北京市丰台区2021年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案

北京市丰台区2021年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题1.函数y=(x+1)2－2的最小值是（）A.1 B.－1 C.2 D.－2答案：D2.下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：A3.若一个扇形圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.答案：D4.点，，是反比例函数图象上的三个点，则的大小关系是（）A. B. C. D.答案：B5.直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（）A.2分米 B.3分米 C.4分米 D.5分米答案：A6.二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…下列说法正确的是（）A.抛物线G的开口向下B.抛物线G的对称轴是直线C.抛物线G与y轴的交点坐标为(0，4)D.当x＞﹣3时，y随x的增大而增大答案：C7.如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（）A.∠ACB=90° B.∠BDC=∠BACC.AC平分∠BAD D.∠BCD+∠BAD=180°答案：C8.函数y的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（）A.x1≠0，x2≠0 B.y1，y2C.若y1＝y2，则|x1|＝|x2| D.若y1＜y2，则x1＜x2答案：D二、填空题9.将抛物线向下平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为______________．答案：10.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，：＝___．答案：1：911.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：移植的棵数n10001500250040008000150002000030000成活的棵数m8651356222035007056131701758026430成活的频率08650.9040.8880.8750.8820.8780.8790.881估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为________．(精确到0.01)答案：0.8812.抛物线与x轴有且只有1个公共点，则b=_______________．答案：±413.如图，是的外接圆，是的中点，连结，其中与交于点.写出图中所有与相似的三角形：________.答案：；．14.如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m．答案：815.如图，ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．下面是借助直尺，画出ABC中∠BAC的平分线的步骤：①延长OD交于点M；②连接AM交BC于点N．所以∠BAN=∠CAN．即线段AN为所求ABC中∠BAC的平分线．请回答，得到∠BAN=∠CAN的依据是______．答案：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．16.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形各边均与圆相切的正6n边形的周长，再将它们的平均数作为2π的近似值．当n=1时，右图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是_______；（2）按照阿尔卡西的方法，计算n=1时π的近似值是_______．（结果保留两位小数）（参考数据：）答案：①.1②.3.23三、解答题17.已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．答案：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数与x轴的两个交点坐标为（3，0），（1，0），顶点坐标为（2，﹣1），过点（0，3），（4，3），函数图象如图所示；（3）由图象可得，当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1≤y＜3．18.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且．（1）求证：ADE∽ACB；（2）若∠B=55°，∠ADE=75°，求∠A的度数．答案：（1）证明：∵，∴.又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）解：∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE=∠ACB，∵∠ADE=75°，∴∠ACB=75°.又∵∠B=55°，∴∠A=180°-∠ACB-∠B=50°．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A(1，0)，O(0，0)，B(2，2)．（1）画出A1OB1，使A1OB1与AOB关于点O中心对称；（2）以点O为位似中心，将AOB放大为原来的2倍，得到A2OB2，画出一个满足条件的A2OB2．答案：（1）如图：A1OB1即为所求作的图形．（2）如图：A2OB2即为所求作的图形．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，C(0，2)．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数（）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．（1）求点D的坐标和k的值；（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形Ｇ，求图形Ｇ上点的横坐标x的取值范围．答案：（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，又∵A(4，0)，C(0，2)，∴点D的坐标为(2，1)，∵反比例函数的图象经过点D，∴，解得：k=2；（2）由题意可得：点M的纵坐标为2，点N的横坐标为4.∵点M在反比例函数的图象上，∴点M的坐标为(1，2)，∴．21.如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．答案：（1）证明：连接OD，如图：∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，∵DE∥OA，∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，∴∠AOC=∠AOD.在△AOD和△AOC中，∴△AOD≌△AOC，∴∠ADO=∠ACO.∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ADO=∠ACO=90°，又∵OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵CE=6，∴OE=OD=OC=3.在Rt△ODB中，BD=4，OD=3，∴，∴BO=5，∴BC=BO+OC=8.∵⊙O与AB和AC都相切，∴AD=AC.在Rt△ACB中，，即：，解得：AC=6；22.在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含）票价2元，每增加5公里以内（含）加价1元”，如下图．小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间(含0和10，下同)，则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．请根据上述信息，回答下列问题：（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为元，他使用学生卡实际支付元；（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为．答案：（1）由题意得：学生甲乘坐公交车的里程数为14-3=11＜15，∴票价为3元，使用学生卡打2.5折，即3×0.25=0.75（元），故答案：3，0.75；（2）实际支付了1元，则票价为：(元)，∴里程数在16和20公里之间，∴24-8=16，24-4=20，∴学生乙可能在云岗北区和北京十中之间的六个站台上车，∴他在佃起村上车的概率为；故答案为：．23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）过点(4，0)．（1）用含a的代数式表示b；（2）已知点A(0，a)，将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．答案：（1）∵抛物线y=ax2+bx过点(4，0)，∴，∴.（2）∵点A(0，a)绕原点O顺时针旋转90°得到点B，∴点B的坐标为(a，0)，∵点B向右平移2个单位长度得到点C，∴点C的坐标为(a+2，0).（3）（i）如图1，当a>0时，抛物线y=ax2-4ax开口向上，与x轴交于两点(0，0)，(4，0)，若线段AC与抛物线有公共点（如图），只需满足，解得：，（ii）如图2，当a<0时，抛物线y=ax2-4ax开口向下，与x轴交于两点(0，0)，(4，0).若线段AC与抛物线有公共点（如图），只需满足：，解得：，综上所述，a的取值范围为或.24.已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，位置如图所示，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．（1）求证：；（2）作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．①依据题意补全图形；②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明．答案：（1）证明：由正方形ABCD，可知∠ABC=90°，AB=BC，∴∠ABE=90°，∴∠FAB+∠AEB=90°，∵CF⊥AE，∴∠BCF+∠AEB=90°，∴；（2）①如下图所示，②CF=AF+BM，过点B作BH⊥CF于H，过B作BN⊥BF，交CF于N，令BM与AE交于点G，由题可知，∠BGF=∠GFH=∠BHF=90°，AB=CB，∴四边形BHFG为矩形，在△ABG与△CBH中，∴△ABG≌△CBH，∴BH=BG，∴矩形BHFG为正方形，∴∠BFH=45°，BG=FH，∵BN⊥BF，∴△FBN为等腰直角三角形，∵BH⊥CF，∴，由对称可知，∴，∵∠FBN=90°，∠ABE=90°，∴∠FBE+∠CBN=90°，∠FBE+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠CBN，在△ABE与△CBN中，∴△ABE≌△CBN，∴CN=AF，∵CN+FN=CF，∴CF=AF+BM．25.对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ=kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点．已知点A(－2，2)，B(2，2)．（1）在点C(1，0)，D(0，-2)，E(1，1)中，线段AB的2倍等距点是；（2）画出线段AB的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；（3）已知直线y=－x+b与x轴，y轴的交点分别为点F，G，若线段FG上存在线段AB的2倍等距点，直接写出b的取值范围．答案：（1）设为线段上一点，则由图可知，的取值范围是，，，，，，，设线段的倍等距点为，则，