新版高一数学必修第一册第三章全部课件

新版高一数学必修第一册第三章全部课件人教2019A版必修第一册

3.1.1函数的概念

第三章函数概念与性质1.初中学习的函数的定义是什么？

设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.复习回顾2.回顾初中学过哪些函数？（1）一次函数（2）正比例函数（3）反比例函数（4）二次函数问题1.某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t。思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？不正确。对应关系应为S=350t，其中，问题2某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？是函数，对应关系为w=350d,其中，思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？不是。自变量的取值范围不一样。问题3如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？是，t的变化范围是，I的范围是问题4国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？y的取值范围是恩格尔系数r是年份y的函数

思考：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？共同特征有：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x)x∈A．x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|

x∈A}叫做函数的值域.想一想f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？对函数符号y=f(x)的理解1、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，

f(x)不是f与x相乘。一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。例如：y=3x+1可以写成f(x)=3x+1当x=2时y=7可以写成f(2)=72、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”，“y=h(x)”；思考：函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题的值域？函数的值域是集合B的子集。问题1和问题2中，值域就是集合B1和B2；问题3和问题4中，值域是B3和B4的真子集。1.对于函数y=f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数②对于不同的x,y的值也不同③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A.1个B.2个C.3个D.4个B

学以致用练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域：函数一次函数二次函数反比例函数a＞0a＜0对应关系定义域值域x→ax＋b

x→ax2＋bx＋c

y＝ax＋b(a≠0)

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

R

R

R

{x|x≠0}

R

{y|y≠0}

例1.函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和规律。例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。解：长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10-x).其中，x的取值范围是，y的取值范围是，对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x(10-x).区间的概念⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]设a，b是两个实数，而且a<b,我们规定：⒉满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)⒊满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]这里的实数a，b叫做相应区间的端点定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]ab{x|a<x<b}开区间(a,b)ab{x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b)ab{x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b]ab区间：实数集R可以表示为（-∞，+∞）x≥ax>ax≤bx<b（-∞，b]（-∞，b）（a，+∞）[a，+∞）19注意：3.区间不能表示单元素集2.区间只能表示数集4.区间不能表示不连续的数集1.区间（a,b）,必须有b>a7.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.

5.区间的左端点必须小于右端点；6.区间都可以用数轴表示；

试用区间表示下列实数集合

（1）{x|5≤x<6}（2）{x|x≥9}（3）{x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2}牛刀小试连续数集例2已知函数(1)求函数的定义域.（2）求的值.(3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.

例题解析解：（1）有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}，所以，这个函数的定义域就是.(2)（3）因为a>0，所以f(a),f(a-1)有意义.思考：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？定义域、对应关系、值域；定义域相同，对应关系完全一致.函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；

例3.下列函数哪个与函数y=x相等

解（1），这个函数与y=x（x∈R）对应一样，定义域不不同，所以和y=x（x∈R）不相等

（2），这个函数和y=x（x∈R）对应关系一样，定义域相同x∈R，所以和y=x（x∈R）相等

（3这个函数和y=x（x∈R）定义域相同x∈R，但是当x<0时，它的对应关系为y=-x所以和y=x（x∈R）不相等（4）的定义域是{n|n≠0}，与函数y=x（x∈R）的对应关系一样，但是定义域不同，所以和y=x（x∈R）不相等达标检测课后小结2.函数的三要素定义域A值域B对应法则f定义域对应法则值域1.函数的概念：设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的函数.3.会求简单函数的定义域和函数值4.理解区间是表示数集的一种方法,会把不等式转化为区间.人教2019版必修第一册第三章函数的概念与性质3.1.1函数的概念课程目标

1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则；2.掌握判定函数和函数相等的方法；3.学会求函数的定义域与函数值。数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域及求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

自主预习，回答问题阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1.在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？

2.如何用区间表示数集？

3.相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。题型分析举一反三题型一函数的定义例1

答案：D下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是(

)解题方法（判断是否为函数）

1.（图形判断）y是x的函数,则函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系.1.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是(

)答案：C

例2：试判断以下各组函数是否表示同一函数:

解题方法（判断函数相等的方法）定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等.[跟踪训练二]1.试判断以下各组函数是否表示同一函数:

解析:①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数.答案:⑤题型三区间例3

.已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可表示为

.

解析:∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x≤5},即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].答案:(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]解题方法（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.

1.集合{x|0<x<1或2≤x≤11}用区间表示为

.

2.若集合A=[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为

.

解析:(2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,∴实数a的取值范围是(-∞,3).答案:(1)(0,1)∪[2,11]

(2)(-∞,3)

解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合;(4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).

人教2019A版必修第一册

3.1.2函数的表示法第三章函数概念与性质表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.如,s=60t2，A=r2，S=2,y=ax2+bx+c(a≠0),y=x+2等等都是用解析式表示函数关系的.3.1.1的问题1、2.（3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题4.（2）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题3.初中学过哪几种表示函数的方法?复习回顾例1某种笔记本的单价是5元,买x(x∈｛1,2,3,4,5｝)个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈｛1,2,3,4,5｝.用列表法可将y=f(x)表示为

笔记本数x12345

钱数y510152025用图象法可将y=f(x)表示为·····051015202512345yx解析法图象法列表法①函数关系清楚、精确；②容易从自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的性质.能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础.不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用.解析法是中学研究函数的主要表达方法.列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.思考1？

比较三种表示法，它们各自的特点是什么？

所有的函数都能用解析法表示吗？不是所有的函数都能用解析法表示.例如,某天24整点的整点数与这一刻的气温的关系.例2.画出函数y=|x|的图象.解:由绝对值的概念,我们有所以,函数y=|x|的图象如图所示.0321-1-2-31234我们把这样的函数称为分段函数例3.给定函数（1）在同一直角坐标系中画出函数的图象；解：（1）在同一直角坐标系中画出函数的图象，如图。例3.给定函数（2）用M(x)表示中的较大者，记为试分别用图象法和解析法表示函数M(x).（2）解：由（1）中函数图象中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象，如图结合函数的图象，可得函数M(x)的解析式为例4:下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.第一次第二次第三次第三次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6

对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.成绩测试序号姓名

解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但是不容易看出每位同学的成绩的变化情况.可以将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图像表示出来，如图1，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.1324x05660y708090100王伟张城赵磊班级平均分图11324x05660y708090100王伟张城赵磊班级平均分图2

为了更容易的看出学生的学习情况，将离散的点用虚线连接。

在图2中看到，王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且比较优秀.张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于平均水平，但是他的成绩呈曲线上升的趋势，从而表明他的数学成绩在稳步提高.例5依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应按照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）。2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数①。应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除②。其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元。税率与速算扣除数见下表。（1）设全年应纳税所得额为t,应缴纳个税税额为y，求，并画出图象。解：（1）根据上表，可得函数的解析式为③函数图象如图所示（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？解：根据公式②，小王全年应缴纳所得额为t=189600－60000－189600(8%+2%+1%+9%)－52800－4560=0.8×189600－117360=34320将t的值代入③，得y=0.03×34320=1029.6所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元。达标检测（1）理解函数的三种表示方法；（2）在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数；（3）注意分段函数的表示方法及其图象的画法;

课堂小结人教A版必修第一册第三章函数的概念与性质3.1.2函数的表示法课程目标

1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利用图像表示函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。

自主预习，回答问题阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？

2.函数的各种表示法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？

4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。列表法图像法解析法定义用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法优

点不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较

直观可以

直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势能叫便利地通过计算等手段研究函数性质缺

点只能表示有限个元素的函数关系有些函数的图像难以精确作出一些实际问题难以找到它的解析式题型分析举一反三题型一函数的表示法例1

某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x)．解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.用解析法可将函数y=f（x）表示为y=5x,x∈{1，2，3，4，5}用列表法可将函数y=f(x)表示为用图像法可将函数y=f(x)表示为解题方法（表示函数的注意事项）1.函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2.解析法：必须注明函数的定义域；3.图象法：是否连线；4.列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．题型二分段函数求值

例2：已知函数f(x)＝(1)求f

的值；(2)若f(x)＝

，求x的值．

[跟踪训练二]1.题型三求函数解析式例3

.(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).解:(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.

解题方法（求函数解析式的四种常用方法）1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.2.待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x).4.解方程组法或消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法叫做解方程组法或消元法.

题型四函数的图像及应用例4

1.

函数f(x)＝|x－1|的图象是(

)

解题方法（函数图像问题处理措施）（1）若y=f（x）是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍.（2）若y=f（x）不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y=f（x）的图象.（3）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

题型五函数的实际应用例5

第一次第二次第三次第四次第五次第六次王

伟988791928895张

城907688758680赵

磊686573727582班平均分88．278．385．480．375．782．6下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．解：从表可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况。如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为6个离散的点）表示出来，如图3.1-6，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.人教A版必修第一册第三章函数的概念与性质3.2.1单调性与最大（小）值课程目标

1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数单调性和最值；2.逻辑推理：证明函数单调性；3.数学运算：运用单调性解决不等式；4.数据分析：利用图像求单调区间和最值；5.数学建模：在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题。

自主预习，回答问题阅读课本76-77页，思考并完成以下问题1.增函数、减函数的概念是什么？2.如何表示函数的单调区间？3.函数的单调性和单调区间有什么关系？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。2．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的________．[点睛]一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y＝在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．自主预习，回答问题阅读课本79-80页，思考并完成以下问题1.函数最大(小)值的定义是什么？2.从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。[点睛]最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.题型分析举一反三题型一利用图象确定函数的单调区间例1

求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:分析:若函数为我们熟悉的函数,则直接给出单调区间,否则应先画出函数的草图,再结合图象“升降”给出单调区间.解:(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数.(2)函数y=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均为增函数.解题方法（利用图象确定函数的单调区间）1.函数单调性的几何意义:在单调区间上,若函数的图象“上升”,则函数为增区间;若函数的图象“下降”,则函数为减区间.因此借助于函数图象来求函数的单调区间是直观且有效的一种方法.除这种方法外,求单调区间时还可以使用定义法,也就是由增函数、减函数的定义求单调区间.求出单调区间后,若单调区间不唯一,中间可用“,”隔开.2.一次、二次函数及反比例函数的单调性:(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=-为分界线.由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2].题型二利用函数的图象求函数的最值

例2

已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].解题方法（用图象法求最值的3个步骤）(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.题型三证明函数的单调性

例3求证:函数f(x)=x+在区间(0,1)内为减函数.证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x1<x2,∵0<x1<x2<1,∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).故函数f(x)=x+在区间(0,1)内为减函数.解题方法（利用定义证明函数单调性的4个步骤）特别提醒

作差变形的常用技巧:(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例.(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.[跟踪训练三]1.求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．题型四利用函数的单调性求最值例4

已知函数f(x)=x+.(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.解:(1)设x1,x2是区间[1,2]上的任意两个实数,且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上是减函数.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值为f(1).∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.解题方法（单调性与最值的关系）

1.利用单调性求函数最值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系:(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间(b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.

[跟踪训练四]题型五函数单调性的应用例5

已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f的大小.解题方法（抽象函数单调性求参）1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.[跟踪训练五]1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.

解题方法（解函数应用题的一般程序）(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.(4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.1.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?[跟踪训练六]解:(1)当每辆车的月租金为3

600元时,所以当x=4

050,即每辆车的租金为4

050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307

050元.人教2019A版必修第一册3.2.1单调性与最大（小）值第三章函数概念与性质二、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？

一、观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？

能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？xyoxyoxyo

在某一区间内，图像在该区间内逐渐上升——y随着x的增大而增大；图像在该区间内逐渐下降——y随着x的增大而减小。函数的这种性质称为函数的单调性局部上升或下降下降上升初步感知x…-4-3-2-101234…f（x）…16941014916…

对区间x1，x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)都

任意在

内随着x的增大，y也增大图象在区间逐渐上升1、思考：如何利用函数解析式描述“随着x的增大，相应的f(x)随着增大？”xyo2、你能类似地描述在区间上是减函数吗？

在区间上，任取两个，得到，当时，有这时，我们就说函数在区间上是这减函数.思考：函数各有怎样的单调性Oxy单调性概念：对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值当时,都有就说函数在区间D上是增函数.这个给定的区间就为单调增区间。都有当时,就说函数在区间D上是减函数.这个给定的区间就为单调减区间。

如果函数y=f(x)在区间D是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。思考：思考：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？12345-1-2-3-4-2-323o如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。函数f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],

其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，牛刀小试：例1根据定义，研究函数则①当k>0时，于是②当k<0时，于是函数的单调性用定义证明函数的单调性的步骤:1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2；2.作差:f(x1)－f(x2)；3.变形:通常是因式分解和配方；4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.

例2物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.分析：按题意就是证明函数在区间上是减函数.证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号作差变形结论例3根据定义证明函数在区间上单调递增。证明：所以，函数在区间上单调递增。下列两个函数的图象：图1ox0xMyyxox0图2M观察

观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？思考

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？思考f(x)<Mƒ(0)=1O122、存在0，使得ƒ(0)=1.1、对任意的都有ƒ(x)≤1.1是此函数的最大值知识要点M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：（1）对于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在 ，使得，那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimunvalue）.

能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？思考解：做出函数的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.oth43215101520由二次函数的知识，对于函数，我们有当时，函数有最大值

所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为29m.例5已知函数，求函数的最大值与最小.

分析：由函数的图象可知道，此函数在[2，6]上递减。所以在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.

解：设是区间[2，6]上的任意两个实数，且，则由于得于是即所以，此函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值即在x=2时取得最大值是2，在x=6时取得最小值为0.4.达标检测

课堂小结

2、函数单调性的定义；3、证明函数单调性的步骤；1、单调函数的图象特征；4、函数的最值：最大值最小值5、函数的最值的求法（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值;（2）利用图象求函数的最值;（3）利用函数单调性求函数的最值.人教2019A版必修第一册3.2.2

奇偶性第三章函数概念与性质一、引入观察下列图片，你有何感受?生活中的对称新课在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数和的图象并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。xyo12345-1123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=x2……9410149x…-3-2-10123…f(x)=|x|……-101210-1xyo12345-1123-1-2-3图象关于y轴对称f(-1)f(1)f(-2)f(2)f(-3)f(3)===-xx(x.f(x))(-x,f(-x))f(-x)f(x)???=任意一点

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),

那么函数f(x)

就叫做偶函数.偶函数偶函数的图象关于y轴对称.偶函数的定义域关于原点对称.Oa-ab-b

思考:定义中“任意一个x,都有f(-x)=f(x)成立”说明了什么？f(-x)与f(x)都有意义，说明-x、x必须同时属于定义域，牛刀小试判断下列函数是否为偶函数。是不是

观察函数和的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？图象关于原点对称x-x

观察函数和的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？x-3-2-10123f(x)-3-2-10123图象关于原点对称奇函数的定义：奇函数要满足：①、定义域关于原点对称奇函数图象特征：

奇函数的图象关于原点对称，反之，一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数．

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．②例1：判断下列函数的奇偶性：解：（1）函数f(x)=x4的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有

f(-x)=(x)4=x4=f(x),所以函数f(x)=x4是偶函数。（2）函数f(x)=x5的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有

f(-x)=（-x）5=-x5=-f(x),所以函数f(x)=x5是奇函数。例1：判断下列函数的奇偶性：解：（3）函数

的定义域是.因为对于任意的，都有,所以函数

是奇函数。（4）函数

的定义域是.因为对于任意的，都有,所以函数

是奇函数。根据定义判断函数的奇偶性的步骤：(3)、根据定义下结论．判断函数的奇偶性的方法：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立；图象法、定义法思考：（1）判断函数的奇偶性。（2）如图，是函数图象的一部分，你能根据函数的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？（3）一般地，如果知道函数为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？

（1）奇函数达标检测课堂小结偶函数奇函数定义图象定义域一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),

关于y轴对称关于原点对称关于原点对称用定义法判断函数的奇偶性的步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(-x)和f(x)的关系；③作出相应结论。人教A版必修第一册第三章函数的概念与性质3.2.2

奇偶性课程目标

1、理解函数的奇偶性及其几何意义；2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3、学会判断函数的奇偶性．数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性；2.逻辑推理：证明函数奇偶性；3.数学运算：运用函数奇偶性求参数；4.数据分析：利用图像求奇偶函数；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。

自主预习，回答问题阅读课本82-84页，思考并完成以下问题1.偶函数、奇函数的概念是什么？2.奇偶函数各自的特点是？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。知识清单1．奇函数、偶函数（1）偶函数（evenfunction）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）奇函数（oddfunction）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．2．奇偶函数的特点

（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．（4）偶函数：,奇函数：；（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。题型分析举一反三题型一判断函数奇偶性例1

（课本P84例6）：判断下列函数的奇偶性（1）

（2）

（3）

（4）

解：解题方法（利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）1.定义法（1）.首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）.确定f(－x)与f(x)的关系；（3）.作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．2.图像法题型二利用函数的奇偶性求解析式

例2

已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.解:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.解题方法（求函数解析式的注意事项）1.已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=φ(-x).2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.题型三利用函数的奇偶性求参

例3(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.解题方法（利用奇偶性求参数）1.定义域含参数：奇偶函数的定义域为[a,b],则根据定义域关于原点对称，即a+b=0求参；2.奇偶函数求参可利用特殊值法，若是奇函数则利用f(0)=0,或f(1)+f(-1)=0等，若是偶函数则利用f(1)-f(-1)=0等求参.[跟踪训练三]1.人教A版必修第一册

3.3

幂函数第三章函数概念与性质问题1：函数y=2x,y=x2,这两个函数有什么区别？问题引入：函数的生活实例问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=

。问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S=

，

问题3：如果正方体的边长为b，那么正方体的体积是V=

，

问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c=

，

问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=

w这里p是w的函数a²这里S是a的函数b³这里V是b的函数这里c是S的函数这里v是t的函数t-1km/s

若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是:y=x²y=x³y=xy=x以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1。上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。

y=x

y=x2

y=x3

y=x1/2

y=x-1它们有以下共同特点：(1)都是函数；(3)均是以自变量为底的幂；(2)指数为常数.一.幂函数定义一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.(1)为常量,.定义说明(2)中前面的系数为1.(3)定义域没有固定,与的值有关.

式子

名称

ax

y指数函数:y=ax

幂函数:y=xa

底数指数指数底数幂值幂值幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数判断下列函数是否为幂函数。(1)y=x4(3)y=-x2(2)y=2x2(6)y=x3+2

牛刀小试幂函数图象与性质：xy0RRR[0,+∞）RR[0,+∞）[0,+∞）均为增函数奇函数奇函数偶函数非奇非偶函数定义域：值域：奇偶性：在(0,+∞)上的单调性：xy0xy0xy011111111定义域：y0x{x|x≠0}{y|y≠0}奇函数减函数值域：在（0,+∞）上的单调性：奇偶性：1111xy0y=xy=x2y=x3y=x-1(1)图像都过点（1，1)；(2)y=x、y=x3、y=x-1是奇函数，y=x2是偶函数；(3)在第一象限内，当α>0时是增函数，当α<

0时是减函数；(4)在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。

解:设f(x)=xα,将代入,得总结:

理解并掌握形如y=xα的形式就是幂函数。

例1:已知幂函数的图象过点,试求出此函数的解析式.证明:达标检测小结：

知识：幂函数的概念、图像和性质。

方法：（1）

用待定系数法求幂函数的解析式；（2）用函数的单调性比较两个幂的大小：

①同指数不同底数的，用幂函数的单调性。

人教A版必修第一册第三章