充分条件与必要条件习题课 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4

充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系P

q9条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件一、知识回顾1.

充分条件与必要条件一、知识回顾2.

充要条件(1)一般地，如果既有p

⇔q,

又有q→p,

就记作p

⇔q.

此时，我们说，p

是

q

的充分必要条件，简称充要条件.概括地说，如果p

⇔q,

那么p

与q

互为充要条件.(2)若p=q,

但q=p,

则称p

是q

的充分不必要条件.(3)若q→p,

但p≠q,

则称p

是

q

的必要不充分条件.(4)若p≠q,

且

q≠p,

则称p

是

q

的既不充分也不必要条件.二、课堂练习1.下列"若p,

则q"

形式的命题中，哪些命题中的p

是q

的充分条件?(1)若平面内点P

在线段AB

的垂直平分线上，则PA=PB;(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；(3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.【分析】根据所给命题，判断出能否得到p→q,

从而得到p

是否是q

的充分条件，得到答.【答案】(1)线段垂直平分线的性质，

p=q,p

是

q

的充分条件；(2)三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，

p+q,p不是q

的充分条件；(3)相似三角形的性质，

p=q,p

是

q

的充分条件.案二、

课堂练习2.

下列"若p,

则

q"形式的命题中，哪些命题中的q

是

p

的必要条件?(1)若直线l与⊙o

有且仅有一个交点，则l为

⊙o的一条切线；(

2

)

若x

是无理数，则x²

也是无理数.【分析】根据所给命题，判断出能否得到P→9,

从而得到q

是否是p

的必要条件，得到答案.【答案】(1)这是圆的切线定义，

p→q,

所

以q

是

p

的必要条件；(2)由于√2

是无理数，但(

√2)²=2不是无理数，

p≠q

,所以q

不是p

的必要条件.二、

课堂练习3.如图，直线a

与b

被直线1所截，分别得到了∠,∠,∠3和∠4.请根据这些信息，写出几个“a//b”

的充分条件和必要条件.【分析】根据a//b

可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，根据内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到a//b【答案】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到a//b,所以

“a//b”

的充分条件：∠1=∠2,∠1=∠4,∠1+∠3=180°;因为a//b

可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，所以“a//b”

的必要条件：∠=∠2,∠=∠4,∠+∠3=180°二、课堂练习4.下列各题中，哪些p

是q

的充要条件?(1)p:

三角形为等腰三角形，

q:

三角形存在两角相等；(2)p:OO

内两条弦相等，

q:

⊙O

内两条弦所对的圆周角相等；(3)p:A∩B

为空集，

q:A

与B

之一为空集.【答案】在(1)中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以P

⇔q,

所以p

是q的充要条件；在(2)中，

⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，

p

q,

所以p

不是q

的充要条件；在(3)中，取A={1,2},B={3},显然，

A∩B=

の,

但

A

与

B

均不为空集，因此，

Pp⁹,

所以p

不是q

的充要条件.二、

课堂练习5.

分别写出"两个三角形全等"和“两个三角形相似”的几个充要条件.【答案】"两个三角形全等"的充要条件如下：①三边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两角及其夹边对应相等；④两角及一角的对

边对应相等.

“两个三角形相似”的充要条件如下：①三个内角对应相等(或两个内角对应相等);②三边对应成比例；③两边对应成比例且夹角相等.【分析】先由梯形ABCD为等腰梯形，证明AC=BD,

验证必要性；再由AC=BD证明梯ABCD为等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立。【答案】证明：(1)必要性.在等腰梯形ABCD

中，

AB=DC,

∠ABC=

∠DCB,又∵∵BC=CB,

∴△BAC≈

△CDB,

∴

AC=BD二、

课堂练习6.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD∴△ABC

∈△DCB.

∴AB=DC∴梯形ABCD

为等腰梯形

.由(1)(2)可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD如图，过点D

作

DE//AC,交

BC

的延长线于点E.∵AD//BE,DE//AC,

∴四

边

形ACED

是平行四边形.

∴

DE=AC∵AC=BD,

∴BD=DE,∴∠E=

∠

1.二、课堂练习(

2

)

充

分

性

.又

∵AC//DE,

∴∠2=

∠E,

∴∠

1=

∠2在△ABC

和△DCB

中

，三、复习巩固7.

举例说明：(1)p是

q

的充分不必要条件；(2)p是

q

的必要不充分条件；(3)p是

q

的充要条件.【答案】(1)“x>1

"是"x>0

”的充分不必要条件；(2)“x²=y²

”是“x=y

”的必要不充分条件；(3)“内错角相等”是"两直线平行"的充要条件三、

复习巩固8.在下列各题中，判断p

是q

的什么条件(请用"充分不必要条件”"必要不充分条件""充要条件”"既不充分又不必要条件"回答):(1)p:三角形是等腰三角形，q:三角形是等边三角形；(2)在一元二次方程中，

P:ax²+bx+c=0

有实数根，

q:b²-4ac≥0;(3)p:a

∈PnQ,q:a

∈P;

【分析】(1)根据等腰三角形与等边三角形的关系分析.(4)p:a

∈PUQ,q:a

∈P;(5)p:x>y,q:x²>y²

(3)根据集合的基本关系分析(4)根据集合的基本关系分析(5)举例说明分析(2)根据二次方程的根分析三、

复习巩固【答案】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形，故p

是q

的必要不充分条件.(2)一元二次方程ax²+bx+c=0

有实数根则判别式△=b²-4ac≥0.故p

是

q

的充要条件.(3)因为ae(PUg),

故a

∈P

且a

∈Q;

当a

∈P

时a

∈Q

不一定成立.

故p

是

q

的充分不必要条件.(4)因为a∈(PUg),

故a∈P

或a∈Q,所以a∈P

不一定成立；当a

∈p

时a

∈PUQ

一定成立.故p

是

q

的必要不充分条件.(5)当x=1,y=-2

时，满足x>y

但x²>y²

不成立.当x=-2,y=1

时，满足x²>y²

但x>y

不成立.三、

复习巩固9.

判断下列命题的真假：(1)点P

到圆心O

的距离大于圆的半径是点P

在⊙O

外的充要条件；(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；(3)AUB=A

是BCA

的必要不充分条件；(4)x

或y

为有理数是xy

为有理数的既不充分又不必要条件.【答案】(1)根据点与圆的位置关系知点P

到圆心O

的距离大于圆的半径是点P

在⊙O

外的充要条件.

故(1)为真命题.(2)两个三角形面积相等也可能同底等高，全等三角形面积一定相等.故两个三角形的

面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件.

故(2)为假命题.(3)AUB=A

是B=A

的充要条件.

故(3)为假命题.(4)当x=1,y=√2时，满足“x

或y

为有理数”但“xy

为有理数”不成立.当x=y=√2

时满足“xy为有理数”但“x或y

为有理数”不成立.

故(4)为真命题.四、综合运用10.已知A={x|x

满足条件p},B={x|x

满足条件q},(1)如果A≤B,

那么p

是

q

的什么条件?(2)如果BCA,

那么p

是

q

的什么条件?(3)如果A=B,

那么p

是

q

的什么条件?【答案】(1)如果A≤B,

则满足条件p

也满足条件q.故p

是

q

的充分条件.(2)如果BEA,

则满足条件

q

也满足条件p.故p

是

q

的必要条件.(3)如果A=B,

则满足条件p

满足条件q,且满足条件q

也满足条件p.

故p

是q

的充要条件.四、综合运用11.设a,b,c∈R证明：a²+b²+c²=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c证明：(1)充分性：如果a=b=c,那么(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0,∴a²+b²+c²-ab-ac-bc=0,

∴a²+b²+c²=ab+ac+bc(2)必要性：如果a²+b²+c²=ab+ac+bc,那么a²+b²+c²-ab-ac-bc=0,∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0,

∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,

∴a=b=c.由(1)(2)知，a²+b²+c²=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c五、

拓广探索12.设a,b,c

分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.

我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a²+b²=c²

(勾股定理).反过来，如果a²+b²=c²,

那么△ABC

为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知，△ABC

为直角三角形的充要条件是a²+b²=c².

请利用边长a,b,c

分别给出△ABC

为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.【分析】根据勾股定理易得△ABC为锐角三角形的充要条件是a²+b²>c²

△ABC

为钝角三角形的充要条件是a²+b²<c²

.

再分别证明充分与必要性即可.=AC²+CB²-2CB

·CD<AC²+CB²,

即c²<a²+b²充分性：在△ABC中，a²+b²>c²,

∴∠C

不是直角.假设∠C

为钝角，如图(2).作AD⊥BC,

交

BC

延长线于点D.则AB²=AD²+BD²=AC²-CD²+(BC+CD)²=AC²-CD²+BC²+CD²+2BC

·CD=AC²+BC²+2BC

·CD>AC²+BC²即c²>b²+a²,与“a²+b²>c²”

矛盾.故∠C

为锐角，即△ABC

为锐角三角形.五

、拓广探索解：(1)设a,b,c分别是△ABC

的三条边，且a≤b≤c,

△ABC

为锐角三角形的充严条件是a²+b²>c²证明如下：必要性：在△ABC中，∠C

是锐角，作AD

⊥BC,D

为垂足，如图(1).