三角函数最值及其综合运用知识点总结及经典高考题解析

三角函数最值及其综合运用【考纲说明】1、了解三角函数的最值（值域），理解三角函数取最值的条件，掌握求三角函数最值的常用方法。2、结合三角函数的性质，会求形如函数、、的综合问题。【知识梳理】一、三角函数的最值1、定义（1）当时，取最小值；当时，取最大值1；正弦函数的值域为。（2）当时，取最小值；当时，取最大值1；余弦函数的值域为。（3）的值域为R。2、常用方法（1）求三角函数最值的常用方法①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等。（2）三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间。=1\*GB3①求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性=2\*GB3②含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响。（3）具体方法：=1\*GB3①y=asinx+bcosx型函数最值的求法：常转化为y=sin（x+）=2\*GB3②y=asin2x+bsinx+c型：常通过换元法转化为y=at2+bt+c型：=3\*GB3③y=型：=1\*romani当时，将分母与乘转化变形为sin（x+）＝型。=2\*romanii转化为直线的斜率求解。（特别是定义域不是R时，必须这样做）=4\*GB3④同角的正弦余弦的和差与积的转换：同一问题中出现，求它们的范围，一般是令或或，转化为关于的二次函数来解决。=5\*GB3⑤已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：如已知，求的值，一般是将不包括常数项的式子的分母1用代换，然后分子分母同时除以化为关于的表达式。=6\*GB3⑥几个重要的三角变换：可凑倍角公式；可用升次公式；可化为，再用升次公式；或（其中）这一公式应用广泛，熟练掌握。=7\*GB3⑦单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数、、、的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的。=8\*GB3⑧三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。=9\*GB3⑨三角函数的奇偶性：=1\*romani函数是奇函数．=2\*romanii函数是偶函数．=3\*romaniii函数是奇函数．=4\*romaniv函数是偶函数．=10\*GB3⑩正切函数的单调性：正切函数，，在每一个区间上都是增函数，但不能说在其定义域上是增函数．注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁。的图像和性质的综合运用三角函数、的定义域为R，的定义域为。函数、的最大值为，最小值为；函数的值域为R。3、函数的对称轴为，对称中心为；函数的对称轴为，对称中心为；函数的对称中心为。上述。【经典例题】【例1】（2010安徽）设，对于函数，下列结论正确的是A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值【解析】令，则函数的值域为函数的值域，又，所以是一个减函减，故选答案B。【例2】（2011福建）已知函数在区间上的最小值是－2，则的最小值等于A.B.C.2D.3【解析】函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是，∴或，∴的最小值等于，故选答案B。【例3】（2010辽宁）已知函数,则的值域是A、B、C、D、【解析】即等价于，故选择答案C。【例4】（2009福建）已知函数其中，（I）若求的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。【解析】（I）由得即又（Ⅱ）由（I）得，依题意，又故函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为是偶函数当且仅当即从而，最小正实数。【例5】（2009福建）已知向量且。（1）求的值；（2）求函数的值域。【解析】w（1）由题意得，因为cosA≠0，所以tanA=2（2）由（1）知tanA=2得，当，有最大值；当，有最小值。所以所求函数的值域为c.o.m【例6】（2009江苏）已知函数（１）求实数的值；（２）求函数的最大值及取得最大值时x的值【解析】时，函数f(x)的最大值为12【例7】（2008全国）已知函数的定义域为，值域为[－5，1]，求常数的值。【解析】∵，∵，∴，∴．当a>0时，b≤f(x)≤3a+b，∴解得当a<0时，3a+b≤f(x)≤b，∴解得故a、b的值为或【例8】（2010北京）设的周期，最大值，（1）求、、的值；（2）若是方程的两根，的终边不共线，求的值【解析】（1），，，又的最大值，①，且=2\*GB3②，由①、=2\*GB3②解出。(2)∵，，，，或，即(共线，故舍去)，或，。【例9】(2010上海）已知函数(1)求函数y的最大值，并求此时x的值(2)该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解析】(1)，；（2）将函数的图象依次进行如下变换：=1\*GB3①把函数的图象向左平移，得到函数的图象；=2\*GB3②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；=3\*GB3③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象；=4\*GB3④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数+的图象；综上得函数的图象【例10】（2009重庆）设函数．（Ⅰ）求的最小正周期．（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．【解析】（Ⅰ）===故的最小正周期为T==8(Ⅱ）在的图象上任取一点，它关于的对称点.由题设条件，点在的图象上，从而==当时，，因此在区间上的最大值为。【课堂练习】选择题1、（2008天津）已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（）A、偶函数且它的图象关于点对称B、偶函数且它的图象关于点对称C、奇函数且它的图象关于点对称D、奇函数且它的图象关于点对称2、（2011全国）函数的一个单调增区间是（）A、B、C、D、3、（2009山东文）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A、向右平移个单位 B、向右平移个单位C、向左平移个单位 D、向左平移个单位4、（2009安徽）函数的图象为C，：①图象关于直线对称;②函数在区间内是增函数;③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.以上三个论断中正确论断的个数为（）A、0 B、1 C、2 D、35、（2010湖北）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）A、 B、C、 D、6、（2008安徽）设函数，其中，则导数的取值范围是（）A、 B、 C、D、7、（2009全国）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（）A、 B、 C、 D、8、（2009全国Ⅰ文）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）A、B、C、D、9、（2009宁夏海南文）有四个关于三角函数的命题：：xR,+=:,:x,:其中假命题的是（）A、，B、，C、，D、，10、（2010辽宁理）设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（）A、B、C、D、311、（2008全国卷Ⅱ文）函数的单调减区间是（）A、（）B、C、D、12、（20010天津）函数为增函数的区间是（）.A、B、C、D、二、填空题：13、（2009全国Ⅰ理）若，则函数的最大值为14、（2010广东理）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=.15、（2010福建理）已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是.16、（2010江苏）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=.三、解答题：17、（2010广东）已知函数。（=1\*ROMANI）求的最小正周期；（=2\*ROMANII）求的的最大值和最小值；（=3\*ROMANIII）若，求的值。18、（2009辽宁）已知函数，.求：（=1\*ROMANI）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；（=2\*ROMANII）函数的单调增区间。19、（2008山东）已知函数f(x)=A(A>0,>0,0<<)函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）。（1）求；（2）计算f(1)+f(2)+…+f(2008)。20、（2011江西）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（）。（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；（2）求y＝的最大值与最小值。【课后作业】选择题1、若0＜α＜β＜，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则（）A、a＜b＜1 B、a＞b＞1C、ab＜1 D、ab＞12、函数f（x）=cos2x+sinx在区间［－，］上的最小值是（）A、 B、－C、－1 D、3、函数y=x－sinx在［，π］上的最大值是（）A、－1 B、+1C、－ D、π4、函数y=log2（1+sinx）+log2（1－sinx），当x∈［－，］时的值域为（）A、［－1，0］ B、（－1，0］C、［0，1） D、［0，1］5、当y=2cosx－3sinx取得最大值时，tanx的值是（）A、 B、－ C、 D、46、函数y=log2（1+sinx）+log2（1-sinx），当x∈［，］时的值域为（）A、［－1，0］ B、（－1，0］C、［0，1） D、［0，1］7、若角α满足条件sin2α＜0，cosα－sinα＜0，则α在（）A、第一象限 B、第二象限C、第三象限 D、第四象限8、在△ABC中，若2cosB·sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A、等腰直角三角形 B、直角三角形C、等腰三角形 D、等边三角形9、在斜△ABC中，sinA=-cosBcosC且tanBtanC=1-，则∠A的值为（）A、 B、 C、 D、10、函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（）A、3B、C、11、在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB=（）

A、有最大值和最小值0， B、有最大值，但无最小值

C、既无最大值也无最小值 D、有最大值1，但无最小值12、函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)区间[a，b]上（）

A、是增函数B、是减函数C、可以取得最大值MD、可以取得最小值－M二、填空题：13、函数y＝的最大值是14、当时，函数的最小值为15、已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是16、函数的最小正周期与最大值的和为17、在△ABC中，a=sin（A+B），b=sinA+sinB，则a与b的大小关系为___三、解答题：18、若函数的最大值为，试确定常数a的值。19、设函数，，其中，将的最小值记为．（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值。20、已知的面积为，且满足，设和的夹角为．（=1\*ROMANI）求的取值范围；（=2