第五章 贝塞尔函数讲解课件

第五章贝塞尔函数第五章贝塞尔函数讲解5.1贝塞尔方程

在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标函数---特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式等第五章贝塞尔函数讲解

在2.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分布，与时间没有关系。分离变量

在极坐标系中：化简引入常量

欧拉方程第五章贝塞尔函数讲解5.1.1贝塞尔方程的导出

假设半径为R的圆形薄盘，上下面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。

由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布，即可表示这第五章贝塞尔函数讲解分离变量化简引入常量Helmholtz方程(5.5)为了求Helmholtz方程(5.5)，可在极坐标中进行求解(5.7)(5.8)解：采用分离变量第五章贝塞尔函数讲解再次分离变量(5.9)(5.10)

由于温度函数u(x,y,t)是单值的，所以v(x,y)也是单值，因此应是以2为周期的函数。因此，,方程(5.10)的解为：第五章贝塞尔函数讲解将代入(5.9)式得到(5.11)n阶贝塞尔方程令，记F(r)=y(x)，则(5.11)转化为：(5.12)贝塞尔方程由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此，,结合边界条件，(5.11)式可定义为求解以下定解问题。(5.12)为二阶变系数常微分方程，其解称贝塞尔函数或柱函数第五章贝塞尔函数讲解(5.12)贝塞尔方程求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下幂级数解：(5.13)将(5.13)代回贝塞尔方程(5.12)，整理得到：第五章贝塞尔函数讲解故有：由于，可得,需要分别讨论：(5.14)(5.15)(5.16)情形1：n不为整数和半奇数，则s1-s2=2n也不为整数。取s1=n代入(5.15)式得到a1=0,代入(5.16)式得到：(5.17)第五章贝塞尔函数讲解(5.18)Jn(x)称为n阶第一类贝塞尔函数将所求的系数代回(5.13)式得到第一个特解引入函数并利用其递推式：，则一般项的系数变为：第五章贝塞尔函数讲解取s2=-n时：(5.19)可以得到方程另一个特解J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数第五章贝塞尔函数讲解Yn(x)称为n阶第二类贝塞尔函数，诺伊曼函数Jn(x)和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为：(5.20)令，则(5.20)可写成(5.21)第二个线性无关特解贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为：(5.22)第五章贝塞尔函数讲解情形2：n为整数，则s1-s2=2n也为整数。与前面相同处理，当n>=0时，方程的一个解为：(5.23)(5.21)第五章贝塞尔函数讲解

可见，不论n是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)的通解都可以表示为：情形3：n为半奇数后面讨论。第五章贝塞尔函数讲解Jn（x）第五章贝塞尔函数讲解Yn（x）第五章贝塞尔函数讲解Kn（x）第五章贝塞尔函数讲解In（x）第五章贝塞尔函数讲解(5.18)5.2贝塞尔函数的递推式由(5.18)式可以得到第一类贝塞尔函数递推式：第五章贝塞尔函数讲解第二类贝塞尔函数第五章贝塞尔函数讲解半奇数阶贝塞尔函数第五章贝塞尔函数讲解第五章贝塞尔函数讲解5.1.2.虚宗量贝塞耳方程

阶虚宗量贝塞耳方程定义：通解：第五章贝塞尔函数讲解5.3贝塞尔函数展开为级数由于圆盘上温度的定解问题可表示：贝塞尔方程(5.32)的通解可表示为：(5.32)(5.33)第五章贝塞尔函数讲解(5.34)由于(5.34)式可知：当取不同值时，Jn(x)有零值,即贝塞尔函数的零点。由于为无穷大，由边界条件可以得到D=0，再利用另一个条件可以得到：1.Jn(x)有无穷多个零点,关于原点对称分布。2.Jn(x)的零点和Jn+1(x)的零点是彼此相间分布，且Jn(x)的零点更靠近坐标原点。3.当x趋于无穷大时，Jn(x)两个零点之间的距离接近于π。第五章贝塞尔函数讲解J0(x)J1(x)第五章贝塞尔函数讲解利用上述关于贝塞尔函数的零点的结论，可设为Jn(x)的正零点，则由（5.34）可得：即与这些固有值相对应的函数F可表示为：第五章贝塞尔函数讲解二、正交关系贝塞耳方程是施图姆－刘维尔本征值方程：在区间(0,R)上带权r正交：第五章贝塞尔函数讲解三贝塞耳函数的模定义积分：的平方根，为贝塞尔函数的模：第五章贝塞尔函数讲解四傅立叶-贝塞耳级数在求解贝塞耳方程时，往往要把已知函数按贝塞耳函数展开为级数。如果f(r)为定义在区间(0,R)内的分段连续函数，且积分的值有限，则它必可以展开为以下级数形式：(5.42)性质：1.在级数f(r)的连续点(5.42)收敛于f(r);2.在