数学的第一次危机第一次数学危机及其意义探析

数学的第一次危机第一次数学危机及其意义探析

危机是一个不可避免的矛盾。这种矛盾存在于事物的发展和变化的整个过程中。库恩认为,任何一个范式在一个学科中的统治地位都不是一劳永逸的。在常规科学的发展中,出乎科学家意料之外的现象的出现是不可避免的,当一种反常现象与主流理论相矛盾,且这种矛盾无法克服并不断出现时,就会出现理论方面的生存危机。库恩认为,危机并不可怕,因为危机常常会产生出新的发明。虽然数学以确定性和分析性为特征,但是在整个数学发展的历史上,数学的发展并非线性的,而是不断面临着各种各样“矛盾”的挑战。在矛盾激化到威胁整个数学的基础时,就会产生数学危机。矛盾的消除,危机的解决,往往给数学带来新的研究内容,新的理论体系,甚至引起革命性的变革。这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史,斗争的结果就是数学领域的发展。无理数的出现,导致了数学史上的第一次危机,而危机的解决也带来了数学的更快发展。一、数作为人类的存在第一次数学危机发生之前,古希腊数学领域占统治地位是毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯(Pythagoras,ca.560-ca.480.BC)是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他所创立的毕达哥拉斯学派是一个从事政治、数学、哲学和宗教研究活动具有神秘主义色彩的团体,在哲学和数学方面的研究成果突出。著名哲学家、数学家莱布尼兹说:“我对毕达哥拉斯有最高评价,而且我几乎认为,他高于所有别的古代哲学家。”152毕达哥拉斯学派成员人数固定,有一套严格的清规戒律,其中有一条就是其所有成员均需宣誓忠于学派,所获得的知识均需对外保密,而且必须归功于学派领袖毕达哥拉斯。在哲学上,毕达哥拉斯跟当时的其他希腊思想家一样,也热衷于探索世界构成的本原问题。但是他跟米利都派哲学家不同,他不把物质的东西看作万物之本,而把精神的产物——正整数当作万物之原,提出了“数本原说”。他非常重视数学,企图用数(有理数)来解释一切。他主张万物从1开始,由l生成2,由1、2生成各种数目;由数目生成各种几何图形,然后由几何图形生成几种基本的物质元素,由基本的物质元素构成各种物体,最后生成有生命、有思想的宇宙。毕达哥拉斯学派的哲学信条是:整个字宙间的一切现象,都可归结为整数和整数之比。因此,他们宣称万物的本原不是自然物质,而是数,也即“万物皆数”。世间万物只是数的摹本,它们都遵循着数的原则转。也就是说,数为宇宙提供了一个概念模型,数量和形状决定一切自然物体的形式,数不但有量的多寡,而且也具有几何形状。对此,恩格斯指出,毕达哥拉斯“曾经把数,即量的规定性,理解为事物的本质”。233在这个意义上,他们把数理解为自然物体的形式,是一切事物的总根源。因为有了数,才有几何学上的点,有了点才有线面和立体,有了立体才有火、气、水、土这四种元素,从而构成万物,所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的,都必须服从“数的和谐”,即服从数的关系。而这个数指的是整数。整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念,这个概念对于毕达哥拉斯学派来说至关重要。亚里士多德指出:“他们在数的和谐中,看到逻辑规律(特性),因为他们认为,一切别的事物的本性都是由数造成的,因而数在一切本性中是第一位的,他们认为数的原素就是一切事物的原素,一切天体也是和谐的数。”69万事万物皆出自于数,回归于数,并只有通过数才能得到理解。总之,数就是毕达哥拉斯学派的宗教,其地位仅次于上帝。人们在日常生活中,首先要计算对象的数量,这就要用到整数,其次,人们还要度量各种量,例如高度、长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要,就要用到分数。于是,如果定义有理数为两个整数的商,那么由于有理数就包括所有的整数和分数。对于古希腊民众的日常生活来说,有理数对于进行实际量度是完全足够的。显然,不论测量技术多么发达,实践中测得的数都是有理数因此,古代学者关于数即有理数的信念,是与当时人们的数学研究水平和生活实践相一致的,或者说他们关于宇宙万物都能归结为整数或者整数之比的信念是有其现实依据的。毕达哥拉斯还通过说明数和物理现象间的联系,来进一步证明自己的理论。他曾证明用三条弦发出某一个乐音,以及它的第五度音和第八度音时,这三条弦的长度之比为6:4:3。“和谐”和“美感”也是由一定数的比例关系组成的。如果想认识周围的世界,就必须找出事物中的数。一旦数的结构被抓住,就能控制整个世界。亚里士多德这样叙述这个观点:“他们又见到了音律(谐音)的变化与比例可由数来计算——因此,他们想到自然间万物似乎莫不可由数范成,数遂为自然间的第一义;他们认为数的要素即万物的要素,而全宇宙也是一数,并应是一个乐调。”在对这种数的规律的研究中,毕达哥拉斯发现了今天众所周知的勾股定理。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂,并且屠杀了99头牛进行庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号:“百牛定理”。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何中两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用,同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。因此著名数学家、哲学家罗素对他的评价极高:“无论就他的聪明而论或是就他的不聪明而论,毕达哥拉斯都是自有史以来在思想方面最重要的人物之一”。55毕达哥拉斯学派所主张的宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比的观点在当时的科学技术发展水平下其实是相当合理的。因为当时人们所接触的数要么是整数,要么是小数。而带小数的数都产生于分数。分数就是所谓的整数的比。所以把所有事物归结为整数或整数之比在当时不算过分,在理论上和实践中都是没有什么疑义的。问题是毕达哥拉斯学派是一个政治、哲学、宗教、数学的混合组织,所以这个结论就被作为一种宗教信仰而变得神圣不可侵犯了。也正因为如此,当无理数被发现而对这个信条产生威胁时,这个学派的根基就发生了信仰危机。二、elea学派的生存危机毕达哥拉斯学派所提出的宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比的哲学信条不久就受到了严重的挑战,因为不可公度的无理数的发现彻底粉碎了他们的基本信念,使整个学派失去了赖以存在的基础。公元前470年,毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯(Hippasus)考虑了这样一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生。我们可以这样来设想希帕索斯的工作:假设正方形边长为1,并设其对角线长为L,按毕达哥拉斯定理可以得出L2=12+12=2,即L2=2,那么L是多少呢?显然L不是整数。依照毕达哥拉斯学派的宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比的观点可以推出,L只可能是某两个整数之比。希帕索斯日思夜想试图找到这两个整数之比,结果徒劳无功。最后他得出的结论是:这个正方形的对角线既不是整数也不是整数之比,而是他们之前从未接触过的新数。今天我们已经知道,L确实不是一个有理数,而是无理数2。2是人类历史上诞生的第一个无理数。它的诞生是人类对数认识的一次重大飞跃,被称为数学史上的伟大发现之一。面对这个小小的2,毕达哥拉斯陷入了深深的矛盾和不安之中。一方面,他想维护学派的教条,试图否定和拒绝接受它,但是希帕索斯的推理毫无破绽,完全是合理的结论;另一方面,如果赞同和接受它,则无异于挖开了学派信仰的根基,宣告学派的灭亡。因为这一发现对他来说是致命的,它将完全推翻他自己的数学与哲学信条。在这两难处境下,毕达哥拉斯决定在学派内封锁这一消息,不让它传到外界,以维护自己的数学和哲学信条。可是执着的希伯索斯还是把这个发现给泄露了出去。在当时人们看来,希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条,也冲击了当时希腊人的传统见解和常识。2的出现使当时希腊数学家们深感不安,相传希伯索斯因泄露了这一发现而被投入海中淹死。按库恩的范式理论,当某个科学理论在发展中偶尔出现一次反常时,科学家们不会马上放弃这个理论,而是试图通过各种方式化反常为正常。但是人们始终无法化解这个反常事例而且更多的反常事例陆续出现时,该科学理论就出现的生存的危机。希帕索斯的重大发现公之于世后,人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。后来,据柏拉图说,狄奥多鲁斯在大约公元前425年,指出面积等于3、5、6……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约,并对每一种情况都单独予以证明。随着时间的推移,无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。毕达哥拉斯的关于所有事物都能归结为整数或整数之比的信条就面临着重大的生存危机。对毕达哥拉斯学派的哲学和数学的另一个致命打击来自古希腊伊利亚(Elea)学派的代表人物芝诺(Zeno,ca.495-430.BC)。大约公元前450年,芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾,提出了关于时空的有限与无限的四个悖论。其中的一个悖论常被称为“阿基里斯追龟”。阿基里斯(Achilles)是希腊神话中的神行太保,跑得非常快,但是芝诺论证说阿基里斯如果和乌龟赛跑,他将永远也追不上乌龟。他设想,如果假定在起跑之前乌龟先于阿基里斯一段距离,那么当阿基里斯到达乌龟的起跑点时,乌龟也爬过了一段距离;当阿基里斯又追完这段距离时,乌龟又向前跑了一段;如此反复以至无穷。虽然这一连串的距离越来越小,但它们的数目是无穷的,所以阿基里斯永远也追不上乌龟,从数学的推理来看,阿里基斯追不上乌龟的结论,似乎推论非常严谨,找不出什么破绽,这是一个数学悖论。显然这一结论与人们的常识相违背。芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。这4个悖论揭示了人们思想上的有关有限与无限、连续与离散等概念之间的矛盾,对希腊数学思想产生了很大的影响,对时间和空间无限可分而运动是连续的观点构成了极大的挑战。它加深了希腊数学家对无限的恐惧,“无限”成为一种禁忌,被拒之于古希腊数学门外。无限被称之为万恶之首。芝诺悖论的提出说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾,但毕达哥拉斯学派的数学理论无法解决这些矛盾。无理数的发现连同芝诺悖论,引起了第一次数学危机。首先,对于建立在整数概念基础上的毕达哥拉斯学派的哲学信念,这是一次致命的打击:世界上竟然有不能用整数来表示的数存在!其次,这些发现与希腊人的常识相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的,因为与直观相反,存在不可通约的线段,即没有公共的量度单位的线段。第一次数学危机实质上是数学中的悖论带来的混乱。所谓悖论,是相对某一个理论体系而言的。构成这个理论体系的公理系统和这个公理体系中的推理规则看上去是合理的,但是在其中却可推出两个相互矛盾的命题。在各个学科中,在日常生活中,存在着许许多多的悖论。而真正对一个学科中的主流理论造成冲击的,是与悖论如影随行的另一个概念——“无限”。如前所述,毕达哥拉斯认为一切数都可表示为两整数之比。但是似数非数的2重重击中了这一观念的要害。对于毕达哥拉斯学派来说,2既是数又不是数。说它是数,是因为它是单位正方形对角线的长,毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”;说它不是数,因为它既不是整数,也不能用两整数之比来表示。这个似数非数的的“怪物”的出现,给哥达毕拉斯学派带来了无尽的烦恼。结果,这一“怪物”的发现者被同伴们抛到河里淹死。当然,现在我们都知道,2是数学史上发现的第一个无理数,无理数的本质就是无限不循环小数,人类在此第一次感受到了不经意间把数学空间由“有限”置换为“无限”而导致的逻辑矛盾带来的困惑。同样的道理,芝诺的“阿基里斯永远也追不上乌龟”和“飞矢不动”等悖论把有限的现实时空进行了无限的分割,这在微积分还没有发明的古希腊是无论如何也无法解释的,这就使得人类又一次感受到了“无限”引出的悖论带给人们的困惑。古希腊的数学家早已发现“无限”可以引来悖论,但当时的数学水平实在无法解决这些难题,所以他们在推理中都极力避免使用“无限”概念。然而,该来的总归会来,这些悖论的出现,导致了数学史上第一次重大的危机。三、欧多克索斯对比例的定义从现代人的角度来分析,当毕达哥拉斯学派面临这一重大危机时,他们有两个方案可供选择。一是接受无理数为数,扩大数的概念的内涵,以解决几何学中所出现的难题;一是坚守毕达哥拉斯学派的信仰,拒绝承认“无理数”为数,但接受不可公度线段为实际的存在。第一个方案一方面会彻底瓦解毕达哥拉斯学派的哲学和数学信仰,而且还必须直接面对“无穷步骤”建构实数系,无论是理论上还是实践上都很难实现。于是他们选择了第二个方案。对于第二个方案作出贡献最大的是欧多克索斯(Eudoxus,约公元前400—前347)。欧多克索斯是柏拉图(Plato,427-347.BC)的学生,他的主要贡献在于两个方面:一是发展了比例理论,通过给出比例即两个比相等的定义从而巧妙地缓解了毕达哥拉斯体系的问题。二是发展并完善了穷竭法,使这一方法获得了精确的严格性。欧多克索斯通过对比例理论的完善来解决数学危机,他认为量是与数不同的概念,因为量是线段、角、面积、体积、时间等等这样一些连续变动的东西,几何学就是研究量的;而数则是离散的,是从一个跳到一个。欧多克索斯的比例理论是建立在几何量的基础上的,因而回避了把无理数是作为数来处理。在此,欧多克斯显然深知无理数的困难,因此他把所有的量从几何角度而不是从算术角度加以考虑,通过建立起比例理论而把可处理的问题由可公度量推广到了不可公度量。欧多克索斯关于比例的理论无疑给不可公度量提供了逻辑基础。他对比例所给出的定义与所涉及的量是可公度的还是不可公度的完全无关。他的比例的定义如下:假定有两对相同类别的几何量:a、b、c、d,任它们与意的自然数m、n之间如果满足以下关系:如果ma>nb,那么mc>nd;如果ma=nb,那么mc=nd;如果ma<nb,那么mc<nd,那么我们最后可以得出一个结论:a/b=c/d。可以看出,在这个定义中并没有必要区分可公度量和不可公度量,当2和1都被看作是同一类的量(比如长度,面积等等)时,它们之间在比例的运算中就没有什么区别了。很显然,只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制,所谓的数学危机也就不复存在了。欧多克斯通过对比例的重新定义使得第一次数学危机得到了缓解。第一次数学危机的发生及其解决在数学和哲学的发展史上都产生了非常重大的影响。首先,第一次数学危机刺激了数学和逻辑学的发展。第一次数学危机后出版两本影响至今的经典著作:一是关于数学的第一本经典著作——欧几里德的《几何原本》;二是关于逻辑学问题的第一本经典著作——亚里士多德的《工具论》。这两本经典著作标志着公理几何学和逻辑学的诞生,成为世界数学发展史上具有重大意义的事件,标志着数学公理体系的形成。欧几里德的《几何原本》,是数学公理理论的典范,是第一次数学危机的直接产物。无理数的诞生,是人类历史上具有革命性的历史事件,它表明,毕达哥拉斯学派的数本原论是值得怀疑的,宇宙万物并不能归结为整数或整数之比。因为几何学中的某些真理与算术里的某些原则没有联系,几何量并不能如毕达哥拉斯学派所主张的那样可以全部归约为整数或者整数之比,恰恰相反,所有的整数或者整数比全部可以由几何量来表示。整数不再神秘,它在数学中仅次于上帝的权威地位受到了威胁,几何学则日益受到人们的重视。在第一次数学危机之前,人们所谓的数学,其实都是一种“算术”或者“算学”,都是从实际出发而后又应用到实践问题中去的实用的算法。比如泰勒斯在预测日食时,他利用影子距离计算金字塔的高度,这是属于计算范围的。这些算法往往都是建立在直觉和经验之上的,也是与人们的常识相符合的。危机的出现表明,建立在直觉和经验基础上的看起来毫无疑问的算学并不是绝对无误的信条,而是必须经受严格的理性思维的推理才能为人所接受。从此希腊人开始重视演绎推理,走上了与毕达哥拉斯学派完全不同的道路。他们由“自明的”公理出发,经过演绎推理建立几何学体系。这是数学思想史上一次大革命,也是第一次数学危机的自然产物。可见,无理数的出现,虽然给古希腊数学带来了麻烦,但同时也带来了新生。因为它解除了数学家们思想禁锢,无理数就像催化剂一样,加快了古希腊理论数学的建设。数学家们清楚地认识到,直观和经验是带来我们的不一定是真理,它有时给以错觉和假象.数学的真理必须通过严密的逻辑证明,而证明又要以公理为依据,这就倡导了古希腊几何学的公理化方向。危机缓解之后形成欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系,为人们提供了使知识条理化和严密化的强有力手段,为世界数学做出了杰出的贡献。具有严格的公理化体系和逻辑体系是西方文化传统与中华文化传统相区别的一个重要特征。应该指出,欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识,构成一个标准化的演绎体系,这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到l9世纪。但是,自此以后希腊人认为几何较之算术占着更重要的地位,把几何看成了全部数学的基础,把算学的研究隶属于形的研究,割裂了它们之间的密切关系。这对数学的发展产生了不利的影响,因为希腊人几乎是放弃了对无理数本身的研究,使算术和代数的发展受到很大的限制,基本理论十分薄弱,而数缺少形就少了直觉,形缺少数也难入微。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。另一方面,“整数与整数比”这个的直觉经验的论断遇到了危机,由此引出了推理证明的逻辑思想。第一次数学危机的出现使得希腊人认识到直觉、经验都不是绝对可靠的,推理论明才是可靠的,因而希腊人此后更加重视逻辑,并在亚里士多德手中完成了古典逻辑学。在雅典时期,柏拉图率先明确地提出了数学演绎化的思想,亚里士多德对定义作了更精密的讨论,同时也深入研究了作为数学推理的出发点的基本原理,并将它们区分为公理和公设。亚里士多德将前人使用的数学推理规律规范化和系统化,从而创立了独立的逻辑学。亚里士多德的形式逻辑被后人奉为演绎推理的圣经。为演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础。在此基础上,希腊数学家们从基本定义出发,经过精心选择的少数几条明显的公理和公设,借助于逻辑方法,把数学上各种零碎的、片断的成果组织成一个比较严密的知识体系,揭示出它们之间的深层关系,并进而得到许多新的结果,形成了演绎数学。第一次数学危机的发现与消除,标志着希腊数学发展到一个新的阶段。它是数学由经验科学上升到演绎科学的一个标志。第一次数学危机对古希腊哲学的发展也有着深刻的影响。危机彻底动摇了毕达哥拉斯的数本原说的基础,并且使得哲学由对经验和直觉的迷信转向对理性的崇尚。四、第一次数学危机对希腊数学的影响矛盾无处不有,数学虽是