高二上学期数学攻坚小练

高二上期数学攻坚小练02一、单选题1．一道竞赛题，，，C三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（

）A．B．C．D．12．已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由OP=15OA+13A．−23 B．23 C．7153.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，则（）A. B.C.D.4.如图，各棱长都为的四面体中，，则向量（）A. B. C. D.二、多选题5．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球、2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则（）A．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件B．“都是白球”与“都是黑球”是互斥事件C．“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件D．“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立6.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面交于点O，M是棱上的动点，则（）A.三棱锥体积的最大值为B.存在点M，使平面C.点M到平面的距离与点M到平面的距离之和为定值D.存在点M，使直线与所成的角为三、填空题7．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是______．8.在正方体中，E为的中点，直线与平面所成角的正弦值为．四、解答题9.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；（2）求点E到平面PBF的距离．10．已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，．（1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．参考答案一、单选题1．一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（

）A．B．C．D．1【答案】B【解析】根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A解出而其余两人没有解出，一是B解出而其余两人没有解出，一是C解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加法求解.【详解】.故选：B【点睛】本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.2．已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由OP=15OA+13OB+λA．−23 B．23 C．7【解题思路】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案.【解答过程】由P与A,B,C三点共面以及OP=可得，15+1故选：C.3.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量基本定理，用表示出即可.【详解】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，因此.故选：D.4.如图，各棱长都为的四面体中，，则向量（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案.【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为，，，，故选：A.二、多选题5．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球、2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则（）A．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件B．“都是白球”与“都是黑球”是互斥事件C．“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件D．“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立【答案】BC【解析】对A，“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”均包含“一个白球一个黑球”的情况，故A错误；对B，“都是白球”与“都是黑球”不能同时发生，且不是对立事件，故为互斥事件，故B正确；对C，“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件，故C正确；对D，事件“第一次摸到的是白球”的概率，事件“第二次摸到的是黑球”的概率，又，因为，故“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”不相互独立，故D错误；故选：BC6.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面交于点O，M是棱上的动点，则（）A.三棱锥体积的最大值为B.存在点M，使平面C.点M到平面的距离与点M到平面的距离之和为定值D.存在点M，使直线与所成的角为【答案】ABC【解析】【分析】根据题意以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为轴，利用向量法判断CD，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断A选项.根据线面平行的判定定理判断B即可求解.【详解】以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，设，则,由是棱上的动点，设，,因为底面为正方形，故,又底面所以又,所以底面,所以当与D重合时，三棱锥体积的最大且为，故A对.当为中点时，是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，故B正确；点到平面的距离，点到平面的距离,所以，故C正确.,,若存在点，使直线与所成的角为30°则，化简得，无解，故D错误；故选：ABC三、填空题7．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是______．【答案】0.92/【解析】由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是．那么其中至少有1人解决这个问题的概率是1-0.08=0.92.故答案为：0.928.在正方体中，E为的中点，直线与平面所成角的正弦值为．【答案】.【解析】可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，[方法一]：几何法延长到，使得，连接，交于，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,连接，作,垂足为,连接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直线平面,又∵直线平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2，则,,∴,∴,∴,即直线与平面所成角的正弦值为.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.[方法三]：几何法+体积法如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．因为，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．设正方体的棱长为2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，设直线与平面所成的角为，所以．【整体点评】第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.四、解答题9.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；（2）求点E到平面PBF的距离．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.（2）由（1）求出平面PBF的法向量，利用空间向量即可求出点E到平面PBF的距离.【小问1详解】因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则，则直线DE的方向向量，直线PF的方向向量，，所以直线DE和PF夹角的余弦值为.【小问2详解】由（1）知，，，，设平面PBF的法向量，则，令，得，所以点E到平面PBF距离为.10．已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，．（1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．【答