导数与函数的含参问题

导数与函数的含参问题已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.解:（1）当所以因此,即曲线又所以曲线（2）因为,所以,令(I)当时，所以当时，>0，此时，函数单调递减；当时，<0，此时，函数单调递增.(II)当时，由，即，解得.①当时，，恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;②当时，，时，,此时,函数单调递减时，<0,此时,函数单调递增时，，此时，函数单调递减③当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，<0,此时,函数单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增当时,函数在上单调递减当时，函数在上单调递减；函数在上单调递增；函数在上单调递减.分析:本题分类时要注意a=0的特殊情况;当g(x)是二次函数时,可以尝试十字相乘法进行因式分解,若可以说明有根,直接比较根的大小即可,若不可以则要计算,从有没有根的角度进行分类.例2.设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．解：（1）由当令所以，当上存在单调递增区间（2）令所以上单调递减，在上单调递增当在[1，4]上的最大值为又所以在[1，4]上的最小值为得，从而在[1，4]上的最大值为分析:本题虽有参数,但是不需要分类,根据参数所在范围可知极值点,但因为定义域的限制,要判断极值点有没有在定义域内,没有的要舍去,本题是舍去了.,(1)当时,求曲线在处的切线的方程;(2)求的极值.解:（Ⅱ）由可知：①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；②当时，由，解得；时，，时，在处取得极小值，且极小值为，无极大值．综上：当时，函数无极值当时，函数在处取得极小值，无极大值．分析:本题分类讨论时也注意结合定义域,学生易漏掉的特殊情况,在这种情况下导数符号直接确定是不需要列表的;另外,只有在时,的极值点才会存在,所以不能一开始就求极值点.例4.2010江西理数）19.（本小题满分12分）设函数。（1）当a=1时，求的单调区间。（2）若在上的最大值为求a的值。解：对函数求导得：，定义域为（0，2）当a=1时，令当为增区间；当为减函数。(2)当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。。分析:区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。例5.2013·新课标I理）（21）（本小题满分共12分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2（Ⅰ）求a，b，c，d的值（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围。解:（1）因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，所以b=d=2；因为，故；，故，故；所以，；（2）令，则，由题设可得，故，令得，（1）若即，则，从而当时，，当时，即在上最小值为，此时f(x)≤kg(x)恒成立；（2）若即，，故在上单调递增，因为所以f(x)≤kg(x)恒成立（3）若即，则，故f(x)≤kg(x)不恒成立；综上所述k的取值范围为.分析:（2）构造函数“”，转化为恒成立问题,本题用分离变量法做法太复杂,不妨直接求,只要>0即可.在求时,有一个极值点不确定,需讨论与区间端点-2的关系,从而找到正确答案.注意:由5个例题可知,(1)不是所有含参的问题都需要分类讨论,要善于根据给出的参数范围,定义域确定导数符号,尽量避开分类讨论;(2)讨论函数的单调区间、极值、最值，都要注意结合定义域，都是通过讨论函数的单调性来求极值、最值的，思路方法一致。导数与函数的含参问题――最值与恒成立问题二．典例分析例2.已知函数（1）求的单调区间；（2）求在区间[0，1]上的最小值例3.（2011北京，18，13）已知函数求的单调区间；（2）若对于任意的，求k的取值范围。变式训练：1.已知是实数，函数。（Ⅰ）若，求的值及曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最大值。2.已知，其中是自然常数，（Ⅰ）讨论时,的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;3.已知函数曲线过点P(1,0),且在P点处的切线斜率为2,求(1)求的值;(2)证明:4.（2012安徵）设函数（1）求在的最小值；（2）设曲线在点处的切线方程为，求【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】设函数(其中).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间；(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.，，其中为实数.（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.导数与函数的含参问题――已知单调性求参数例3.（2011北京，18，13）已知函数求的单调区间；（2）若对于任意的，求k的取值范围。变式训练1.(2010年北京理18)(本小题共13分)已知函数()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。2.已知，其中是自然常数，（Ⅰ）讨论时,的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;例1.解（1）当所以因此,即曲线又所以曲线（2）因为,所以,令当时，所以当时，>0，此时，函数单调递减；当时，<0，此时，函数单调递增.当时，由，即，解得.①当时，，恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;②当时，，时，,此时,函数单调递减时，<0,此时,函数单调递增时，，此时，函数单调递减③当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，<0,此时,函数单调递增.综上所述：当