统计学原理：第3章综合指标2

第三节平均指标

1.概念

平均指标是指在同质总体内将各单位某一数量标志的差异抽象化，用以反映总体在具体条件下的一般水平。

一、平均指标的意义和作用

数据集中区变量x

-比较作用

a.同类现象在不同空间的对比。

b.同一总体在不同时间上的比较。

2.作用

-比较作用

a.同类现象在不同空间的对比。

b.同一总体在不同时间上的比较。

-利用平均指标可以分析现象之间的依存关系

-利用平均指标可以进行数量上的推算，还可以作为论断事物的一种数量标准或参考3.种类

算术平均数

数值平均数 调和平均数几何平均数 众数

位置平均数

中位数1.算术平均数的基本公式二、算术平均数

式中：——

算术平均数

X——

各单位的标志值

n——

总体单位数

——

总和符号2.简单算术平均数式中：——

算术平均数

X——

各组数值

f——

各组数值出现的次数(即权数)3.加权算术平均数设某厂职工按日产量分组后所得组距数列如下，据此求平均日产量。按日产量分组(千克)组中值X(千克)工人数f(人)Xf60以下551055060–706519123570–807550375080–908536306090–10095272565100–110105141470110以上1158920合计-16413550例在掌握比重权数的情况下，可以直接利用权数系数来求加权算术平均数，其公式为：按日产量分组(千克)组中值X(千克)工人数f(人)ff/∑f

60以下55100.063.360–7065190.127.870–8075500.3022.580–9085360.2218.790–10095270.1615.2100–110105140.099.45110以上11580.055.75合计-1641.0082.7加权算术平均数受两因素的影响：

变量值大小的影响。次数多少的影响。

而简单算术平均数只反映变量值大小这一因素的影响。加权算术平均数与简单算术平均数不同在于：△算术平均数的特点算术平均数适合用代数方法运算，因此运用比较广泛；易受极端变量值的影响，使的代表性变小；受极大值的影响大于受极小值的影响；当组距数列为开口组时，由于组中点不易确定，使的代表性也不很可靠。

调和平均数是各个变量值倒数的算术平均数的倒数。三、调和平均数(又称“倒数平均数”)

某商品在三个集市贸易市场上的平均价格及销售额资料如下：市场平均价格(元)销售额(元)甲1.0030000乙1.5030000丙1.4035000合计-95000求总平均价格其计算方法如下：在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定权数的加权调和平均数。即有以下数学关系式成立：m是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次数，而是各组标志值总量。已知某商品在三个集市贸易市场上的平均价格及销售额资料如下：市场平均价格(元)X销售额(元)m=Xf销售额(元)÷平均价格(元)(即销售量)

甲1.003000030000乙1.503000020000丙1.403500025000合计-95000750001.由平均数计算平均数时调和平均数法的应用：例某公司有四个工厂，已知其计划完成程度(%)及实际产值资料如下：工厂计划完成程度(%)X实际产值(万元)m=Xf实际产值÷计划完成程度(%)(即计划产值)(万元)

甲9090100乙100200200丙110330300丁120480400合计-1,1001,0002.由相对数计算平均数时调和平均数法的应用：例△调和平均数的特点如果数列中有一标志值等于零，则无法计算；较之算术平均数，受极端值的影响要小。1.简单几何平均数四、几何平均数(又称“对数平均数”)它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总标志值是各单位标志值的连乘积。常用于求比率的平均数例

某机械厂有铸造车间、机加工车间、装配车间三个连续流水作业车间。本月份这三个车间产品合格率分别为95%、92%、90%，求平均车间产品合格率。解：这说明该厂车间产品平均合格率为92.31%2.加权几何平均数例假定某地储蓄年利率（按复利计算）：5%持续1.5年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。请问此5年内该地平均储蓄年利率。该地平均储蓄年利率：平均发展速度反映现象在一定时期内逐期发展变化的一般程度，这个指标在国民经济管理和统计分析中有广泛的应用，是编制和检查计划的重要依据。还可以用于一个国家或地区不同阶段发展状况的比较，以及同一时期不同国家或地区发展状况的比较。主要用途：计算平均发展速度2000年我国国内生产总值为89404亿元，2001年我国国内生产总值为95533亿元，如果2000年选作基期，则2001的国内生产总值与2000年的国内生产总值对比，得出动态相对指标为106.9%，它说明在2000年基础上2001年国内生产总值的发展速度。

某地区国民生产总值GNP在1988~1989年平均每年递增15%，1990~1992年平均递增12%，1993~1997年平均每年递增9%，试计算：该地区国民生产总值这十年平均发展速度及平均增长速度？10年发展速度：平均发展速度：平均增长速度：例△几何平均数的特点如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算；受极端值的影响较和小；

我们公司1/3人工资都是1100元。我的工资是1200元，在公司算中等收入。职员C职员D

该公司员工的月薪如下：员工经理副经理职员A职员B职员C职员D职员E职员F职员G月薪（元）60004000170013001200110011001100500中位数众数1.概念：众数是在总体中出现次数最多的那个标志值

五、众数M0例：一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：

你能根据上面的数据为这家鞋店提供进货建议吗?

尺码/厘米2222.52323.52424.525销售量/双12511731M0M0M0M0M0若有两个次数相等的众数，则称复众数。①只有总体单位数比较多，而且又有明显的集中趋势时才存在众数。众数存在的条件：下三图无众数：②在单位数很少，或单位数虽多但无明显集中趋势时，

计算众数是没有意义的。①根据单项数列确定众数；价格(元)销售数量(千克)2.00202.40603.001404.0080合计300某种商品的价格情况众数M0=3.00(元)2.众数的计算方法例观察次数②根据组距数列确定众数⑵利用比例插值法推算众数的近似值。⑴由最多次数来确定众数所在组；按日产量分组(千克)工人人数(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8表中70-80，即众数所在组。例计算众数的近似值：下限公式：上限公式：由下限公式，日产量众数由上限公式，日产量众数△众数的特点

众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，而不受各单位标志值的影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性。不受极端值和开口组数列的影响。

众数是一个不容易确定的平均指标，当分布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的位置也不好确定。①由未分组资料确定中位数2.中位数的计算方法1.概念：将总体中各单位标志值按大小顺序排列，居于中间位置的那个标志值就是中位数。六、中位数Me⑴n为奇数时，则居于中间位置的那个标志值

就是中位数。例⑵n为偶数时，则中间位置的两个标志值的算术

平均数为中位数。②由单项数列确定中位数某企业按日产零件分组如下：按日产零件分组（件）工人数（人）向上累计向下累计26338031101377321427673427545336187226418808合计80--例③由组距数列确定中位数

按日产量分组(千克)工人数(人)向上累计向下累计50–60101016460–70192915470–80507913580–90361158590–1002714249100-1101415622110以上81648合计164--下限公式（向上累计时用）：上限公式（向下累计时用）：①中位数不受极端值及开口组的影响，具有稳健性。②各单位标志值与中位数离差的绝对值之和是个最小值。3.中位数的特点（一）三者的关系表示为：七、各种平均数之间的相互关系例f如图：(二）三者的关系1.当总体分布呈对称状态时，三者合而为一,如图：fX2.

当总体分布呈非对称状态时如图：fX所以如果，则说明分布右偏（或上偏）如果，则说明分布左偏（或下偏）如果，则说明分布对称一组工人的月收入众数为700元，月收入的算术平均数为1000元，则月收入的中位数近似值是：例根据卡尔·皮尔逊经验公式，还可以推算出：1.平均指标只能适用于同质总体。2.用组平均数补充说明总平均数。八、平均指标的运用原则

某生产小组基期有工人15人，报告期人数增加到30人，两时期各技术等级的工人数和工资总额如下：级别基期报告期工人数(人)比重(%)工资总额(元)平均工资(元)工人数(人)比重(%)工资总额(元)平均工资(元)二级工213.310005001653.39600600四级工853.372009001033.3100001000七级工533.475001500413.468001700合计15100.015700104730100.026400880例某工业部门100个企业年度利润计划完成程度资料如下：按计划完成程度分组(%)企业数85-89.9290-94.9895-99.910100-104.940105-109.930110-114.910合计100经计算，100个企业年度平均利润计划完成程度为103.35％。3.用分配数列补充说明平均数例①标志变动度是评价平均数代表性的依据。第四节标志变动度2.作用：1.概念：标志变动度是指总体中各单位标志值差别大小的程度，又称离散程度或离中程度。一、标志变动度的意义、作用和种类

甲、乙两学生某次考试成绩列表语文数学物理化学政治英语甲959065707585乙1107095508075

甲、乙两学生的平均成绩为80分，集中趋势一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙组数据的离散程度大，数据分布越分散，平均数的代表性就越差；甲组数据的离散程度小，数据分布越集中，平均数的代表性越大。例②标志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济活动过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定程度。

供货计划完成百分比(%)季度总供货计划执行结果一月二月三月钢厂甲100323434乙100203050例3.种类即测定标志变动度的方法,主要有：全距、四分位差、平均差、标准差、离散系数等。

全距 R四分位差 Q.D.平均差 A.D.标准差 S.D.(σ)离散系数 Vσ①优点：计算方便，易于理解。②缺点：全距只考虑数列两端数值差异，它是测定标志变动度的一种粗略方法，不能全面反映总体各单位标志的变异程度。1.全距是总体各单位标志值最大值和最小值之差,2.全距的特点二、全距R1.概念：将总体各单位的标志值按大小顺序排列，然后将数列分为四等分，形成三个分割点(Q1、Q2、Q3)，这三个分割点称为四分位数，(其中第二个四分位数Q2就是数列的中位数Me)。

四分位差

Q.D.=Q3-Q1三、四分位差Q.D.①根据未分组资料求Q.D.2.计算：例②根据分组资料求Q.D.

2)若单项数列，则Q1与Q3所在组的标志值就是Q1与Q3的数值；

若组距数列，确定了Q1与Q3所在组后，还要用以下公式求近似值：根据某车间工人日产零件分组资料，求Q.D.按日产零件分组(件)工人数(人)累计工人数(人)(较小制)5-10121210-15465815-20369420-256100合计100-例这表明有一半工人的日产量分布在11.41件至17.36件之间，且相差5.95件。①四分位差不受两端各25%数值的影响，能对开口组数列的差异程度进行测定；②用四分位差可以衡量中位数的代表性高低；③四分位差不反映所有标志值的差异程度，它所描述的只是次数分配中一半的离差，所以也是一个比较粗略的指标。3.四分位差的特点

平均差是数列中各单位标志值与平均数之间绝对离差的平均数。1.概念和计算：四、平均差A.D.以某车间100个工人按日产量编成变量数列的资料：工人按日产量分组(千克)工人数(人)f组中值XXf20-30525125-178530-4035351225-724540-5045452025313550-60155582513195合计100-4200-660例平均差是根据全部标志值与平均数离差而计算出的变异指标，能全面反映标志值的差异程度。2.平均差的特点

标准差是离差平方平均数的平方根，故又称“均方差”。1.概念和计算：五、标准差S.D.(σ)▼特点采用离差平方的方法消除正负离差，在数学处理上比平均差更为合理和优越。对于同一资料，平均差一般小于标准差。未分组资料分组资料工人按日产量分组(千克)工人数(人)f组中值X50-601055-27.627628.64460-701965-17.625898.823670-805075-7.622903.918480-9036852.38203.918490-100279512.384138.1388100-1101410522.387012.