维纳滤波基本概念

...wd......wd......wd...Wiener滤波概述Wiener滤波器是从统计意义上的最优滤波,它要求输入信号是宽平稳随机序列,本章主要集中在FIR构造的Wiener滤波器的讨论。由信号当前值与它的各阶延迟，估计一个期望信号，输入信号是宽平稳的，和是联合宽平稳的,要求这个估计的均方误差最小。在本章中,不特别说明,假设信号是零均值.Wiener滤波器的几个实际应用实例如下：①通信的信道均衡器。 图1.信道均衡器的构造示意②系统辨识： 图2.线性系统辨识的构造③一般构造: 图3.Wiener滤波器的一般构造Wiener滤波器的目的是求最优滤波器系数，使最小。§3.1从估计理论观点导出Wiener滤波FIR构造(也称为横向)的Wiener滤波器的核心构造如图4所示. 图4.横向Wiener滤波器FIR构造的Wiener是一个线性Beyesian估计问题.为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数由输入和它的1至〔M-1〕阶延迟，估计期望信号，确定权系数使估计误差均方值最小，均方误差定义为：这里估计写为：除了现在是波形估计外，与线性Bayesian估计一一对应。R〔零均值假设〕这里,Wiener滤波与线性Bayesian估计变量之间具有一一对应关系,设最优滤波器系数为，由线性Bayesian估计得到Wiener滤波器系数对应式：上式后一个方程称为Wiener-Hopf方程,或结论：Wiener滤波器是线性FIR滤波器中的最优滤波器，但非线性滤波可能会到达更好结果。在联合高斯条件下，Wiener滤波也是总体最优的〔①从Bayesian估计意义上讲是这样，②要满足平稳条件〕从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的w时，其误差性能表示：它是w的二次曲面，只有一个最小点，时，§3.2维纳滤波：从正交原理和线性滤波观点分析Wiener滤波器Wiener滤波器是一个最优线性滤波器，滤波器核是IIR或FIR的。导出最优滤波器的正交原理,并从正交原理出发重新导出一般的Wiener滤波器方程推导适应于IIR和FIR的一般结论，然后分别讨论FIR和IIR。讨论一般的复数形式。· 输入过程。· 滤波器系数，〔权系数〕·希望的响应 d[n]·输出误差： ·正交性原理对复数据情况，推导一般结论，实数据是特例。=均方误差是：设权系数:定义递度算子 .其中符号是递度算子作用于J，其中第k项为：要求的值,使得J最小,即等价：由得：由得到：代入表达式整理得：当时，J到达最小。设J达最小时，用表示权系数和误差e[n]，且则有：，以上为正交性原理，到达最优滤波时，误差和输入正交。推论：·维纳－霍夫方程〔Wiener-Hopf〕由正交性原理得定义：有这就是Wiener-Hopf方程，解此方程，可得到最优权。对于M阶FIR滤波器，〔横向滤波器〕Wiener-Hopf方程变为：，·矩阵形式：令和Winer-Hopf方程：这里解方程求得：·最小均方误差：在达最优时，也写成，表示由张成的空间对d[n]的估计〔最优线性估计〕。也可以写成：由和正交性得：即：由得则·误差性能外表由直接代入整理得：由上式，可以看出，J是Wk的二次曲面，是碗状曲面，碗口向上，Jmin在碗底，其实，由上式直接对wk求导，得到一组方程，正是wiener-Hopf方程。矩阵形式在时，达最小，性能外表可以写成：由于故令通过坐标变换，得到如上标准形式，对于一个给定,有：这是超橢圆，为其一个轴。数值例子1：有一信号，它的自相关序列为，被一白噪声所污染，噪声方差为，被污染信号作为Wiener滤波器的输入，求2阶FIR滤波器使输出信号是的尽可能的恢复。解：此题中，，。由于只需要2阶滤波器设计，因此＝＃数值例子2：①希望响应是一个AR(1)过程，，是白噪声，,由白噪声驱动的产生该过程的传输函数为:②经过了一个通信信通，信道的传输函数为，并参加了白噪声即：通道模型如图5所示:图5.通道模型③求解：一个二阶FIR构造Wiener滤波器，目的是由x[n]尽可能恢复d[n]解：①是一个过程，②在中,是一个二阶过程,相当于由二阶参数，确定,由Yule-walker方程：反解.得由上确定s[n]的自相关矩阵为:但：③求由：,和代入上式得：故最优系数最小均方误差：性能外表标准误差性能外表解这是一个随圆，主轴，副轴·IIRWiener滤波器考虑Wiener-Hopf方程在IIR滤波器时的情况，为简单，先讨论非因果IIR滤波器的设计式。为简单，考虑实信号和实滤波器系数的情况。在非因果条件下，Wiener-Hopf方程改写为上式两边取z变换，得或 这里是滤波器冲激响应〔权系数〕的z变换，是的z变换，是的z变换。 最小均方误差为例2．有一信号，它的自相关序列为，被一白噪声所污染，噪声方差为，被污染信号作为Wiener滤波器的输入，求IIR滤波器使输出信号是的尽可能的恢复。解：此题中，，。求的反变换得到最小均方误差 因果IIR维纳滤波器 现在考虑因果IIR维纳滤波器设计。因果IIR维纳滤波器的传输函数为上式中，是由中位于单