第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y1－y2,x1－x2).二、直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式斜率为k，纵截距为by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)1．直线x＋eq\r(3)y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150° D．120°2．已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－eq\f(3,4)，则直线l的方程为()A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝03．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或44．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．5．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．1．C2．A3．A4．答案：45．答案：3x＋2y－1＝0小结1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．直线的倾斜角与斜率典题导入[例1](1)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为eq\f(3π,4)，则y＝()A．－1B．－3C．0 D．2(2)直线xcosθ＋eq\r(3)y＋2＝0的倾斜角的范围是________．[答案](1)B(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率k＝tanα的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．函数y＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝eq\f(π,4)，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为()A．45° B．60°C．120° D．135°2．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))答案：1.D2.D典题导入[例2](1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．(2)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为______________．[答案](1)x－2y－1＝0(2)2x－y－1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．（1）eq\f(x,\f(13,6))－eq\f(y,\f(13,8))＝1.（2）eq\f(x,\f(11,7))－eq\f(y,11)＝1.直线方程的综合应用典题导入[例3]过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．所求的直线方程为8x－y－24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．答案：(1)故直线l的方程为x＋2y－4＝0.(2)故直线方程为x＋y－3＝0.[典例]设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．答案：(1)l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)a的取值范围是(－∞，－1]．[易错提醒]1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的