高等数学教案

高等数学教案第1次课学科高等数学（一）课题函数周次5时数2授课班级114重要教学内容：1、集合与区间2、函数概念3、函数的几个特性4、反函数5、复合函数·初等函数教学目的和规定：1、理解函数的概念，掌握函数的表达办法，并会建立简朴应用问题中的函数关系式。2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。3、理解持续函数的性质和初等函数的持续性，理解闭区间上持续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：函数的概念函数的特性复合函数教学难点：1、函数的概念2、函数的特性教学办法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用品与多媒体教学内容及教学过程教学过程§1函数集合与区间1.集合概念集合(简称集):集合是指含有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表达.元素:构成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表达为aM.集合的表达:列举法:把集合的全体元素一一列举出来.例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法:若集合M是由元素含有某种性质P的元素x的全体所构成,则M可表达为A{a1,a2,,an},M{x|x含有性质P}.例如M{(x,y)|x,y为实数,x2y21}.几个数集:N表达全部自然数构成的集合,称为自然数集.N{0,1,2,,n,}.N{1,2,,n,}.R表达全部实数构成的集合,称为实数集.Z表达全部整数构成的集合,称为整数集.Z{,n,,2,1,0,1,2,,n,}.Q表达全部有理数构成的集合,称为有理数集.子集:若xA,则必有xB,则称A是B的子集,记为AB(读作A包含于B)或BA.如果集合A与集合B互为子集,AB且BA,则称集合A与集合B相等,记作AB.若AB且AB,则称A是B的真子集,记作AB.例如,NZQR.不含任何元素的集合称为空集,记作.规定空集是任何集合的子集.2.集合的运算设A、B是两个集合,由全部属于A或者属于B的元素构成的集合称为A与B的并集(简称并),记作AB,即AB{x|xA或xB}.设A、B是两个集合,由全部既属于A又属于B的元素构成的集合称为A与B的交集(简称交),记作AB,即AB{x|xA且xB}.设A、B是两个集合,由全部属于A而不属于B的元素构成的集合称为A与B的差集(简称差),记作A\B,即A\B{x|xA且xB}.如果我们研究某个问题限定在一种大的集合I中进行,所研究的其它集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集,记作AC.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合,则(1)交换律ABBA,ABBA;(2)结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分派律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)对偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.(AB)CACBC的证明:x(AB)CxABxA且xBxAC且xBCxACBC,因此(AB)CACBC.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一种元素x,在集合B中任意取一种元素y,构成一种有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素,它们全体构成的集合称为集合A与集合B的直积,记为AB,即AB{(x,y)|xA且yB}.例如,RR{(x,y)|xR且yR}即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.3.区间和邻域有限区间:设a<b,称数集{x|a<x<b}为开区间,记为(a,b),即(a,b){x|a<x<b}.类似地有[a,b]{x|axb}称为闭区间,[a,b){x|ax<b}、(a,b]{x|a<xb}称为半开区间.其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点,ba称为区间的长度.无限区间:[a,){x|ax},(,b]{x|x<b},(,){x||x|<}.区间在数轴上的表达:邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).设是一正数,则称开区间(a,a)为点a的邻域,记作U(a,),即U(a,){x|a<x<a}{x||xa|<}.其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径.去心邻域(a,):(a,){x|0<|xa|<}函数概念1.函数概念定义设数集DR,则称映射f:DR为定义在D上的函数,普通简记为yf(x),xD,其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即DfD.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的,前者表达自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表达与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上惯用记号“f(x),xD”或“y=f(x),xD”来表达定义在D上的函数,这时应理解为由它所拟定的函数f.函数符号:函数yf(x)中表达对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“F”,“”等.此时函数就记作y(x),yF(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相似,对应法则也相似,那么这两个函数就是相似的,否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域普通按下列两种情形来拟定:一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义拟定.求定义域举例:求函数的定义域.要使函数故意义,必须x0,且x240.解不等式得|x|2.因此函数的定义域为D{x||x|2},或D(,2][2,]).单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一种对应法则,按这个法则,对每个xD,总有拟定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则拟定了一种多值函数.例如,设变量x和y之间的对应法则由方程x2y2r2给出.显然,对每个x[r,r]，由方程x2y2r2,可拟定出对应的y值,当xr或xr时,对应y0一种值;当x取(r,r)内任一种值时,对应的y有两个值.因此这方程拟定了一种多值函数.对于多值函数,往往只要附加某些条件,就能够将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程x2y2r2给出的对应法则中,附加“y0”的条件,即以“x2y2r2且y0”作为对应法则,就可得到一种单值分支;附加“y0”的条件,即以“x2y2r2且y0”作为对应法则,就可得到另一种单值分支.表达函数的重要办法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表达函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集{P(x,y)|yf(x),xD}称为函数yf(x),xD的图形.图中的Rf表达函数yf(x)的值域.函数的例子:例.函数.称为绝对值函数.其定义域为D(,),值域为Rf[0,).例.函数.称为符号函数.其定义域为D(,),值域为Rf{1,0,1}.例设x为任上实数.不超出x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].函数y[x]称为取整函数.其定义域为D(,),值域为RfZ.,,[]3,[1]1,[3.5]4.分段函数:在自变量的不同变化范畴中,对应法则用不同式子来表达的函数称为分段函数.例。函数.这是一种分段函数,其定义域为D[0,1](0,)[0,).当0x1时,;当x>1时,y1x.例如;;f(3)134.函数的几个特性(1)函数的有界性设函数f(x)的定义域为D,数集XD.如果存在数K1,使对任一xX,有f(x)K1,则称函数f(x)在X上有上界,而称K1为函数f(x)在X上的一种上界.图形特点是yf(x)的图形在直线yK1的下方.如果存在数K2,使对任一xX,有f(x)K2,则称函数f(x)在X上有下界,而称K2为函数f(x)在X上的一种下界.图形特点是,函数yf(x)的图形在直线yK2的上方.如果存在正数M,使对任一xX,有|f(x)|M,则称函数f(x)在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.图形特点是,函数yf(x)的图形在直线yM和yM的之间.函数f(x)无界,就是说对任何M,总存在x1X,使|f(x)|>M.例如(1)f(x)sinx在(,)上是有界的:|sinx|1.(2)函数在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界,无上界.这是由于,对于任一M>1,总有x1:,使,因此函数无上界.函数在(1,2)内是有界的.(2)函数的单调性设函数yf(x)的定义域为D,区间ID.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时,恒有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例:函数yx2在区间(,0]上是单调增加的,在区间[0,)上是单调减少的,在（,）上不是单调的.(3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D有关原点对称(即若xD,则xD).如果对于任一xD,有f(x)f(x),则称f(x)为偶函数.如果对于任一xD,有f(x)f(x),则称f(x)为奇函数.偶函数的图形有关y轴对称,奇函数的图形有关原点对称,奇偶函数举例:yx2,ycosx都是偶函数.yx3,ysinx都是奇函数,ysinxcosx是非奇非偶函数.(4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一种正数l,使得对于任一xD有(xl)D,且f(xl)f(x)则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点:在函数的定义域内,每个长度为l的区间上,函数的图形有相似的形状.反函数定义:设函数f:Df(D)是单射,则它存在逆映射f1:f(D)D,称此映射f1为函数f的反函数.按此定义,对每个yf(D),有唯一的xD,使得f(x)y,于是有f1(y)x.这就是说,反函数f1的对应法则是完全由函数f的对应法则所拟定的.普通地,yf(x),xD的反函数记成yf1(x),xf(D).若f是定义在D上的单调函数,则f:Df(D)是单射,于是f的反函数f1必然存在,并且容易证明f1也是f(D)上的单调函数.相对于反函数yf1(x)来说,原来的函数yf(x)称为直接函数.把函数yf(x)和它的反函数yf1(x)的图形画在同一坐标平面上,这两个图形有关直线yx是对称的.这是由于如果P(a,b)是yf(x)图形上的点,则有bf(a).按反函数的定义,有af1(b),故Q(b,a)是yf1(x)图形上的点;反之,若Q(b,a)是yf1(x)图形上的点,则P(a,b)是yf(x)图形上的点.而P(a,b)与Q(b,a)是有关直线yx对称的.复合函数·初等函数1.复合函数:复合函数是复合映射的一种特例,按照普通函数的记号,复合函数的概念能够下表述.设函数yf(u)的定义域为D1,函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1,则由下式拟定的函数yf[g(x)],xD称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f构成的复合函数普通记为,即()f[g(x)].与复合映射同样,g与f构成的复合函数的条件是:是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域Df内,即g(D)Df.否则,不能构成复合函数.例如,yf(u)arcsinu,的定义域为[1,1],在上有定义,且g(D)[1,1],则g与f可构成复合函数,xD;但函数yarcsinu和函数u2x2不能构成复合函数,这是由于对任xR,u2x2均不在yarcsinu的定义域[1,1]内.多个函数的复合:2.基本初等函数:幂函数:yx(R是常数);指数函数:yax(a0且a1);对数函数:ylogax(a0且a1,特别当ae时,记为ylnx);三角函数:ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx;反三角函数:yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx.课后作业（是指根据教学目的及规定布置一定量的思考题和习题等。）第18页第15题课后小结（课后小结是教案执行状况的经验总结，目的在于改善和调节教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全方面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的办法等方面的内容进行撰写。）注：从第二页开始以学时或单元为单位编制，每节课或每个单元都要有教案。第2次课学科高等数学（一）课题函数的极限周次5时数2授课班级114重要教学内容：自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于无穷大时的函数的极限教学目的和规定：1、会计算自变量趋于有限值时和自变量趋于无穷大时函数的极限。教学重点：极限的概念、极限的性质及四则运算法则。教学难点：极限的概念教学办法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用品与多媒体教学内容及教学过程教学过程§3函数的极限一、函数的极限1．自变量趋于有限值时函数的极限定义如果当x无限靠近于xo函数f(x)的值无限靠近于常数A则称当x趋于x0时f(x)以A为极限记作f(x)A或f(x)A(当x)定义的简朴表述00当0|xx0|时|f(x)A|2.单侧极限若当xx0时f(x)无限靠近于某常数A则常数A叫做函数f(x)当xx0时的左极限记为或f()=Ayyx111yx1x若当xx0时f(x)无限靠近于某常数A则常数A叫做函数f(x)当xyyx111yx1x3．自变量趋于无穷大时函数的极限设f(x)当|x|不不大于某一正数时有定义如果存在常数A对于任意给定的正数总存在着正数X使得当x满足不等式|x|>X时对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)A|<则常数A叫做函数f(x)当x时的极限记为或f(x)A(x)0X0当|x|X时有|f(x)A|类似地可定义和结论且课后作业（是指根据教学目的及规定布置一定量的思考题和习题等。）第36页第2、5题课后小结（课后小结是教案执行状况的经验总结，目的在于改善和调节教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全方面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的办法等方面的内容进行撰写。）第3次课学科高等数学（一）课题无穷大与无穷小周次7时数2授课班级114重要教学内容：无穷大无穷小教学目的和规定：理解无穷小、无穷大的概念教学重点：无穷小及无穷小的比较。教学难点：无穷大与无穷小教学办法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用品与多媒体教学内容及教学过程教学过程§4无穷大与无穷小无穷大与无穷小1.无穷小定义：如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小特别地以零为极限的数列{xn}称为n时的无穷小例如由于因此函数为当x时的无穷小由于因此函数为x1当x1时的无穷小由于因此数列{}为当n时的无穷小讨论很小很小的数与否是无穷小？0与否为无穷小？提示无穷小是这样的函数在xx0(或x)的过程中极限为零很小很小的数只要它不是零作为常数函数在自变量的任何变化过程中其极限就是这个常数本身不会为零无穷小与函数极限的关系定理1在自变量的同一变化过程xx0(或x)中函数f(x)含有极限A的充足必要条件是f(x)A其中是无穷小证明设00使当0|xx0|时有|f(x)A|令f(x)A则是xx0时的无穷小且f(x)A这就证明了f(x)等于它的极限A与一种无穷小之和反之设f(x)A其中A是常数是xx0时的无穷小于是|f(x)A|||因是xx0时的无穷小00使当0|xx0|有||或|f(x)A|这就证明了A是f(x)当xx0时的极限简要证明令f(x)A则|f(x)A|||如果00使当0|xx0|有f(x)A|就有||反之如果00使当0|xx0|有||就有f(x)A|这就证明了如果A是f(x)当xx0时的极限则是xx0时的无穷小如果是xx0时的无穷小则A是f(x)当xx0时的极限类似地可证明x时的情形例如由于而因此定理2有限个无穷小的和也是无穷小定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小2.无穷大定义：如果当xx0(或x)时对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大就称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷大记为(或)应注意的问题当xx0(或x)时为无穷大的函数f(x)按函数极限定义来说极限是不存在的但为了便于叙述函数的这一性态我们也说“函数的极限是无穷大”并记作(或)定理2(无穷大与无穷小之间的关系)：在自变量的同一变化过程中如果f(x)为无穷大则为无穷小反之如果f(x)为无穷小且f(x)0则为无穷大简要证明如果且f(x)0那么对于0当0|x|时有由于当0|x|时f(x)0从而所觉得xx0时的无穷大如果那么对于0当0|x|时有即所觉得xx时的无穷小简要证明如果f(x)0(xx0)且f(x)0则00当0|xx0|时有|f(x)|即因此f(x)(xx0)如果f(x)(xx0)则M00当0|xx0|时有|f(x)|M即因此f(x)0(xx0)课后作业（是指根据教学目的及规定布置一定量的思考题和习题等。）第43页第2题课后小结（课后小结是教案执行状况的经验总结，目的在于改善和调节教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全方面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的办法等方面的内容进行撰写。）第4次课学科高等数学（一）课题函数运算法则周次7时数2授课班级114重要教学内容：极限运算法则教学目的和规定：掌握极限运算法则。教学重点：极限运算法则教学难点：两个重要极限教学办法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用品与多媒体教学内容及教学过程教学过程§5极限运算法则一、极限运算法则定理1如果limf(x)Alimg(x)B那么(1)lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB(2)limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB(3)(B0)证明(1)由于limf(x)Alimg(x)B根据极限与无穷小的关系有f(x)Ag(x)B其中及为无穷小于是f(x)g(x)(A)(B)(AB)()即f(x)g(x)可表达为常数(AB)与无穷小()之和因此lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB定理2如果(x)(x)而lim(x)alim(x)b那么ab推论1如果limf(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]climf(x)推论2如果limf(x)存在而n是正整数则lim[f(x)]n[limf(x)]n例3求解例4求解根据无穷大与无穷小的关系得例5．求解先用x3去除分子及分母然后取极限例6．求解先用x3去除分子及分母然后取极限例7求解由于因此例8求解当x时分子及分母的极限都不存在故有关商的极限的运算法则不能应用由于是无穷小与有界函数的乘积因此课后作业（是指根据教学目的及规定布置一定量的思考题和习题等。）第50页第2题课后小结（课后小结是教案执行状况的经验总结，目的在于改善和调节教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全方面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的办法等方面的内容进行撰写。）第5次课学科高等数学（一）课题极限存在准则·两个重要极限周次8时数2授课班级114重要教学内容：夹逼准则单调有界收敛准则教学目的和规定：理解极限存在的两个准则，并会运用它们求极限，掌握运用两个重要极限求极限的办法。教学重点：两个重要极限教学难点：两个重要极限教学办法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用品与多媒体教学内容及教学过程教学过程§6极限存在准则·两个重要极限极限存在准则·两个重要极限1.夹逼准则准则I如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件(1)ynxnzn(n123)(2)那么数列{xn}的极限存在且证明由于以根据数列极限的定义0N10当nN1时有|yna|又N20当nN2时有|zna|现取Nmax{N1N2}则当nN时有|yna||zna|同时成立即aynaazna同时成立又因ynxnzn因此当nN时有aynxnzna即|xna|这就证明了简要证明由条件(2)0N0当nN时，有|yna|及|zna|即有aynaazna由条件(1)有aynxnzna即|xna|这就证明了准则I如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件OCADB1xOCADB1x(2)limg(x)Alimh(x)A那么limf(x)存在且limf(x)A第一重要极限：证明首先注意到函数对于一切x0都有定义参看附图图中的圆为单位圆BCOADAOA圆心角AOBx(0x)显然sinxCBxtanxAD由于SAOBS扇形AOBSAOD因此sinxxtanx即sinxxtanx不等号各边都除以sinx就有或注意此不等式当x0时也成立而根据准则I简要证明参看附图设圆心角AOBx()显然BCABAD因此sinxxtanx从而(此不等式当x0时也成立)OCADB1x由于根据准则IOCADB1x应注意的问题在极限中只要(x)是无穷小就有这是由于令u(x)则u0于是((x)0)2.单调有界收敛准则准则II单调有界数列必有极限如果数列{xn}满足条件x1x2x3xnxn1就称数列{xn}是单调增加的如果数列{xn}满足条件x1x2x3xnxn1就称数列{xn}是单调减少的单调增加和单调减少数列统称为单调数列如果数列{xn}满足条件xnxn1nN在第三节中曾证明收敛的数列一定有界但那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则II表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必然存在也就是这数列一定收敛准则II的几何解释单调增加数列的点只可能向右一种方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者状况发生根据准则II能够证明极限存在设现证明数列{xn}是单调有界的按牛顿二项公式有比较xnxn1的展开式能够看出除前两项外xn的每一项都不大于xn1的对应项并且xn1还多了最后一项其值不不大于0因此xnxn1这就是说数列{xn}是单调有界的这个数列同时还是有界的由于xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1替代得第二重要极限：根据准则II数列{xn}必有极限这个极限我们用e来表达即我们还能够证明e是个无理数它的值是e27045指数函数yex以及对数函数ylnx中的底e就是这个常数在极限中只要(x)是无穷小就有这是由于令则u于是((x)0)例3求解令tx则x时t于是或课后作业（是指根据教学目的及规定布置一定量的思考题和习题等。）第60页第1题课后小结（课后小结是教案执行状况的经验总结，目的在于改善和调节教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全方面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的办法等方面的内容进行撰写。）第6次课学科高等数学（一）课题无穷小的比较周次8时数2授课班级114重要教学内容：无穷小的比较教学目的和规定：掌握无穷小的比较办法，会用等价无穷小求极限。教学重点：用等价无穷小求极限教学难点：用等价无穷小求极限教学办法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用品与多媒体教学内容及教学过程教学过程§7无穷小的比较无穷小的比较1．定义：（1）如果，就说是比高阶的无穷小，记作；（2）如果，就说是比低阶的无穷小，（3）如果，就说是比同阶的无穷小，（4）如果，就说是有关的阶的无穷小，（5）如果，就说与是等价的无穷小，记作例1.证明：当时，定理1与是等价无穷小的充足必要条件为例2.由于当时，，，，，因此当时有，，，定理2设，，且存在，则例3求例4求例5求课后作业（是指根据教学目的及规定布置一定量的思考题和习题等。）第72页第2题课后小结（课后小结是教案执行状况的经验总结，目的在于改善和调节教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全方面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的办法等方面的内容进行撰写。）第7次课学科高等数学（一）课题函数的持续性周次9时数2授课班级114重要教学内容：函数持续性的概念函数的间断点初等函数的持续性教学目的和规定：理解函数持续性的概念（含左持续与右持续），会鉴别函数间断点的类型。理解持续函数的性质和初等函数的持续性。教学重点：持续函数的性质和初等函数的持续性教学难点：持续函数的性质和初等函数的持续性教学办法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用品与多媒体教学内容及教学过程教学过程§8函数的持续性函数的持续性1.变量的增量设变量u从它的一种初值u1变到终值u2终值与初值的差u2u1就叫做变量u的增量记作u即uu2u1设函数yf(x)在点x0的某一种邻域内是有定义的当自变量x在这邻域内从x0变到x0x时函数y对应地从f(x0)变到f(x0x)因此函数y的对应增量为yf(x0x)f(x0)2.函数持续的定义设函数yf(x)在点x0的某一种邻域内有定义如果当自变量的增量xxx0趋于零时对应的函数的增量yf(x0x)f(x0)也趋于零即或那么就称函数yf(x)在点x0处持续注①②设xx0+x则当x0时xx0因此函数持续的等价定义2设函数yf(x)在点x0的某一种邻域内有定义如果对于任意给定义的正数总存在着正数使得对于适合不等式|xx0|<的一切x对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)f(x0)|<那么就称函数yf(x)在点x0处持续3.左右持续性如果则称yf(x)在点处左持续如果则称yf(x)在点处右持续左右持续与持续的关系函数yf(x)在点x0处持续函数yf(x)在点x0处左持续且右持续函数在区间上的持续性在区间上每一点都持续的函数叫做在该区间上的持续函数或者说函数在该区间上持续如果区间涉及端点那么函数在右端点持续是指左持续在左端点持续是指右持续4.持续函数举例1如果f(x)是多项式函数则函数f(x)在区间()内是持续的这是由于f(x)在()内任意一点x0处有定义且2函数在区间[0)内是持续的3函数ysinx在区间()内是持续的证明设x为区间()内任意一点则有ysin(xx)sinx由于当x0时y是无穷小与有界函数的乘积因此这就证明了函数ysinx在区间()内任意一点x都是持续的．4函数ycosx在区间()内是持续的函数的间断点1.间断定义设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在以前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在x0没有定义(2)即使在x0有定义但f(x)不存在(3)即使在x0有定义且f(x)存在但f(x)f(x0)则函数f(x)在点x0为不持续而点x0称为函数f(x)的不持续点或间断点例1正切函数ytanx在处没有定义因此点是函数tanx的间断点由于故称为函数tanx的无穷间断点例2函数在点x0没有定义因此点x0是函数的间断点当x0时函数值在1与1之间变动无限多次因此点x0称为函数的振荡间断点例3函数在x1没有定义因此点x1是函数的间断点由于如果补充定义令x1时y2则所给函数在x1成为持续因此x1称为该函数的可去间断点例4设函数由于因此x1是函数f(x)的间断点如果变化函数f(x)在x1处的定义令f(1)1则函数f(x)在x1成为持续因此x1也称为该函数的可去间断点例5设函数由于因此极限不存在x0是函数f(x)的间断点因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象我们称x0为函数f(x)的跳跃间断点2.间断点的分类:普通把间断点分成两类如果x0是函数f(x)的间断点但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在那么x0称为函数f(x)的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点初等函数的持续性1.持续函数的和、积及商的持续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0持续则函数f(x)g(x)f(x)g(x)(当时)在点x0也持续f(x)g(x)持续性的证明由于f(x)和g(x)在点x0持续因此它们在点x0有定义从而f(x)g(x)在点x0也有定义再由持续性和极限运算法则有根据持续性的定义f(x)g(x)在点x0持续例1sinx和cosx都在区间()内持续故由定理3知tanx和cotx在它们的定义域内是持续的三角函数sinxcosxsecxcscxtanxcotx在其有定义的区间内都是持续的二、反函数与复合函数的持续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且持续那么它的反函数xf1(y)也在对应的区间Iy{y|yf(x)xIx}上单调增加(或单调减少)且持续证明（略）例2由于ysinx在区间上单调增加且持续因此它的反函数yarcsinx在区间[11]上也是单调增加且持续的同样yarccosx在区间[11]上也是单调减少且持续yarctanx在区间()内单调增加且持续yarccotx在区间()内单调减少且持续总之反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定义域内都是持续的定理3设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成若而函数yf(u)在持续则简要证明要证00当0|xx0|时有|f[g(x)]f(u0)|由于f(u)在持续因此00当|uu0|时有|f(u)f(u0)|又g(x)u0(xx0)因此对上述00当0|xx0|时有|g(x)u0|从而|f[g(x)]f(u0)|(2)定理的结论也可写成求复合函数f[g(x)]的极限时函数符号f与极限号能够交换次序表明在定理3的条件下如果作代换ug(x)那么求就转化为求这里把定理5中的xx0换成x可得类似的定理例3求解提示是由与复合而成的函数在点持续g(x0)定理4设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成U(x0)Dfog若函数ug(x)在点x0持续函数yf(u)在点u0g(x0)持续则复合函数yf[(x)]在点x0也持续证明由于(x)在点x0持续因此(x)(x0)u0又yf(u)在点uu0持续因此f[(x)]f(u0)f[(x0)]这就证明了复合函数f[(x)]在点x0持续例4讨论函数的持续性解函数是由ysinu及复合而成的sinu当<u<时是持续的当<x<0和0<x<时是持续的根据定理4函数在无限区间(0)和(0)内是持续的2、初等函数的持续性在基本初等函数中我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是持续的我们指出指数函数ax(a>0a1)对于一切实数x都有定义且在区间()内是单调的和持续的它的值域为(0)由定理4对数函数logax(a>0a1)作为指数函数ax的反函数在区间(0)内单调且持续幂函数yx的定义域随的值而异但无论为什么值在区间(0)内幂函数总是有定义的能够证明在区间(0)内幂函数是持续的事实上设x>0则yx因此幂函数x可看作是由yauulogax复合而成的由此根据定理6它在(0)内是持续的如果对于取多种不同值加以分别讨论能够证明幂函数在它的定义域内是持续的结论基本初等函数在它们的定义域内都是持续的最后根据初等函数的定义由基本初等函数的持续性以及本节有关定理可得下列重要结论一切初等函数在其定义区间内都是持续的所谓定义区间就是包含在定义域内的区间初等函数的持续性在求函数极限中的应用如果f(x)是初等函数且x0是f(x)的定义区间内的点则f(x)f(x0)例5求解初等函数f(x)在点是有定义的因此例6求解初等函数f(x)lnsinx在点是有定义的因此例7求解例8求解例9求解令ax1t则xloga(1t)x0时t0于是课后作业（是指根据教学目的及规定布置一定量的思考题和习题等。）课后小结（课后小结是教案执行状况的经验总结，目的在于改善和调节教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全方面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的办法等方面的内容进行撰写。）第8次课学科高等数学（一）课题导数概念周次10时数2授课班级114重要教学内容：导数的定义求倒数举例导数的几何意义函数的可导性与持续性之间的关系教学目的和规定：1.

理解导数概念的实际背景，能描述导数的概念掌握体现形式，会用导数（变化率）描述简朴的实际问题；

2.

理解导数的几何意义，会用导数求曲线的切线和法线方程；

3.

理解可导与持续的关系。教学重点：1.

导数的概念；

2.

导数的几何意义；

3.

函数可导与持续的关系。教学难点：1.

导数的概念；

2.

函数可导与持续的关系。教学办法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用品与多媒体教学内容及教学过程教学过程§1导数概念导数概念引例直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为ss是t的函数S=f(t)求动点在时刻t0的速度考虑比值这个比值可认为是动点在时间间隔t=t0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来阐明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令t=t00取比值的极限如果这个极限存在设为v即这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度2．切线问题设有曲线C及C上的一点M在点M外另取C上一点N作割线MN当点N沿曲线C趋于点M时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线C就是函数yf(x)的图形现在要拟定曲线在点M(x0,y0)(y0f(x0))处的切线只要定出切线的斜率就行了为此在点M外另取C上一点N(x,y)于是割线MN的斜率为其中为割线MN的倾角当点N沿曲线C趋于点M时xx0如果当x0时上式的极限存在设为k即存在则此极限k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里ktan其中是切线MT的倾角于是通过点M(x0,f(x0))且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为以下的极限令△x=x-x0则△y=f(x0+△x)-f(x0)=f(x)-f(x0)xx0相称于△x0于是成为或定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义当自变量x在x0处获得增量△x(点x0+△x仍在该邻域内)时对应地函数y获得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)如果△y与△x之比当△x0时的极限存在则称函数y=f(x)在点x0处可导并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为即也可记为或函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0含有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有在实际中需要讨论多种含有不同意义的变量的变化“快慢”问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限不存在就说函数y=f(x)在点x0处不可导如果不可导的因素是由于也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导就称函数f(x)在开区间I内可导这时对于任一xI都对应着f(x)的一种拟定的导数值这样就构成了一种新的函数这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数记作或2.导函数的定义式f(x0)与f(x)之间的关系函数f(x)在点x0处的导数f(x)就是导函数f(x)在点x=x0处的函数值即导函数f(x)简称导数而f(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f(x)在x0处的值左右导数所列极限存在则定义f(x)在的左导数f(x)在的右导数如果极限存在则称此极限值为函数在x0的左导数如果极限存在则称此极限值为函数在x0的右导数导数与左右导数的关系三、求导数举例例1．求函数f(x)C（C为常数）的导数解即(C)=0例2求的导数解例3求的导数解例4．求函数f(x)xn(n为正整数)在xa处的导数解f(a)(xn1axn2an1)=nan1把以上成果中的a换成x得f(x)=nxn1即(xn)=nxn1(C)0例5．求函数f(x)sinx的导数解f(x)即(sinx)=cosx用类似的办法可求得(cosx)=-sinx例6．求函数f(x)ax(a>0a1)的导数解f(x)特别地有(ex)′=ex例7．求函数f(x)logax(a>0a1)的导数解解即特殊地1．单侧导数极限存在的充足必要条件是及都存在且相等f(x)在处的左导数f(x)在处的右导数2．导数与左右导数的关系函数f(x)在点x0处可导的充足必要条件是左导数左导数f(x0)和右导数f(x0)都存在且相等如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导且右导数f(a)和左导数f(b)都存在就说f(x)有闭区间[a,b]上可导例8．求函数f(x)x|在x0处的导数解由于f(0)f(0)因此函数f(x)|x|在x0处不可导四、导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表达曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率即f(x0)=tan其中是切线的倾角如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置即曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处含有垂直于x轴的切线x=x0由直线的点斜式方程可知曲线yf(x)在点M(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0)过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果f(x0)0法线的斜率为从而法线方程为例9求等边双曲线在点处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解所求切线及法线的斜率分别为所求切线方程为即4xy40所求法线方程为即2x8y150例10.求曲线的通过点(04)的切线方程解设切点的横坐标为x0则切线的斜率为于是所求切线的方程可设为根据题目规定点(04)在切线上因此解之得x04于是所求切线的方程为即3xy40五、函数的可导性与持续性的关系设函数yf(x)在点x0处可导即存在则这就是说函数yf(x)在点x0处是持续的因此如果函数y=f(x)在点x处可导则函数在该点必持续另首先一种函数在某点持续却不一定在该点处可导例7．函数在区间(,)内持续但在点x=0处不可导这是由于函数在点x=0处导数为无穷大xx课后作业（是指根据教学目的及规定布置一定量的思考题和习题等。）第91页第5题课后小结（课后小结是教案执行状况的经验总结，目的在于改善和调节教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全方面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的办法等方面的内容进行撰写。）第9次课学科高等数学（一）课题函数的和、积、商的求导法则周次10时数2授课班级114重要教学内容：函数的线性组合的求导法则函数积的求导法则函数商的求导法则教学目的和规定：纯熟掌握导数的四则运算法则教学重点：导数的四则运算法则教学难点：导数的求导法则教学办法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用品与多媒体教学内容及教学过程教学过程§2函数的和、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数uu(x)及vv(x)在点x含有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x含有导数并且[u(x)v(x)]u(x)v(x)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)证明(1)u(x)v(x)法则(1)可简朴地表达为(uv)uv(2)u(x)v(x)u(x)v(x)其中v(xh)v(x)是由于v(x)存在故v(x)在点x持续法则(2)可简朴地表达为(uv)uvuv(3)法则(3)可简朴地表达为(uv)uv(uv)uvuv定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设uu(x)、vv(x)、ww(x)均可导则有(uvw)uvw(uvw)[(uv)w](uv)w(uv)w(uvuv)wuvwuvwuvwuvw即(uvw)uvwuvwuvw在法则(2)中如果vC(C为常数)则有(Cu)Cu例1．y2x35x23x7求y解y(2x35x23x7)(2x3)5x2)3x)7)2(x3)5x2)3x)23x252x36x210x3例2求f(x)及解例3．yex(sinxcosx)求y解yex)(sinxcosx)ex(sinxcosx)ex(sinxcosx)ex(cosxsinx)2excosx例4．ytanx求y解即(tanx)sec2x例5．ysecx求y解secxtanx即(secx)secxtanx用类似办法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cotx)csc2x(cscx)cscxcotx课后作业（是指根据教学目的及规定布置一定量的思考题和习题等。）第91页第5题课后小结（课后小结是教案执行状况的经验总结，目的在于改善和调节教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全方面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的办法等方面的内容进行撰写。）第10次课学科高等数学（一）课题反函数和复合函数的求导法则周次11时数2授课班级114重要教学内容：反函数的导数复合函数的求导法则教学目的和规定：纯熟掌握复合函数的求导法则，纯熟掌握基本初等函数的导数公式，理解一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。教学重点：复合函数的求导法则教学难点：复合函数的求导法则教学办法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用品与多媒体教学内容及教学过程教学过程§3反函数和复合函数的求导法则反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则定理2如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f(y)0那么它的反函数yf1(x)在对应区间Ix{x|xf(y)yIy}内也可导并且或简要证明由于xf(y)在Iy内单调、可导(从而持续)因此xf(y)的反函数yf1(x)存在且f1(x)在Ix内也单调、持续任取xIx给x以增量x(x0xxIx)由yf1(x)的单调性可知yf1(xx)f1(x)0于是由于yf1(x)持续故从而上述结论可简朴地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例6．设xsiny为直接函数则yarcsinx是它的反函数函数xsiny在开区间内单调、可导且(siny)cosy0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix(11)内有类似地有例7．设xtany为直接函数则yarctanx是它的反函数函数xtany在区间内单调、可导且(tany)sec2y0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix()内有类似地有例8设xay(a0a1)为直接函数则ylogax是它的反函数函数xay在区间Iy()内单调、可导且(ay)aylna0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix(0)内有到现在为止所基本初等函数的导数我们都求出来了那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntanx、、的导数如何求？复合函数的求导法则定理3如果ug(x)在点x可导函数yf(u)在点ug(x)可导则复合函数yf[g(x)]在点x可导且其导数为或证明当ug(x)在x的某邻域内为常数时y=f[(x)]也是常数此时导数为零结论自然成立当ug(x)在x的某邻域内不等于常数时u0此时有=f(u)g(x)简要证明例9求解函数可看作是由yeuux3复合而成的因此例10求解函数是由ysinu复合而成的因此对复合函数的导数比较纯熟后就不必再写出中间变量例11．lnsinx求解例12．求解复合函数的求导法则能够推广到多个中间变量的情形例如设yf(u)u(v)v(x)则例13．ylncos(ex)求解例14．求解例15设x0证明幂函数的导数公式(x)x1解由于x(elnx)elnx因此(x)(elnx)elnx(lnx)elnxx1x1基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数(1)(C)0(2)(x)x1(3)(sinx)cosx(4)(cosx)sinx(5)(tanx)sec2x(6)(cotx)csc2x(7)(secx)secxtanx(8)(cscx)cscxcotx(9)(ax)axlna(10)(ex)ex(11)(12)(13)(14)(15)(16)2．函数的和、差、积、商的求导法则设uu(x)vv(x)都可导则(1)(uv)uv(2)(Cu)Cu(3)(uv)uvuv(4)反函数的求导法则设xf(y)在区间Iy内单调、可导且f(y)0则它的反函数yf1(x)在Ixf(Iy)内也可导并且或复合函数的求导法则设yf(x)而ug(x)且f(u)及g(x)都可导则复合函数yf[g(x)]的导数为或y(x)f(u)g(x)例16求双曲正弦shx的导数.解由于因此即(shx)chx类似地有(chx)shx例17求双曲正切thx的导数解由于因此例18求反双曲正弦arshx的导数解由于因此由可得由可得类似地可得例19．ysinnxsinnx(n为常数)求y解y(sinnx)sinnx+sinnx(sinnx)ncosnxsinnx+sinnxnsinn1x(sinx)ncosnxsinnx+nsinn1xcosxnsinn1xsin(n+1)x课后作业（是指根据教学目的及规定布置一定量的思考题和习题等。）第91页第5题第99页第8题课后小结（课后小结是教案执行状况的经验总结，目的在于改善和调节教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全方面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的办法等方面的内容进行撰写。）第11次课学科高等数学（一）课题高阶导数周次11时数2授课班级114重要教学内容：高阶导数及简朴函数的n阶导数教学目的和规定：理解高阶导数的概念，会求某些简朴函数的n阶导数。教学重点：高阶导数；教学难点：求函数的高阶导数教学办法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用品与多媒体教学内容及教学过程教学过程§4高阶导数普通地函数yf(x)的导数yf(x)仍然是x的函数我们把yf(x)的导数叫做函数yf(x)的二阶导数记作y、f(x)或即y(y)f(x)[f(x)]，对应地把yf(x)的导数f(x)叫做函数yf(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数普通地(n1)阶导数的导数叫做n阶导数分别记作yy(4)y(n)或函数f(x)含有n阶导数也常说成函数f(x)为n阶可导如果函数f(x)在点x处含有n阶导数那么函数f(x)在点x的某一邻域内必然含有一切低于n阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y称为一阶导数yyy(4)y(n)都称为高阶导数例1．yaxb求y解yay0例2．ssint求s解scostssint例3．证明函数满足关系式y3y10证明由于因此y3y10例4．求函数yex的n阶导数解yexyexyexy(4)ex普通地可得y(n)ex即(ex)(n)ex例5．求正弦函数与余弦函数的n阶导数解ysinx普通地可得即用类似办法可得例6．求对函数ln(1x)的n阶导数解yln(1x)y(1+x)1y=-(1+x)2y(-1)(-)(1-x)3y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)4普通地可得y(n)=(-1)(-2)(n-1)(1-x)n即例7．求幂函数yx(是任意常数)的n阶导数公式解yx1y(1)x2y(1)(2)x3y(4)(1)(2)(3)x4普通地可得y(n)(1)(2)(n1)xn即(x)(n)(1)(2)(n1)xn当n时得到(xn)(n)(1)(2)321n!而(xn)(n1)0如果函数uu(x)及vv(x)都在点x处含有n阶导数那么显然函数u(x)v(x)也在点x处含有n阶导数且(uv)(n)u(n)v(n)(uv)uvuv(uv)uv2uvuv(uv)uv3uv3uvuv用数学归纳法能够证明这一公式称为莱布尼茨公式例8．yx2e2x求y(20)解设ue2xvx2则(u)(k)2ke2x(k1,2,,20)v2xv2(v)(k)0(k3,4,,20)代入莱布尼茨公式得y(20)(uv)(20)u(20)vC201u(19)vC202u(18)v220e2xx220219e2x2x218e2x2220e2x(x220x95)课后作业（是指根据教学目的及规定布置一定量的思考题和习题等。）第112页第1题课后小结（课后小结是教案执行状况的经验总结，目的在于改善和调节教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全方面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的办法等方面的内容进行撰写。）第12次课学科高等数学（一）课题隐函数的导数以及由参数方程所拟定的函数的导数周次12时数2授课班级114重要教学内容：隐函数的导数由参数方程拟定的函数的导数教学目的和规定：会求隐函数和由参数方程拟定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：隐函数和由参数方程拟定的函数的导数。教学难点：隐函数和由参数方程拟定的导数教学办法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用品与多媒体教学内容及教学过程教学过程§5隐函数的导数以及由参数方程所拟定的函数的导数一、隐函数的导数显函数形如yf(x)的函数称为显函数例如ysinxylnx+ex隐函数由方程F(xy)0所拟定的函数称为隐函数例如方程xy310拟定的隐函数为y如果在方程F(xy)0中当x取某区间内的任一值时对应地总有满足这方程的唯一的y值存在那么就说方程F(xy)0在该区间内拟定了一种隐函数把一种隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们但愿有一种办法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所拟定的隐函数的导数来例1．求由方程eyxye0

所拟定的隐函数y的导数解把方程两边的每一项对x求导数得(ey)(xy)(e)(0)即eyyyxy0从而(xey0)例2．求由方程y52yx3x70

所拟定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0解把方程两边分别对x求导数得5yy2y121x60由此得由于当x0时从原方程得y0因此例3求椭圆在处的切线方程解把椭圆方程的两边分别对x求导得从而当x2时代入上式得所求切线的斜率所求的切线方程为即例4．求