安徽省安庆市铜陵市池州市2022-2023学年高二下学期联合期末检测数学试题

安徽省安庆、池州、铜陵三市20222023学年高二下学期联合期末检测数学试题一、单选题1．数列−3，A．−23121 B．23121 C．−2．下列运算正确的是（）A．(2+sinx)′=2+cosx C．(ln2x)′3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据15对样本数据求得经验回归方程为y=2x−1，若i=1A．12 B．19 C．31 D．464．随机变量ξ∼N(μ，σ2)，若5．如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1DA．30∘ B．45∘ C．6．甲乙两个盒子里各装有4个大小形状都相同的小球，其中甲盒中有2个红球2个黑球，乙盒中有1个红球3个白球，从甲盒中取出2个小球放入乙盒，再从乙盒中随机地取出1个小球，则取出的小球是红球的概率是（）A．14 B．1136 C．137．2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有（）A．162种 B．150种 C．120种 D．114种8．已知a=0.99，A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b二、多选题9．已知圆C：A．圆心为(1，2)C．圆C与直线3x+4y+5=0相离 D．圆C被直线x=0所截弦长为210．关于(2x+1A．二项式系数和为1028 B．所有项的系数之和为3C．第6项的二项式系数最大 D．1x11．素描几何体是素描初学者学习绘画的必学课程，是复杂形体最基本的组成和表现方式，因此几何体是美术人门最重要的一步．素描几何体包括：柱体、椎体、球体以及它们的组合体和穿插体．十字穿插体，是由两个相同的长方体相互从中部贯穿而形成的几何体，也可以看作四个相同的几何体（记为Γ)拼接而成，体现了数学的对称美．已知在如下图的十字穿插体中，AB=BC=2A．ED1B．PE与B1DC．平面EMN截该十字穿插体的外接球的截面面积为9πD．几何体Γ的体积为2012．形如f(x)=ax+bx(a>0，A．渐近线方程为x=0和y=xB．y=f(x)的对称轴方程为y=(2+1)xC．M，N是函数f(x)图象上两动点，P为MN的中点，则直线D．Q是函数f(x)图象上任意一点，过点Q作切线，交渐近线于A，B两点，则三、填空题13．已知随机变量X的分布列如表，则X的均值E(X)=．X－1012Pm2m14．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的动直线l与抛物线交于A，B两点，满足15．已知数列{an}满足a1=0，a2=a3=2，an≠−1，且16．已知函数f(x)=aex+x+xlnx，若f(x)≥x2四、解答题17．在①f(x)=a⋅b，已知向量a=(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，18．记Sn为数列{an}的前（1）求{a（2）设bn=1an⋅an+1，记数列19．如图1，已知正三棱锥P−ABC，AB=43，M，N分别为AB，BC的中点，将其展开得到如图2的平面展开图（点P的展开点分别为P1，（1）求证：AB⊥平面PMC；（2）求平面PAC与平面PMN夹角的余弦值．20．为了研究数学成绩是否与物理成绩有关联．某中学利用简单随机抽样获得了容量为100的样本，将所得数学和物理的考试成绩进行整理如下2×2列联表：数学成绩物理成绩合计优秀不优秀优秀2020不优秀1050合计参考公式：χ2=n参考数据：αx（1）完成2×2列联表，试根据小概率值α=0.（2）用样本频率估计概率，从该学校中随机抽取12个学生，问这12个学生中数学成绩优秀的人数最有可能是多少?21．已知椭圆：x2a2+y（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆左右顶点为A，B，在x=4上有一动点P，连接PA，PB分别和椭圆交于C，D两点，△PAB与△PCD的面积分别为S122．已知函数f(（1）当a=2时，求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程；（2）已知a≤8时，讨论函数g(答案解析部分1．【答案】A【知识点】数列的概念及简单表示法【解析】【解答】设该数列的第n项为an由已知a1变形可得a1所以数列{an}可得a11故答案为：A.【分析】由所给数列的前几项归纳数列的通项公式，确定数列的第11项.2．【答案】C【知识点】导数的加法与减法法则；简单复合函数求导法则【解析】【解答】对A：(2+sin对B：(2对C：(ln对D：(1−x故答案为：C.【分析】根据求导运算逐项分析判断即可.3．【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程【解析】【解答】因为i=115yi=23，所以y=2315所以2315=2x−1，解得故答案为：B.【分析】根据题意，求得y=2315，结合回归直线方程过样本中心点x4．【答案】D【知识点】正态密度曲线的特点【解析】【解答】由P(可得P(ξ>6)=1−P(0<ξ<6)−P(ξ<0)=0.3=P(ξ<0)，由对称性可得μ=3，由P(0<ξ<6)=0.4，所以P(3<ξ<6)=1故答案为：D.【分析】根据正态曲线的对称性得到μ=3，再结合P(0<ξ<6)=0.4计算可得.5．【答案】B【知识点】棱台的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质【解析】【解答】将该正四棱台补成正四棱锥P−ABCD，设ABCD的中心为O，如图：连接PO，设PO∩B1D1=O1，

因为A1B1=AA1=2，AB=4，则由正棱锥的性质可知PO⊥底面ABCD，AO⊂底面ABCD，所以PO⊥AO，因为四边形ABCD是正方形，所以AO⊥BD，而PO∩BD=O，PO，BD⊂平面PDB，所以AO⊥平面PDB，则AA1与平面BDD因为PA=PB=4，AO=12AC=2且0°≤∠APO≤90°，所以∠APO=45°.故答案为：B【分析】将该正四棱台补成正四棱锥，根据线面角定义法分析可得AA1与平面BDD6．【答案】C【知识点】全概率公式【解析】【解答】从甲盒中取出2个红球的概率为C2从甲盒中取出2个黑球的概率为C2从甲盒中取出1个红球1个黑球的概率为C2由全概率公式，从乙盒中随机地取出1个红球的概率P=1故答案为：C.【分析】根据题意分别求出从甲盒中取出2个红球的概率，取出2个黑球的概率和取出1个红球1个黑球的概率，然后利用全概率公式可求得结果.7．【答案】D【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合【解析】【解答】将5人分成三组的分法有C53+因此符合要求的分组有25−6=19种，再把所分组安排工作，共有19×A所以不同的安排方案有114种．故答案为：D.【分析】把5人按照甲乙不在同一组分成3组，再作全排列并计算作答.8．【答案】A【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】因为a=0.99，b=cos20.1设f(x)=cos则f′(x)=−2设g(x)=2x−sin2x，则则g(x)在(0，1)单调递增，g(x)>g(0)=0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0，1)单调递增，f(x)>f(0)=0，所以f(0.1)=cos20.1−0.99>0因为b=cos20.1，c=设m(t)=1设ℎ(t)=1−2t则ℎ(t)在t∈(0，1)单调递减，ℎ(t)>ℎ(1)=0，则m(t)>0，记t=cos0.1可得所以c−b=1所以b<c．因此有a<b<c．故答案为：A.【分析】因为b−a=cos20.1−0.99=cos20.1+(0.1)2−1，故构建f(x)=cos29．【答案】B,D【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程【解析】【解答】将圆C：x2可知圆心C(−1，2)，半径R=2，故A错误，B正确；由圆心C(−1，2)到直线3x+4y+5=0的距离d=|−3+4×2+5|即R=d，直线与圆相切，故C错误；圆心C(−1，2)到直线x=0的距离为d1所以所截弦长为22故答案为：BD.【分析】把方程化为圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，可判定A错误，B正确；由点到直线的距离公式，可判定C错误；根据圆的弦长公式，可判定D正确.10．【答案】B,C【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用【解析】【解答】对A：(2x+1x)对B：令x=1，可得(2x+1x)对C：因为10为偶数，所以(2x+1x)对D：(2x+1x)令10−32k=−2得k=8，此时T9=故答案为：BC.【分析】对A：由题意得二项式系数和公式求解进行判断，对B：令x=1可求得结果，对C：由二项式系数的性质进行判断，对D：求出二项式展开式的通项公式，令x的次数为−2，求出k，然后代入通项公式可求得结果.11．【答案】A,C,D【知识点】组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定【解析】【解答】对A：连接B1D1，D因为AB=BC=2，CC1=4所以ED1=4，EN=6，同理可得ED1⊥EM，又EN∩EM=E所以ED对B：连接EF，则PE与B1在△PEF中，PE=PF=6所以PE与EF所成角的余弦值为12对C：该十字穿插体的外接球球心即为长方体ABCD−A半径R=1球心O到平面EMN的距离d，即为球心O到长方体侧面的距离，所以d=1，所以截面圆的半径r=R2−对D：几何体Γ可取为EQFP−A1B则2x+2VP−EFN=故答案为：ACD.【分析】对A：连接B1D1，D1N，D1E，利用已知的数据结合勾股定理逆定理可得ED1⊥EN12．【答案】A,B,D【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；直线的斜率；双曲线的简单性质【解析】【解答】对A：因为f(x)=x+1x是双曲线，由图象可知：函数f(x)图象无限接近x=0和故渐近线为x=0和y=x，故A正确；

对B：因为f(x)=x+1x一条直线的倾斜角为45°+45°2由二倍角公式可得tan45°=整理得(tan22.5°)2+2故k1另一条直线的斜率为k2=−1k1=1−2，

对C：设M(x1，故kMN对D：因为f′(x)=1−1设Q(t，t+1t)所以切线方程为y=(1−1令x=0，可得y=1−1t2(−t)+t+令y=x=(1−1t2)(x−t)+t+1t，可得故△OAB面积为S△OAB故答案为：ABD.【分析】对于A：根据题意结合图象分析判断；对于B：根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算；对于C：根据题意结合斜率公式运算求解；对于D：根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果.13．【答案】【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】由离散型分布列的性质，可得0.1+0.3+m+2m=1，解得m=0.2，则E(X)=−1×0.1+0×0.3+1×0.2+2×0.4=0.9．故答案为：0.9.【分析】根据分布列的性质，求得m=0.2，结合期望的计算公式，即可求解.14．【答案】2【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】设交点坐标为A(x1，y1与抛物线联立可得，y2−2pmy−p则|AB|=|AF|+|BF|=x故当|AB|=2p时，动直线有且仅有一条，即2p=4，故p=2．故答案为：2.【分析】根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解.15．【答案】−1【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式【解析】【解答】由anan+3+an+an+3=1，得则数列{an}由题意得a4则b1所以S2023故答案为：−1【分析】由anan+3+an+an+316．【答案】[【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【解答】由已知不等式f(x)≥x2，可化为两边同时除以x得ae令t=exx当0<x<1时，t′<0，函数t=exx当x>1时，t′>0，函数t=exx所以当x=1时，函数t=e当x→0时，t→+∞，当x→+∞时，t→+∞，所以t=exx的范围是[e，+∞)所以不等式aexx+1≥ln所以a≥lnt−1t构造函数g(t)=ln则g′(t)=2−lntt2当e≤t<e2时，g′(t)>0，函数g(t)在当t>e2时，g′(t)<0，函数g(t)在所以t=e2时，g(t)取最大值，最大值为所以a≥1e2故答案为：[1【分析】不等式可化为aexx+1≥lnexx，令17．【答案】（1）解：若选条件①：由向量a=(可得f(x)=a所以函数f(x)的最小正周期为T=2π若选条件②：由向量a=(可得b2=(sin所以f(x)=b2a2=（2）解：选条件①：由（1）得f(A)=2sin(2A+π因为A∈(0，π)，所以2A+π4∈(在△ABC中，由余弦定理a2整理得c2−12c+27=0，解得c=3或当c=3时，S=1当c=9时，S=1所以△ABC的面积为9或27．若选条件②：由（1）得f(A)=sin2A+1=2，则sin2A=1，因为A∈(0，π)，所以2A∈(0，2π)，所以在△ABC中，由余弦定理a2整理得c2−12c+27=0，解得c=3或当c=3时，S=1当c=9时，S=1所以△ABC的面积为9或27．【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用；简单的三角恒等变换；余弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质【解析】【分析】(1)若选条件①：根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得fx=2sin(2x+π4)+1，进而可求周期；若选条件②：根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得fx=sin2x+1，进而可求周期；18．【答案】（1）解：解法一：∵2S两式相减可得，nan+1=(n+1)又∵a2∴a2∴n∈N∴an故an解法二：2Sn≥2时，2S两式相减得(n+1)a∴an+1又∵a2∴a2∴{ann}为常数列，（2）证明：bn前n项和Tn∵n∈N∗，∴∴14−14【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式【解析】【分析】(1)解法一：根据an与Sn之间的关系可得an+1an=n+1n，利用累积法运算求解；解法二：根据an19．【答案】（1）证明：因为三棱锥P−ABC为正三棱锥，M为AB的中点，所以AB⊥PM，又因为PM∩CM=M，PM、CM⊂平面所以AB⊥平面PMC；（2）解：如图1，在平面展开图中过P1作直线MN的垂线，垂足为E，垂线交AC于点F所以12因为M，N分别为AB，所以12×23在正三角形ABC中，因为AB=43，所以EF=12在Rt△P1AF解法一：如图2，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A(0，设m=(x1因为AP=(2所以m⋅AP=0m⋅AC=0设n=(x2因为MN=(0所以n⋅MN=0n⋅MP=0，即2设平面PAC与平面PMN夹角为θ，cosθ=所以平面PAC与平面PMN夹角的余弦值为66解法二：如图3，设平面PAC与平面PMN的交线为l，因为MN∥AC，所以MN∥平面PAC，所以MN∥l，AC∥在等腰三角形PAC中，PF⊥AC，在等腰三角形PMN中，PE⊥MN，所以PF⊥l，则∠EPF为平面PAC与平面PMN的夹角（或其补角）．PM=PF=3，MN=23，则在等腰三角形PMN在三角形PEF中，PE=6由余弦定理得cos∠EPF=6+9−9所以平面PAC与平面PMN夹角的余弦值为66【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角【解析】【分析】(1)根据题意可得AB⊥PM，AB⊥CM，结合线面垂直的判定定理分析证明；

(2)解法一：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面PMN的法向量，利用空间向量求线面夹角；解法二：根据题意分析可知∠EPF为平面PAC与平面20．【答案】（1）解：零假设H0补充列联表为数学成绩物理成绩合计优秀不优秀优秀202040不优秀105060合计3070100χ2根据小概率值α=0.001的独立性检验，有充分证据证明推断故能认为数学成绩与物理成绩有关联，这个推断犯错误的概率不大于0.001；（2）解：由频率估计概率可得，任取一个学生数学成绩优秀的概率为p=0.设12个学生中数学成绩优秀的人数为ξ，随机变量ξ∼B(12，人数最有可能是多少即求二项分布下概率最大时随机变量取值．设pk解法一：pkpk−1=C当k<5.2时，pk>p故k=5时，pk解法二：pk≥解得4.因k∈Z，则k=5，故k=5时，pk【知识点】独立性检验的应用；二项分布【解析】【分析】(1)根据题意完善列联表，求χ2，并与临界值对比分析；

(2)根据题意分析可得ξ∼B(1221．【答案】（1）解：设椭圆x2a2因为椭圆上的点到F的最大距离为3，最小距离为1，所以a+c=3，a−c=1，又a2解得a=2，c=1，b=3故椭圆的标准方程为x2（2）解：由（1）可得A(−2，假设存在点P(4，t)，使得设∠APB=