排列组合题型总结与易错点提示

.实用文档.例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最根本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,那么不同的选法有192种例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.练习题：１.方案展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种例10.有10个运发动名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差异，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。将n个相同的元素分成m份〔n，m为正整数〕,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为将n个相同的元素分成m份〔n，m为正整数〕,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为练习题：10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？2.求这个方程组的自然数解的组数例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有有些排列组合问题,正面直接考虑比拟复杂,而它的反面往往比拟简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.有些排列组合问题,正面直接考虑比拟复杂,而它的反面往往比拟简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，假设第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),那么中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)防止重复计数。练习题：1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？〔〕名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法〔1540〕3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，那么不同的安排方案种数为______〔〕十三.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有种。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，假设这4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法共有342.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.〔27〕此题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题：某排共有10个座位，假设4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？〔120〕例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，那么4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种3号盒4号盒5号盒对于条件比拟复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果对于条件比拟复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，那么四张贺年卡不同的分配方式有多少种？十六.分解与合成策略例16.30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5×7×11×13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取假设干个组成乘积，所有的偶因数为：练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最根本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比拟复杂的问题都要用到这种解题策略分解与合成策略是排列组合问题的一种最根本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比拟复杂的问题都要用到这种解题策略十七.数字排序问题查字典策略例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？解:数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是3140十八.树图策略例19．人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,那么不同的传球方式有______对于条件比拟复杂的排列组合问题，不易用

公式进行运算，树图会收到意想不到的结果对于条件比拟复杂的排列组合问题，不易用

公式进行运算，树图会收到意想不到的结果练习:分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中号人不坐号椅〔〕的不同坐法有多少种？十九.复杂分类问题表格策略例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,那么共有多少种不同的取法红1红111223黄123121兰321211取法一些复杂的分类选取题,要满足的条件比拟多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,那么分类明确,能保证题中须满足的条件,能到达好的效果.一些复杂的分类选取题,要满足的条件比拟多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,那么分类明确,能保证题中须满足的条件,能到达好的效果. 二十：住店法策略解决“允许重复排列问题〞要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客〞，能重复的元素看作“店〞，再利用乘法原理直接求解.例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店〞，五项冠军看作5名“客〞，每个“客〞有7种住宿法，由乘法原理得7种.排列组合易错题正误解析1没有理解两个根本原理出错排列组合问题基于两个根本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘〞是解决排列组合问题的前提.例1从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,那么不同的取法有种.例2在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有〔〕种.〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕2判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？3重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意防止重复计数，产生错误。例45本不同的书全局部给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为〔〕〔A〕480

种

〔B〕240种

〔C〕120种

〔D〕96种例5某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有〔〕种.〔A〕5040

〔B〕1260

〔C〕210

〔D〕6304遗漏计算出错在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。例6用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有〔〕〔A〕36个

〔B〕48个

〔C〕66个

〔D〕72个5无视题设条件出错在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.13213254种颜色可供选择，那么不同的着色方法共有种.〔以数字作答〕6未考虑特殊情况出错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.例9现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是〔〕(B)1023种 (C)1536种 (D)1535种7题意的理解偏差出错例10现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有〔〕种.〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕8解题策略的选择不当出错例10高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，那么不同的分配方案有〔〕.〔A〕16种〔B〕18种〔C〕37种〔D〕48种排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，那么不同的乘车方法数为()A．40 B．50C．60 D．702．有6个座位连成一排，现有3人就坐，那么恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种 B．48种C．72种 D．96种3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个 B．9个C．18个 D．36个4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有()A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，假设规定从二楼到三楼用8步走完，那么方法有()A．45种 B．36种C．28种 D．25种6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，那么不同的分配方案共有()A．24种 B．36种C．38种 D．108种7．集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么确定的不同点的个数为()A．33 B．34C．35 D．369．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种 B．60种C．120种 D．210种10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆效劳，不同的分配方案有________种(用数字作答)．13．要在如下图的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．14.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．假设每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，那么不同的方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕36种〔D〕54种15.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，假设7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种16.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是〔A〕72〔B〕96〔C〕108〔D〕14417.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列〔数字允许重复〕表示一个信息，不同排列表示不同信息，假设所用数字只有0和1，那么与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.1218.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者效劳活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，那么不同安排方案的种数是A．152B.126C.9019.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。假设从甲、乙两组中各选出2名同学，那么选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()〔A〕150种〔B〕180种〔C〕300种(D)345种20.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，那么不同分法的种数为22.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，那么甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位A85B56C49D2824.12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组〔每组4个队〕，那么3个强队恰好被分在同一组的概率为〔〕A． B． C． D．25.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，假设每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站