泛函分析课程结业论文-Banach不动点定理的推广及其应用

Banach不动点定理的推广及其应用摘要：本文介绍了Banach不动点定定理（即压缩映像原理）的几种推广形式，并由两个例子讨论了不动点定理在微分方程及数学分析中的应用。引言泛函分析作为一门二十世纪初发展起来的学科，以其高度的统一性和广泛的应用性得到了广泛关注和应用。而不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析的重要组成部分。泛函分析，特别是非线性泛函分析，在数值计算，非线性问题的求解，微分积分方程等问题的理论研究方面贡献了重要的力量，为计算数学提供了有力的工具，并带来了深远性的变革。不动点问题的的研究，从二十世纪二十年代开始，由波兰数学家巴拿赫（Banach）于1922年提出的压缩映射原理而发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理，该定理有着非常广泛的应用，如线性微分方程，积分方程，代数方程等解的存在唯一性方面的问题均可归结到此定理的推论问题。本文介绍了Banach不动点定理的几种推广形式，并讨论其在几个方面的应用。关键词：不动点定理推广应用1Banach不动点定理及其推广定义1设X是一个非空的集合，X叫做距离空间，是指在X上定义了一个双变量的实值函数，满足下面三个条件：再将定理2推广到无穷维空间，便得到将定理1与定理3结合起来就可以得到 这个定理对于处理带有扰动的算子方程是非常有用的，例如，可将G视为扰动算子，研究方程T(x)=x-G(x)的解.2不动点定理的应用问题2.1Banach不动点定理在微分方程中的应用考虑如下微分方程：在证明微分方程初值问题解得存在唯一性的时候，大部分的文献采用的是采用逐步逼近的近似解的序列加以证明的.用逐次迭代法构造Picard序列其中，用归纳法证明了Picard序列在I上是连续的，又因为极限函数在区间I上是连续的，然后利用的连续性和Picard序列的一致收敛性得到了在I上是积分方程的解，这种方法有其直观实用的优点，但步骤复杂.下面采用压缩映像原理给出对于此问题的简洁证明。定理2.1（存在唯一性定理）对于式（2.2.1）所示的初值问题如果在开区域中满足下列条件：f在G内连续，简记为,f关于x满足局部Lipschitz条件，即对于点和依赖于点的常数,使得有不等式成立，其中表示欧氏范数.则问题（2.1.1）在区间上存在唯一解.其中证容易看出，在区间上初值问题（2.1.1）等价于积分方程的求解问题.取Banach空间B为定义在区间上的一切连续函数所构成的空间.D为定义在区间上且图像包含在中的一切连续函数所构成的集合.现定义在连续函数空间上的映射因为所以映射（2.1.5）把集合D映到它本身。要证明积分方程（2.1.4）存在唯一解，也就是证明映射（2.1.5）存在唯一的不动点：.下面利用Banach空间的压缩映射原理来证明。设，由方程（2.1.4）得上式右端积分号内为欧氏范数.由Lipschitz条件（2.1.2）知由式（2.1.3）可见，因此，由式（2.1.5）所定义的映射T是一压缩映射.据压缩映射原理知其存在唯一不动点.例：不动点定理的应用（证明解的存在唯一性）对于积分方程其中为一给定的函数，为常数，.求证：存在唯一解.证：对于上式两边同乘以，得到：令设，则又因为为常数，.由压