0 数学物理方程概述

PAGEPAGE6数学物理方程概述什么是数学物理方程或数学物理方程是研究什么的.关于方程含有未知数的等式叫做方程,方程有多种多样,例如函数方程:含有未知函数的等式,叫做函数方程.常微分方程:含有未知(一元)函数导数的等式,叫做常微分方程.偏微分方程:含有未知多元函数的偏导数的等式叫做偏微分方程,例如等.什么是数学物理方程:数学物理方程主要指物理学及其自然科学,技术科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分方程,微分积分方程等),它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系.数学物理方程的研究对象:连续介质力学,电磁学,量子力学等等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围,电动力学,流体力学,磁流体力学,反应流体力学,弹性力学,热弹性力学,粘弹性力学,气体分子运动论,狭义相对论,量子力学等物理,力学学科中其基本方程均是偏微分方程.数学物理方程的研究历史:微积分产生以后,人们就开始把力学中的一些问题,归结为偏微分方程进行研究.早在18世纪初,人们已经将弦线振动的问题归结为弦振动方程,并探讨了它的解法.19世纪,傅立叶做出了关于热的解析理论的工作.傅立叶的主要成就理解为这样两个方面:第一,把物理问题的公式化为表示当作线性偏微分方程的边值问题来处理,这种处理使理论力学扩展到牛顿<<原理>>所规定的范围以外的领域;第二,他为这些方程的解所发明的强有力的数学工具,这些工具产生了一系列派生物,并且提出了数学分析中那些激发了19世纪及以后的许多第一流工作的问题.随后,人们又陆续了解了流体的运动,弹性体的平衡的振动,热传导电磁相互作用,原子核和电子的相互作用,化学反应过程等等自然现象的基本规律,把它们写成偏微分方程的形式,并且求出了典型问题的解答,从而能通过实践,验证这些基本规律的正确性,显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性.方法和作用:有了基本规律,人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题,这就要求出数学物理方程中的许多待定问题的解答.随着电子计算机的出现及计算技术的发展,即使是相当复杂的问题,也有可能计算出解的足够精确的数值来,这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计(如机械强度的计算)都有着很重要的作用.数学理论的产生—偏微分方程在研究数学物理方程的同时,人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多,越来越深入,形成了数学中的一门重要的分支偏微分方程理论,它既有悠久的历史,又不断地更新着它的对象,内容和方法.它直接联系着众多自然或产生需要解决的新课题和新方法.它所面临的数学问题多样而复杂,不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析,复变函数,微分几何,计算数学等)的发展,并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具.因此,数学物理方程又是纯粹数学的许多分支和自然科学各部门及工程技术等领域之间的一个重要的桥梁.数学物理方程解决问题的途径:针对实际现象问题,它是以建立模型,求解问题,理论分析和解释现象为内容的课程,通过对典型问题的深入探讨,揭示偏微分方程的一些带有普遍性的思想方法,求给出解过程和理论结论.实际问题现象建立模型列出方程问题的各种简化:方程问题的各种研究--总结出一些定性定量的规律,解释现象--通过数值计算分析和数值模拟--预测,把握,控制出结果.本门课程中将介绍数学物理方程中一些最基本的内容.如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

偏微分方程产生于十八世纪，在十九世纪得到迅速的发展。偏微分方程的产生和发展是与物理学的发展密不可分的。

随着物理学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学需要在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面发展，偏微分方程变成了数学的中心。

在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。

应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。

微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

偏微分方程的内容

偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。

弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。

弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。

用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。

偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。

拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。

天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。

就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。

当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。

在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。

求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。

偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。

应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。

常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

解法：1、先变为标准型，看是哪种类型，如椭圆型，双曲型。抛物型。

2、结为四大基本方程：位势方程，波动方程，热传导方程，传输方程，

3、其解法解决。数学物理方法

是以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨物理现象的数学模型，即寻求物理现象的数学描述，并对模型已确立的物理问题研究其数学解法，然后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。

物理问题的研究一直和数学密切相关。作为近代物理学始点的牛顿力学中，质点和刚体的运动用常微分方程来刻画，求解这些方程就成为牛顿力学中的重要数学问题。这种研究一直持续到今天。例如，天体力学中的三体问题和各种经典的动力系统都是长期研究的对象。

在十八世纪中，牛顿力学的基础开始由变分原理所刻画，这又促进了变分法的发展，并且到后来，许多物理理论都以变分原理作为自己的基础。

十八世纪以来，在连续介质力学、传热学和电磁场理论中，归结出许多偏微分方程通称数学物理方程(也包括有物理意义的积分方程、微分积分方程和常微分方程)。直到二十世纪初期，数学物理方程的研究才成为数学物理的主要内容。

此后，联系于等离子体物理、固体物理、非线性光学、空间技术核技术等方面的需要，又有许多新的偏微分方程问题出现，例如孤立子波、间断解、分歧解、反问题等等。它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来。复变函数、积分变换、特殊函数、变分法、调和分析、泛函分析以至于微分几何、代数几何都已是研究数学物理方程的有效工具。

从二十世纪开始，由于物理学内容的更新，数学物理也有了新的面貌。伴随着对电磁理论和引力场的深入研究，人们的时空观念发生了根本的变化，这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论。许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式在探讨大范围时空结构时，还需要整体微分几何。

量子力学和量子场论的产生，使数学物理添加了非常丰富的内容。在量子力学中物质的态用波函数刻画，物理量成为算子，测量到的物理量是算子的谱。在量子场论中波函数又被二次量子化成为算子，在电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用中描述粒子的产生和消灭。

因此，必须研究各种函数空间的算子谱、函数的谱分析和由算子所形成的代数。同时还要研究微扰展开和重正化(处理发散困难)的数学基础。此外，用非微扰方法研究非线性场论也是一个令人注目的课题。

物理对象中揭示出的多种多样的对称性，使得群论显