2023-2024学年陕西省西安市重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年陕西省西安市重点中学高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x|x<π}，B={y|y>2}，则集合A∩B=(

)A.⌀ B.(2,π) C.(−∞,2) D.(−∞,π)2.荀子曰：“故木受绳则直，金就砺则利”这句来自先秦时期的名言阐述木材用墨线量过，再经过辅具加工就能取直的基本事实.由此可得，“木受绳”是“直”的(

)A.充要条件 B.充分条件

C.必要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(

)A.对任意c≤0，若a≤b+c，则a≤b B.存在一条直线与两条相交直线都平行

C.存在一个实数x，使x2−3x+6<0 4.“a，b不全为0”的否定为(

)A.a，b全不为0 B.a，b中全为0

C.a，b中只有一个不为0 D.a，b中最多有一个不为05.已知集合M满足{1,2,3}⫋M⊆{1,2,3,4,5,6,7,8}，则所有满足条件的M的个数为(

)A.32 B.64 C.63 D.316.若任意x∈R，4x2+mx2−2x+3A.{m|m<−2} B.{m|m>0} C.{m|m≥−2} D.{m|m≥0}7.某花店搞活动，3支玫瑰与4支康乃馨价格之和大于17元，而4支玫瑰与5支康乃馨价格之和小于22元，那么2支玫瑰与3支康乃馨的价格比较的结果是(

)A.2支玫瑰便宜 B.3支康乃馨便宜 C.价格相同 D.不能确定8.已知关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集为(m,4m)，其中m<0A.−2 B.1 C.2 D.5二、多选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知集合M={1,2,{1}}，N={1}，则下列关系中正确的有(

)A.N∈M B.N⫋M C.N⊆M D.N=M10.下列条件中可作为a，b都为0的充要条件有(

)A.ab=0 B.a2+b2=0 11.下列不等式中，解集为{x|0≤x≤1}的有(

)A.1x≥1 B.|x−12|≤112.已知函数f(x)=ax2+bx+c，其中a>b>c，若f(1)=0，则A.b2>bc B.ac<bc C.ab>ac 三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.不等式x2>0的解集是______．14.已知集合A={x|ax=1}，B={1}，若A⊆B，则a的取值构成的集合为______．15.若命题“∃x0∈R，x02+x16.若正数a，b满足a2+ab+b2=6，则ab的范围是______；在此基础上(a+b)(四、解答题（本大题共6小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)

设集合A={x|2≤x<8}，B={x|−1<x≤1}，则：

(1)求A∩B，A∪B．

(2)求A∩(∁RB)，B∪(18.(本小题8.0分)

已知函数f(x)=x2+(2a+b)x+b．

(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|−1<x<3}，求a，b的值；

(2)当a=12时，解关于x19.(本小题8.0分)

已知实数集A={a1,a2,…,an}(n≥3)，定义φ(A)={aiaj|ai20.(本小题10.0分)

设x，y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0．21.(本小题10.0分)

两次购买同一种商品，不考虑物价变化，两次价格依次为a，b(a<b)，有两种购买方案：

方案一：第一次购买数量c，第二次购买数量d，(c<d)；

方案二：第一次购买数量d，第二次购买数量c，(c<d))．

(1)哪种方案更经济？说明理由；

(2)若两次价格之间关系b=2a−a−1(a>1)，两次购买数量之间满足关系d=2c+4c−1(c>1)，记两种方案中总费用较大者与较小者的差值为数学经济值22.(本小题12.0分)

设二次函数f(x)满足条件：①当x∈R时，f(x)的最大值为0，②二次函数过点(5,s)和(−3,s)，③2f(2)+1=0．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)+2<0的解集；

(3)求最小的实数m(m<−1)，使得存在实数t，只要当x∈[m,−1]时，就有f(x+t)≥2x成立．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：集合A={x|x<π}，B={y|y>2}，

则集合A∩B=(2,π)．

故选：B．

根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．

本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】B

【解析】解：由木材用墨线量过，再经过辅具加工就能取直的基本事实知“木受绳”是“直”的充分不必要条件．

故选：B．

利用充分必要条件的概念即可判断．

本题考查充分必要条件，属于基础题．3.【答案】A

【解析】解：对于A：由于c≤0，所以−c≥0，故a≤b+c，则a≤b，该命题为全称命题且为真命题，故A正确；

对于B：存在一条直线与两条相交直线都平行，由于该命题为特称命题，故B错误；

对于C：存在一个实数x，使x2−3x+6<0，该命题为特称命题，故C错误；

对于D：每一个二次函数的图象都是开口向上，该命题为全称命题，为假命题，故D错误．

故选：A．

直接利用依据特称和全称量词判断该命题为全称命题和特称命题，进一步判断该命题的真假．4.【答案】B

【解析】解：“a，b不全为0”的否定为a，b中全为0．

故选：B．

根据已知条件，结合命题否定的定义，即可求解．

本题主要考查命题的否定，属于基础题．5.【答案】D

【解析】解：根据题意，满足题意题意条件的集合M中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6中的一个元素，

则M的个数应为集合{4,5,6,7,8}的非空子集的个数，

集合{4,5,6,7,8}有5个元素，有25−1=31个非空子集．

故选：D．

根据题意，分析可得集合M中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6、7、8中的一个元素，即M的个数应为集合{4,5,6,7,8}的非空子集的个数，由集合的子集与元素数目的关系，分析可得答案．

本题考查集合间包含关系的判断，关键是根据题意，分析集合6.【答案】D

【解析】解：因为x2−2x+3≥2，所以任意x∈R，4x2+mx2−2x+3≥0恒成立，

即4x2+m≥0对任意x∈R恒成立，所以m≥−4x2对任意x∈R恒成立，

又当x∈R时，−4x2≤0，所以m≥0，

所以m7.【答案】A

【解析】解：设玫瑰和康乃馨每支分别为x元、y元，则3x+4y>174x+5y<22，

令2x−3y=m(3x+4y)+n(4x+5y)，即2x−3y=(3m+4n)x+(4m+5n)y，

则有3m+4n=24m+5n=−3，解得m=−22n=17，

所以2x−3y=−22×(3x+4y)+17×(4x+5y)<−22×17+17×22=0，

即2x<3y．

故选：A．

根据题意列出不等关系，利用不等关系求2x−3y8.【答案】D

【解析】解：∵不等式ax2+2bx+4<0的解集为(m,4m)，

∴a>0，方程ax2+2bx+4=0的解集为m，4m，

∴m⋅4m=4a，解得a=1，

∴m+4m=−2ba=−2b，

∴2b=−m+4(−m)≥2(−m)⋅4(−m)=4，当且仅当−m=9.【答案】AB

【解析】解：因为集合M={1,2,{1}}，N={1}，

所以由元素与集合的关系可得N∈M，

由集合与集合的关系可得N⫋M．

故选：AB．

利用元素与集合、集合与集合的关系求解即可．

本题考查元素与集合、集合与集合的关系，是基础题．10.【答案】BD

【解析】解：ab=0得不出a=0且b=0，A错误；

a2+b2=0得出a=0且b=0，B正确；

3a+3b=0得不出a，b都为0，C错误；

|a|+|b|=0得出a，b都为0，11.【答案】BC

【解析】解：对于A，由于不等式1x≥1，即x−1x≤0，即x(x−1)≤0x≠0，解得0<x≤1，

可得它的解集为(0,1]，故A不满足题意．

对于B，不等式|x−12|≤12，即−12≤x−12≤12，解得0≤x≤1，

故它的解集为[0,1]，故B满足题意．

对于C，不等式x(1−x)≥0，即x(x−1)≤0，解得0≤x≤1，

故它的解集为[0,1]，故C满足题意．

对于D，不等式1−x12.【答案】BC

【解析】解：由f(1)=0，得a+b+c=0，又a>b>c，

所以a>0，c<0，且b的符号不确定，故b2−bc=b(b−c)的符号也不确定，故A错误；

由a>b，c<0，得ac<bc，故B正确；

由b>c，a>0，得ab>ac，故C正确；

因为a>0>c，两边平方后不等式不一定成立，故D错误．

故选：BC．

由f(1)=0可得a>0，c<0，作差法可判断A，根据不等式的性质判断BCD．13.【答案】{x|x≠0}

【解析】解：∵x2>0，

∴x≠0，

∴不等式x2>0的解集是{x|x≠0}．

故答案为：{x|x≠0}．

14.【答案】{0,1}

【解析】解：由方程ax=1可知，当a=0时，等式不成立，则A=⌀，条件A⊆B成立．

当a≠0时，x=1a，由A⊆B知，1a∈B，即1a=1，得a=1．

综上所述，a=0或a=1．

a的取值构成的集合为{0,1}．

故答案为：15.【答案】(−∞,−1【解析】解：由题意可知，命题∀x∈R，x2+x−a≠0为真命题，

∴Δ=1+4a<0，

解得a<−14，

即实数a的取值范围为(−∞,−14).16.【答案】(0,2]

(6【解析】解：因为a2+ab+b2=6，

所以a2+b2=6−ab≥2ab，当且仅当a=b=2时取等号，

解得0<ab≤2，

又由题意得8=43(a2+ab+b2)，

因为a>0，b>0，

则8−a2+17.【答案】解：(1)因为A={x|2≤x<8}，B={x|−1<x≤1}，

所以A∩B=⌀，A∪B={x|−1<x≤1或2≤x<8}；

(2)∁RB={x|x>1或x≤−1}，∁RA={x|x<2或x≥8}，

则A∩(∁【解析】(1)由已知结合集合的交集及并集运算可求；

(2)结合集合的补集及交集，并集运算可求．

本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为不等式f(x)<0的解集为{x|−1<x<3}，

所以−1和3是方程x2+(2a+b)x+b=0的两解，

由根与系数的关系知，−(2a+b)=−1+3b=−1×3，解得a=12，b=−3；

(2)当a=12时，不等式f(x)≤0为x2+(1+b)x+b≤0，

可化为(x+1)(x+b)≤0，不等式对应方程的解为1和b，

当b=1时，不等式化为(x+1)2≤0，解得x=−1，

当b<1时，−b>−1，解不等式得−1≤x≤−b，

当b>1时，−b<−1，解不等式得−b≤x≤−1，

所以，b=1时，不等式的解集为{−1}【解析】(1)根据不等式f(x)<0的解集得出对应方程的解，由根与系数的关系求出a、b的值；

(2)a=12时不等式为x2+(1+b)x+b≤0，讨论b与19.【答案】解：(1)φ(A)={−4,−2,0,2}；

(2)首先，0∈A；

其次A中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，

记A={0,a,b,c,d}，不妨设a<0<b<c<d或者a<b<c<0<d，

①当a<0<b<c<d时，{ab,ac,ad}={−6,−8,−12}，{bc,bd,cd}={12,18,24}，

相乘可知bcd=72，a3bcd=−576，从而a3=−8⇒a=−2，

从而{b,c,d}={3,4,6}，所以A={0,−2,3,4,6}；

②当a<b<c<0<d时，与上面类似的方法可以得到d3=8⇒d=2，

进而{b,c,d}={−3,−4,−6}，从而A={0,2,−3,−4,−6}，

【解析】(1)根据定义φ(A)={aiaj|ai,aj∈A,i≠j}，即可求解；

(2)根据题意0∈A，其次A20.【答案】解：证明：充分性：如果xy=0，那么，①x=0，y≠0②x≠0，y=0③x=0，y=0于是|x+y|=|x|+|y|明显成立．

如果xy>0即x>0，y>0或x<0，y<0，

当x>0，y>0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|，

当x<0，y<0时，|x+y|=−x−y=(−x)+(−y)=|x|+|y|，

总之，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|．

必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x，y∈R，

得(x+y)2=(|x|+|y|)2即x2+2xy+y2=x2【解析】证明充要条件关键是证明其互相推出性，要根据|x+y|=|x|+|y|证明出xy≥0，也要在xy≥0下证明出|x+y|=|x|+|y|．

本题考查了绝对值的定义，充分必要条件的判断，注意分类讨论思想在解决该题中的运用，属于基础题．21.【答案】解：(1)方案一：总费用M1=ac+bd，方案二总费用：M2=ad+bc，

则M2−M1=ad+bc−(ac+bd)=a(d−c)+b(c−d)=(a−b)(d−c)，

因为a<b，c<d，

所以(a−b)(d−c)<0，即M2<M1，

所以采用方案二购买该商品更加经济；

(2)由(1)可知s=M1−M2=(b−a)(d−c)=(a−a−1)