北师大版选择性122圆的一般方程课件（21张）

2.2圆的一般方程第一章内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑自主预习新知导学圆的一般方程1.(1)圆的一般方程当

D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程.(2)二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圆时,其在代数结构上的典型特征:①x2,y2的

系数相同

,且不等于0,即A=B≠0;②

不含

xy这样的二次项,即C=0.具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件,但不是充分条件.2.圆x2+y2+2x-4y+3=0的圆心坐标和半径分别是(

).答案:C合作探究释疑解惑探究一圆的方程的判断【例1】

下列各方程是否表示圆?若表示圆,求其圆心和半径.(1)x2+y2+2xy=0;(2)x2+y2-4x=0;(3)2x2+2y2-3x+4y+6=0;(4)x2+y2+2ax=0(a∈R).解:(1)因为方程x2+y2+2xy=0中含有xy这样的项,所以不能表示圆.(2)由方程可知D=-4,E=F=0,因为D2+E2-4F=D2=16>0,所以方程表示圆.因为D2+E2-4F=+4-12<0,所以方程不表示任何图形.(4)因为D2+E2-4F=4a2+02-4×0=4a2,所以当a≠0时,该方程表示的是以(-a,0)为圆心,半径r=|a|的圆;当a=0时,原方程为x2+y2=0,此时该方程表示点(0,0).判断二元二次方程是否表示圆的方法任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.(2)将该方程配方为

,根据圆的标准方程来判断.由公式求半径和圆心坐标时,一定要注意圆的一般方程的形式,二次项系数相等且为1.探究二求圆的一般方程【例2】

已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圆的方程;(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.解:(1)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,即△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.若将本例中条件“C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程?应用待定系数法求圆的方程时应注意以下两点:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.探究三圆的方程的综合应用【例3】

已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上.(1)求圆C的方程;(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0),端点Q在圆C上运动,求线段PQ的中点M的轨迹方程.求与圆有关的轨迹问题常用的方法(1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式.(2)定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)相关点法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将点Q的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程.

易错辨析因忽视圆的方程成立的条件而致误【典例】

已知点O(0,0)在圆x2+y2+kx+2ky+2k2+k-1=0外,求k的取值范围.错解:∵点O(0,0)在圆外,以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?又如何防范?提示:上述解法的错误在于忽视了圆