5m−13)11.【答案】BC【解析】解：∵P(AB)=19，∴A与B能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；

∵P(A−)=23，得P(A)=13，P(B)=13，

∵P(AB)=1912.【答案】AC【解析】解：∵点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，点E、F分别是DD1、A1D1的中点，

∴点P在侧面BCC1B1内(包含边界)，

对于选项A，当λ=1时，则 BP= BC+μBB1= BC+μ CC1，

∴点P在线段CC1上(包括端点)，如图，

当点P与点C重合时，△AB1P是边长为2的等边三角形，其面积为34(2)2=32，

当点P为点C1时，△ AB1P是直角边长为1，2的直角三角形，其面积为12×1×2=22，

∴△AB1P的面积不为定值，故A错误；

对于B，若λ+μ=12，则点P在△BB1C的中位线MN上(包括端点)，如图，

则MN//B1C，

∵A1B1/​/CD，A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D//B1C，

∵点E、F分别是DD1、A1D1的中点，∴A1D//EF，∴MN/​/EF，

∵MN⊄平面C1EF，EF⊂平面C1EF，∴MN/​/平面C1EF，

∴点P到平面C1EF的距离相等，∴三棱锥的高为定值，且△C1EF的面积为定值，

∴三棱锥P−C1EF的体积为定值，故B正确；

对于C，若0<μ<λ<1，则点P在△BCC1内(不包含边界13.【答案】12【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，属于基础题．

根据题意，先列出选出两个人的所有情况，再根据等可能性求出事件“甲被选中”的概率．【解答】

解：由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况：

甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁，

因为每种情况出现的可能性相等，

所以甲被选中的概率为36=12．14.【答案】6【解析】解：由题意，点A(4,−6,−3)关于x轴的对称点为点B(4,615.【答案】4π【解析】【分析】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球O的直径(半径)，是解答本题的关键．

由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别为SA，A【解答】

解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，

∴四面体S−ABC的外接球半径等于以长宽高分别为SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径

∵S16.【答案】(2【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

∴D(0,0,0)，M(a2,a2,a2)，N(a2,a,a)，C(0,a,0)，∴CN=(a2,0,a)，

设P(x,y,z)，则MP=(x−a2,y−a2,z−a2)，

∵MP⊥CN，∴a2(x−a2)+a(z−a2)=0⇒2x+4z−3a=0，

当x=17.【答案】解：(1)已知向量a=(2,−1,2)，b=(1,4,1)，

则2a−b=(3,−6,3)【解析】(1)由空间向量的坐标运算，结合空间向量模的运算求解即可；

(2)由向量a+2b18.【答案】解：(Ⅰ)由图形知MN=MA1+A1B1+B1N=【解析】(Ⅰ)由图形知MN=MA1+A1B1+B1N=13B19.【答案】(1)解：∵点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，A(a,0)，B(0,b)，

设M(x,y)，依题意可得直线AM=13AB=(−13a,13b)=(x−a,y)，

则点M的坐标为(23a【解析】(1)由已知先求出M的坐标，然后结合直线的斜率公式即可求解；(2)结合对称性求出C的坐标，结合斜率公式分别求出直线NM20.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图可得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

解得a=0.030；

(Ⅱ)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65<0.75，

落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求解；

(Ⅱ)根据百分位数的定义求解；

(Ⅲ)根据平均数和方差的计算公式求解．

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的定义，以及平均数和方差的计算，属于中档题．21.【答案】解：(1)若选①，由余弦定理知cosB=a2+c2−b22ac，代入2ccosB=2a−b并整理，得a2+b2−c2=ab，

由余弦定理，得cosC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，

因为0<C<π，所以C=π3；【解析】(1)根据题意，选①由余弦定理即可得到C=π3，选②由正弦定理即可得到结果；

(22.【答案】证明：(1)法一：连结AC1，∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，

又C1D⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴C1D⊥BD

∵AC∩C1D=D，AC，C1D⊂平面AA1C1C

∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C，∴BD⊥A1C，

由题设知四边形AA1C1C为