拉格朗日内插法在精密星历定位中的应用

拉格朗日内插法在精密星历定位中的应用

1精密星历的使用在gps定位中，轨道信息是定位的基本基础，卫星轨道信息由星历显示。因此，星历误差已成为计算数据的误差。假设在传输序列延迟和电离层延迟的假设下正确执行纠正误差，卫星点的误差数量通常相当于卫星星历误差的数量。因此，在使用星历进行卫星点定位时，精度通常只能达到几米到十米左右。而IGS最终星历的精度优于5cm,在施加同样的误差改正的前提下,采用IGS精密星历进行单点定位的精度将比利用广播星历高1~2个数量级,可以达到分米级甚至是厘米级。但是精密星历是按照一定的时间间隔(通常为15min)给出的,在实际定位中,接收机的采样率一般为30s、15s,因此,如何利用精密星历快速的确定观测瞬间卫星的位置成为实际应用中一项重要的工作。目前,国内外较常用的方法是对精密星历进行插值或者拟合来获得高精度的卫星坐标,其中主要的插值方法有多项式内插法和三角内插法。根据Schenewerk等人的分析,采用多项式内插法和三角内插法得到的精度基本相当,并且内插造成的卫星坐标精度损失要远远小于星历本身的误差。在多项式插值法中拉格朗日(Lagrange)法因其插值速度快且易于编程被广泛的采用,在用拉格朗日法对精密星历进行插值计算时涉及到插值的阶数选择问题,如果选用的阶数太低,精度将达不到要求,如果阶数过高,将会白白浪费计算机的资源,同时高阶的拉格朗日插值在区间边界可能出现摆动,内插效果并不一定好。2拉格朗日插值羽毛2.1内插时区的确定设y=f(x)是区间[a,b]上的一个实函数,xi(i=0,1…,n)是[a,b]上n+1个互异实数,且y=f(x)在xi的值为yi=f(xi),则区间[a,b]上任意一点x的n阶拉格朗日插值多项式的代数表达式为f(x)=∑i=0nyi∏j=0j≠in(x−xjxi−xj)(1)f(x)=∑i=0nyi∏j=0j≠in(x-xjxi-xj)(1)点xi(i=0,1…,n)称为插值节点,包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间。利用(1)式内插观测瞬间卫星的位置,x即为观测时刻,yi为精密星历给出的xi时刻卫星的三维位置。因此,要想获得任意时刻卫星位置的n阶拉格朗日内插值,必须至少有n+1个时刻的卫星位置,并且内插时刻要在已知时刻的区间内。如果待求点位于已知数据点的中央,则可以保证最佳的内插效果,即对称内插的方法,例如7阶拉格朗日插值多项式其最佳插值时刻为第四和第五个插值节点中间的时刻,对于8阶拉格朗日插值多项式,其最佳插值时刻则有两个,分别为第四、第五插值节点的中间时刻和第五、第六插值节点的中间时刻。如果插值时刻位于插值区间以外则称为轨道的外推。2.2拉格朗日程式中的数据分析用精密星历进行卫星轨道位置的内插计算时将涉及到大量的计算,例如,IGS提供的精密星历历元间隔为15min,一天将给出29颗卫星的96个时刻的位置信息,要想内插计算一天的数据要涉及到的数据约为8000个,因此,必须编程实现卫星轨道位置的内插计算。作者在MATLAB7.0环境下编写了拉格朗日多项式的算法程序,代码如下:%----Lagrange插值多项式----%X为插值节点,Y为相应的函数值%x为插值时刻functiony=interp_lag(X,Y,x)n=length(X);y=zeros(size(x));fori=1:nt=1;forj=1:nifj~=it=t.*(x-X(j))/(X(i)-X(j));endendy=y+t*Y(i);end3算例2—计算实例及精度分析作者选取了G1号、G11号和G16号三颗卫星2006年9月1日0时至2006年9月2日23h45min(GPS时)共两天的IGS精密星历作为算例进行卫星位置的内插计算来研究不同阶数拉格朗日多项式内插所能达到的精度。精密星历给出的卫星位置时间间隔为15min,计算时取30min间隔的星历作为内插点内插计算各个内插时间段中间时刻的卫星位置,这样可以对内插得到的卫星位置同精密星历给出的卫星位置进行比较。为了能够达到最佳内插效果,算例采用对称内插的方法,由于星历的边缘时刻必须用其前一天和后一天的星历数据才能进行内插计算,所以略去边缘时刻,这样共得到76个内插节点和76个插值点。对每个插值点进行1到20阶的拉格朗日插值计算,得到的结果与精密星历给出的结果比较。对于每阶插值多项式,都会得到76个插值中误差,取G1号卫星5-20阶的内插结果列于表1。由上表可以看出,随着插值多项式的次数增高,结果精度也逐渐提高,当插值次数在11阶以上时可以达到毫米级的精度,当次数高于13阶时,结果精度趋于稳定。图1给出了三颗卫星1-20阶插值的点位中误差变化曲线,第一幅图为1-20阶插值误差的整体变化趋势,后面三幅图为局部放大图。由图1,用30min历元内插计算的三颗卫星轨道精度其变化趋势是一致的,都随着多项式阶数的增加而逐渐提高,当阶数高于13时,内插计算的卫星位置误差稳定在2mm左右。4u3000转化u3000米级轨道精度用精密星历通过拉格朗日多项式内插计算GPS卫星的位置,其精度随着多项式的阶数增加逐渐提高。用30min的历元间隔