2023-2024学年福建省福州四中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州四中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知直线方程l：x+3yA.5π6 B.2π3 C.2.若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l/​/αA.m=(3,−1,0)，n=(−1,03.已知直线l1：ax+3y+1=0，l2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知三角形的三个顶点A(4,3)，B(−1,2A.5x+y−2=0 B.5.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A.5 B.22 C.6.直线l经过点P(1,−1)和以M(−A.(−∞,32] B.[7.已知点A(1,−2)，B(m,2A.1 B.3 C.−2 D.8.已知直线kx−y+2k−1=0恒过定点A，点A也在直线mA.2 B.4 C.8 D.6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的有(

)A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则(k,b)在第二象限

B.直线kx−y−2k+3=010.下列说法正确的是(

)A.若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23OB，则A，B，C三点共线

B.空间中三个向量a，b，c，若a//b，则a，b，c共面

C.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA+11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA.B1的坐标为(2,2,3)

B.BC1=(−12.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABA.D1O⊥AC

B.存在一点P，使得D1O//B1P

C.三棱锥

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点P(2,−314.如图，在二面角α−l−β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB

15.已知平面α的一个法向量为n=(−1,−2,−2)，点A16.将一张坐标纸折叠一次，使得点(−3,4)与点(−4,a)重合，点四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知△ABC的顶点坐标为A(−5,−1)，B(−1,118.(本小题12.0分)

已知空间中的三点P(−2,0,2)，M(−1,1,2)，N(−3,0,419.(本小题12.0分)

过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点．

(1)求|OA|⋅|20.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，E，F分别是A21.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面为菱形，∠ABC=π3,AB=AP=2，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．

(1)若G是线段PC的中点，试证明EG/22.(本小题12.0分)

如图，MON是某景区的瀑布群，已知tan∠MON=−43，点Q到直线OM，ON的距离均为2，现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸交道路ON于点B．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：直线的斜率为−33，设直线的倾斜角为θ，则tanθ=−33，

因为θ∈[2.【答案】B

【解析】解：根据题意，直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，要使l/​/α，则m⋅n=0，

由此分析选项：

对于A，m⋅n=−3≠0，不符合题意；

对于B，m⋅n=−4+4=3.【答案】B

【解析】解：当l1//l2时，a(a−2)=3，整理得a2−2a−3=0，解得a=−1或3，

当a=−1时，直线l14.【答案】A

【解析】解：由斜率公式可得kAB=3−24+1=15，

∵CD⊥AB，∴kCD=−5，5.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了空间向量的应用，属于基础题．

用空间向量的基本知识，计算向量的模和数量积，即可解答．【解答】

解：∵A1C=AB+AD−AA1，

∴A16.【答案】D

【解析】解：∵P(1,−1)，M(−3,1)，N(3,2)，

∴kPM=−12，kPN=32，

图象如图所示：7.【答案】B

【解析】解：∵A(1,−2)和B(m,2)的中点C(1+m2,0)

在直线x8.【答案】B

【解析】【分析】本题考查的知识要点：定点直线系的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

先求出定点A的坐标，进一步求出m+【解答】

解：直线kx−y+2k−1=0整理得：y+1=k(x+2)，直线恒过定点A，即A(−2,−1)．

因为点A也在直线9.【答案】AB【解析】解：因为直线y=kx+b经过第一、二、四象限，所以k<0且b>0，

则(k,b)在第二象限，故选项A正确；

直线kx−y−2k+3=0可变形为y−3=k(x−2)，

所以直线必过定点(2,3)，故选项B正确；

过点10.【答案】AB【解析】解：对于A，根据向量的线性运算，若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23OB，则A，B，C三点共线，故A正确，

对于B，因为a//b，则a,b共线，则根据共面向量的定义可得，a，b，c共面，故B正确，

对于C，对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA+2022OB−2023OC11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间向量的相关计算，考查空间想象能力，考查数形结合思想．属于较难题．

作出图象，对于A，得出点B1的坐标即可判断；对于B，先求出B(2,2,0)，C1(0,2,3)，由此能求出BC【解答】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，

以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，

对于A，点B1的坐标为(2,2,3)，故A正确；

对于B，B(2,2,0)，C1(0,2,3)，∴BC1=(−2,0,3)，故B正确；

对于C，A112.【答案】AC【解析】解：对于A，连接AD1，CD1，由正方体的性质得△ACD1是等边三角形，

∵O为底面ABCD的中心，故为AC中点，故AC⊥D1O，故A正确；

对于B，将D1O进行平移到过B1点，使之与B1P具有公共顶点，

根据立体图象判断，无论如何也不可能满足B1H平行或重合于B1P，

∴D1O不可能平行于B1H，故B错误；

对于C，由平面BB1C1C//平面ADD1A1，

得三棱锥A−D1DP的体积为：

VA−D1DP=VC−ADD1=13×S△ADD1×DC=13×12×2×2×2=43，故C正确；

如图，当点P在C处时，D1O⊥OC，当点P在B1B的中点P1时，

13.【答案】3x+2【解析】解：直线经过原点时满足条件，此时直线方程为y=−32x，即3x+2y=0；

直线不经过原点时满足条件，设直线方程为x−y=a，

把点P(2,−3)代入方程，可得14.【答案】120°【解析】解：设二面角α−l−β的大小为θ，且AC⊥l，BD⊥l，

所以<AC，BD>=θ，

所以CD2=(−AC+AB+BD)2=A15.【答案】1

【解析】解：由题意知：AP=(1,−1,−1)，

所以点P到平面α的距离d16.【答案】−1【解析】解：点(−3,4)与点(−4,a)的中点坐标为(−72,4+a2)，斜率k=a−4−4+3=4−a，

所以两点的中垂线的方程为：y−4+a2=(4−a)(x+72)，即17.【答案】解：(1)∵直线AB的斜率为1+1−1+5=12，直线BC的斜率为3−1−2+1=−2，

∴直线AB和直线BC的斜率之积等于−1，故AB【解析】本题主要考查两条直线垂直的条件，用点斜式求直线的方程，属于基础题．

(1)由题意利用两条直线垂直的条件判断AB⊥BC，可得结论．

18.【答案】解：由题意可求得a=PM=(1,1,0)，b=PN=(−1,0,2)，

(1)可得ka+b=(k−1,k,2)，ka−2b=(k+2,k,−【解析】本题考查空间点线间距离的求法，向量的数量积的应用，是中档题．

(1)利用空间向量的坐标运算，表示两个向量，利用向量的数量积为0，求解k即可．

(2)求出直线19.【答案】解：(1)根据题意可设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，则A(a,0)，B(0,b)，

因为直线l过点P(2,1)，所以2a+1b=1(a>0,b>0)，

又2a+1b≥22ab(当且仅当2a=1b，即a=4，b=2时取等号【解析】(1)根据题意可设直线l的方程为xa+yb=1(a>020.【答案】解：以点A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立坐标系，不妨设AB=3，

则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,3,0)，A1(0,0,3)，B1(3,0,3)，C1(0,3,3)．

(Ⅰ)设AE=n，则E(0,n,0)，F(3−n,0,0)，∴B1E=【解析】以点A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立坐标系，不妨设AB=3，求出相关点的坐标，

(Ⅰ)设AE=n，通过证明B1E⊥C1F，推出21.【答案】解：(1)证明：因为E，G分别为线段PB，PC，

所以EG/​/BC，

又因为BC/​/AD，

所以EG/​/AD，EG⊄面PAD，AD⊂面PAD，

所以EG/​/面PAD．

(2)分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A−xyz，如图所示，

A(0,0,0)，B(3,−1,0)，C(3,1,0)【解析】(1)根据题意，由中位线定理可得EG/​/BC，又BC/​/AD，则EG/​/AD，由线面平行的判定定理，即可得出答案．

(2)分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A−xyz，设平面AEF的法向量m22.【答案】解：(1)以点O为坐标原点，直线OM为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

∵tan∠MON=−43