2023-2024学年福建省福州十九中八年级（上）开门考数学试卷

2023-2024学年福建省福州十九中八年级（上）开门考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列实数中，无理数是(

)A.5 B.327 C.0.213 3.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为(

)

A.60° B.65° C.75° D.85°4.下列说法正确的是(

)A.从全校1500名学生中抽取100名调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量为1500

B.了解北京冬奥会的收视率适合用抽样调查

C.调查某批次汽车的抗撞击能力适合用全面调查

D.旅客乘坐飞机前的安检适合用抽样调查5.如图，将三角形ABC沿着PQ方向平移得到三角形A′B′C′，则下列结论错误的是(

)A.AB/​/A′B′． B.AA′=BB′ C.AA′/​/BB′ D.AA′=AB6.如果m>n，则下列结论中正确的是(

)A.m5<n5 B.m−3<n−3 C.7.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是(

)A.3 B.4 C.5 D.68.能说明命题“对于任何实数a，|a|=a”，是假命题的一个反例可以是(

)A.a=0 B.a=2023 C.a=2023 9.我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：几个人合伙买一件物品，每人出8元，则余3元；若每人出7元，则少4元，问几人合买？这件物品多少钱？若设有x人合买，这件物品y元，则根据题意列出的二元一次方程组为(

)A.8x=y−37x=y+4 B.8x=y+47x=y−3 C.3x=y+84x=y−710.如图，∠C=90°，点M是BC的中点，DM平分∠ADC，且CB=8，则点M到线段AD的最小距离为(

)A.2

B.3

C.4

D.5二、填空题（本大题共6小题，共24分）11.9的算术平方根是______．12.如图，BD是△ABC的中线，AB=8cm，BC=6cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多______cm．

13.若点P(6−3a,a+1)在y轴上，则a=______．14.如图，已知B(2,0)，C(0,1)，AC⊥BC，且AC=BC，则点A的坐标是______．

15.已知实数a，b，c，满足a+b=8，c−a=10.若a≥−2b，则a+b+c的最大值为______．16.如图，在△ABC中，∠A=60°(∠ABC>∠A)，角平分线BD、CE交于点O，OF⊥AB于点F.下列结论：

①S△BOC：S△BOE=BC：BE；

②∠EOF=∠ABC−∠A；

③BE+CD=BC；

④S四边形BEDC=2S三、计算题（本大题共1小题，共8分）17.(1)解二元一次方程组x+y=1x+2y=4．

(2)若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程ax+by=2的一组解，求代数式6b−4a的值．四、解答题（本大题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.(本小题8.0分)

计算：2519.(本小题8.0分)

解不等式：x−12−1≤x20.(本小题8.0分)

如图，AB/​/CD，AB=CD，点E、F在线段BC上，且BE=CF，连接AF、DE．

求证：∠A=∠D．21.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，∠ACB>∠B．

(1)尺规作图，在AB上求作一点D，使∠BCD=∠B.(不要求写作法，保留作图痕迹)；请你根据所学的三角形全等的有关知识，作图依据是______.(提示：SSS、SAS、ASA、AAS)

(2)若(1)中∠A=65°，∠ACB=75°，求∠ADC的度数．22.(本小题10.0分)

某校组织2000名学生参加“展示我美丽祖国”庆国庆的自拍照片的评比活动，随机取一些学生在评比中的成绩制成的统计图表如下：

频数分布表分数段频数百分比80≤x<85a20%85≤x<9080b90≤x<956030%95≤x<10020c根据以上图表提供的信息，解答下列问题：

(1)该调查的样本容量是______．

(2)a=______，b=______，c=______；补全频数分布直方图；

(3)如果评比成绩在90分及以上(含90分)的可以获奖，试估计该校参加此次活动获奖的人数．23.(本小题10.0分)

“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元A15957000B101668000(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；

(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？24.(本小题12.0分)

(一)阅读材料

若关于x，y的二元一次方程ax+by=c有一组整数解x=x0y=y0，则方程ax+by=c的全体整数解可表示为x=x0+bty=y0−at(t为整数)．

例题：求关于x，y的二元一次方程5x+11y=136的所有正整数解．

小明参考阅读材料，解决该例题如下：

解：∵5x+11y=136，∴x=(136−11y)÷5=27−3y+(1+4y)÷5，

∵x，y要取整数，∴当y=1时，x=25，

∴该方程一组整数解为x0=25y0=1，∴其全体整数解为x=25+11ty=1−5t(t为整数)．

∵25+11t>01−5t>0，∴−2511<t<15．

∵t为整数，∴t=−2、−1或0．

∴该方程的正整数解为x=3y=11、x=14y=6和x=25y=1．

(二)解决问题

(1)关于x，y25.(本小题14.0分)

已知：平面直角坐标系中，如图1，点A(a,b)，AB⊥x轴于点B，并且满足2a+b+6+(a−b+12)2=0．

(1)试判断△AOB的形状并说明理由．

(2)如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD⊥OC，且OD=OC，连AD交x轴于点E，试求点E的坐标．

(3)如图3，若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作∠MAN=45°交y轴负半轴于点N，连MN，在点M运动过程中，试猜想式子OM+MN−ON的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．

答案和解析1.【答案】B

解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．

选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．

故选：B．

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】A

解：A、5是无理数；

B、327=3是有理数；

C、0.213为有理数；

D、227是有理数；

故选：A．

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是平行线性质和平角定义的有关知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

首先根据平角的定义求得∠2的度数，再利用平行线的性质即可求得∠1的度数．

【解答】

解：如图：

∵∠BCA=60°，∠DCE=45°，

∴∠2=180°−60°−45°=75°，

∵HF//BC，

∴∠1=∠2=75°，

故选C．4.【答案】B

解：A.从全校1500名学生中抽取100名调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量为100，故原说法错误，不符合题意；

B.了解北京冬奥会的收视率，工作量非常大，适合用抽样调查，正确，符合题意；

C.调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，适合用抽样调查，故原说法错误，不符合题意；

D.旅客乘坐飞机前的安检非常重要，适合用全面调查，故原说法错误，不符合题意；

故选：B．

根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．

本题考查了抽样调查和全面调查的定义，为了特定的目的对全部考查对象进行的全面调查叫做普查；从全部考查对象中抽取部分个体，通过对这一部分个体的调查估计考查对象的总体情况，这种调查叫做抽样调查．5.【答案】D

解：由平移的性质可知，AB/​/A′B′，AA′=BB′，AA′/​/BB′，因此选项A、选项B、选项C不符合题意；

而AA′与AB不一定相等，因此选项D符合题意；

故选：D．

根据平移的性质逐项进行判断即可．

本题考查平移的性质，理解平移的定义，掌握平移的性质是正确解答的前提．6.【答案】C

【解析】【解答】

解：A.∵m>n，

∴m5>n5，原变形错误，故此选项不符合题意；

B.∵m>n，

∴m−3>n−3，原变形错误，故此选项不符合题意；

C.∵m>n，

∴m+c>n+c，原变形正确，故此选项符合题意；

D.∵m>n，

∴−2m<−2n，原变形错误，故此选项不符合题意．

故选：C．

【分析】

根据不等式的性质逐一判断即可．

本题考查不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质：1.不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；2.不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；3.7.【答案】B

解：设多边形的边数为n，根据题意

(n−2)⋅180°=360°，

解得n=4．

故选：B．

利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．

本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是8.【答案】D

解：∵|−2023|=2023，即此时不满足|−2023|=−2023，

∴能说明命题“对于任何实数a，|a|=a”是假命题的一个反例可以是a=−2023，

故选：D．

根据“对于任何实数a，|a|=a”成立的条件是a≥0即可得出答案．

本题考查了命题与定理有关知识，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．9.【答案】D

解：由题意可得：8x=y+37x=y−4，

故选：D．

根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．

10.【答案】C

解：如图所示，过点M作ME⊥AD于E，

∴∠MED=∠C=90°，

∵DM平分∠ADC，

∴∠MDE=∠MDC，

又∵MD=MD，

∴△MDE≌△MDC(AAS)，

∴ME=MC，

∵点M是BC的中点，CB=8，

∴ME=MC=12BC=4，

∴点M到线段AD的最小距离为4，

故选：C．

如图所示，过点M作ME⊥AD于E，证明△MDE≌△MDC，得到ME=MC，再根据线段中点的定义得到ME=MC=12BC=4，根据垂线段最短可知点M到线段AD11.【答案】3

解：∵32=9，

∴9的算术平方根是3，

故答案为：3．

根据算术平方根的定义计算即可．

本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a12.【答案】2

解：∵BD是△ABC的中线，

∴AD=DC，

∴△ABD的周长−△CBD的周长

=(AB+AD+BD)−(BC+DC+BD)

=AB−BC

=8−6

=2(cm)，

∴△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，

故答案为：2．

根据三角形的中线的概念得到AD=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．13.【答案】2

解：∵点P(6−3a,a+1)在y轴上，

∴6−3a=0，

解得a=2．

故答案为：2．

直接利用y轴上点的坐标特点得出a−1=0，进而得出答案．

此题主要考查了点的坐标，熟知y轴上的点的横坐标为零是解题关键．14.【答案】(−1,−1)

解：过点A作AD⊥y轴于点D，则∠ADC=90°，

则∠ACD+∠CAD=90°，

∵B(2,0)，C(0,1)，

∴OB=2，OC=1，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠OCB=90°，

∴∠OCB=∠CAD，

∵∠BOC=∠CDA=90°，AC=BC，

∴△BOC≌△∠CDA(AAS)，

∴AD=OC=1，CD=BO=2，

∴OD=CD−OC=1，

∴点A的坐标是(−1,−1)．

故答案为：(−1,−1)．

过点A作AD⊥y轴于点D，则∠ADC=90°，证明△BOC≌△∠CDA(AAS)，则AD=OC=1，CD=BO=2，得到OD=CD−OC=1，即可得到点A的坐标．

此题考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质等知识，证明△BOC≌△∠CDA(AAS)是解题的关键．15.【答案】34

解：由c−a=10得c=a+10，

由a+b=8得a+b+c=a+18，

∵a+b=8及a≥−2b，

∴a≤16，

∴a的最大值为16，

∴a+b+c的最大值=18+16=34．

故答案为：34．

由c−a=10得c=a+10，与a+b=8相加得a+b+c=a+18，由a+b=8及a≥−2b，可得a的最大值为16，从而得出a+b+c的最大值．

本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出a+b+c的表达式，再求最大值．16.【答案】①③④

解：如图1过O作OH⊥BC于H，

∵BD平分∠ABC，OF⊥AB，

∴OF=OH，

∴S△BOC：S△BOE=12BC⋅OH12BE⋅OF=BCBE，故①正确；

∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE相交于点O，

∴∠OBC=∠OBA=12∠ABC，∠OCB=∠OCA=12∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=60°，

∴∠EOB=∠OBC+∠OCB=60°，

∴∠EOF=∠BOE−∠BOF，

∵∠OBF=12∠ABC，

∴∠BOF=90°−12∠ABC，

∴∠EOF=60°−(90°−12∠ABC)=12∠ABC−30°=12(∠ABC−60°)=12(∠ABC−∠A)，故②错误；

在BC上截取BM=BE，连接OM，

在△BOE和△BOM中，

BE=BM∠OBE=∠OBMOB=OB，

∴△BOE≌△BOM(SAS)，

∴OE=OM，∠EOB=∠BOM=60°，

∵∠COD=∠EOB=60°，

∴∠COM=180°−∠BOM−∠COD=60°，

∴∠COD=∠COM，

在△COD和△COM中，

∠COD=∠COMOC=OC∠OCD=∠OCM，

∴△COD≌△COM(ASA)，

∴CD=CM，

∴BE+CD=BC，故③正确；

∵△BOE≌△BOM，△COD≌△COM，

∴S△BOE=S△BOM，S△COD=S△COM，

∴S△BOE+S△COD=S△BOM+S△COM，=S△BOC，

17.【答案】解：(1)x+y=1①x+2y=4②，

②−①，得：y=3，

把y=3代入①，得：x+3=1，

解得：x=−2，

∴方程组的解为x=−2y=3；

(2)由题意将x=−2y=3代入ax+by=2中，得：

−2a+3b=2，

∴6b−4a=4，

∴6b−4a=【解析】(1)利用加减消元法解二元一次方程组；

(2)将方程组的解代入方程中，然后利用整体代入思想及算术平方根的概念求解．

本题考查方程的解及解二元一次方程组，理解方程的解的概念，掌握消元法解二元一次方程组的步骤，准确计算是解题关键．18.【答案】解：原式=5−3+5−2

【解析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．

此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．19.【答案】解：去分母：x−1−2≤2x，

移项，合并同类项：x≥−3，

把解集在数轴上表示出来

【解析】按照解一元一次不等式的步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算．

本题考查解一元一次不等式，熟记解题步骤是解题关键：去分母，移项，合并同类项，系数化为1．20.【答案】证明：∵BE=CF，

∴BF=CE，

∵AB/​/CD，

∴∠B=∠C，

在△ABF和△DCE，

AB=CD∠B=∠CBF=CE，

∴△ABF≌△DCE，

∴∠A=∠D【解析】欲证明∠A=∠D，只要证明△ABF≌△DCE即可；

本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．21.【答案】SSS

解：(1)如图，点D为所作；

(2)∵∠A=65°，∠ACB=75°，

∴∠B=180°−∠A−∠ACB=40°，

∴∠BCD=40°，

∴∠ADC=∠B+∠BCD=40°+40°=80°．

(1)利用基本作图，作一个角等于已知角实际上是作三边对应相等的两个三角形，然后根据全等三角形的性质得到对应角相等；

(2)先根据三角形内角和计算出∠B=40°，则∠BCD=40°，然后根据三角形外角性质计算∠ADC的度数．

本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．22.【答案】200

40

40%

10%

解：(1)∵抽查的学生总数为：60÷30%=200(人)，

∴样本容量为200，

故答案为：200；

(2)a=200−80−60−20=40，b=80200×100%=40%，c=20200×100%=10%，

补全频数分布直方图如下：

故答案为：40、40%、10%；

(3)估计该校参加此次活动获奖的人数为2000×(30%+10%)=800(人)．

(1)首先求得抽取的样本总数，据此可得样本容量；

(2)用样本容量减去其他小组的人数即可求得a值，用80除以样本容量即可求得b值，用20除以样本容量即可求得c的值，根据以上求得的数据补全统计图即可；

(3)用总人数乘以评比成绩在90分及以上(含9023.【答案】解：(1)设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，

根据题意，得：15x+9y=5700010x+16y=68000，

解得：x=2000y=3000，

答：清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；

(2)设m人清理养鱼网箱，则(40−m)人清理捕鱼网箱，

根据题意，得：2000m+3000(40−m)≤102000m<40−m，

解得：18≤m<20，

∵m为整数，

∴m=18或m=19，

则分配清理人员方案有两种：

方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；

方案二：19人清理养鱼网箱，【解析】(1)设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，根据A、B两村庄总支出列出关于x、y的方程组，解之可得；

(2)设m人清理养鱼网箱，则(40−m)人清理捕鱼网箱，根据“总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数”列不等式组求解可得．

本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系或不等关系，并据此列出方程或不等式组．24.【答案】3

解：(1)a=3.理由如下：

∵当x=3时，y=1，

∴方程3x+5y=14的一组整数解为：x=3y=1，

它的全部整数解x=3+5ty=1−3t(t为整数)，

∵方程3x+5y=14的全部整数解表示为：x=a+5ty=1−3t(t为整数)，

∴a=3．

故答案为：3；

(2)x=10y=5，x=10−7ty=5−19t(t为整数).理由如下：

∵19x−7y=155，

∴19x=7y+155，

∴x=7y+15519=7y+319+8，

∵x，y为整数，

∴y=1、2、3、4、5，分别代入验算，得：当y=5时，x=10．

∴原方程的一组整数解为x=10y=5，

∴原方程的全部整数解：x=10−7ty=5−19t(t为整数)；

(3)∵3x+2y=23，

∴3x=23−2y，

∴x=23−2y3=8−2y+13，

∵x，y为整数，

∴当y=1时，x=7，

∴原方程的一组整数解为x=7y=1，