2023-2024学年苏教版必修第二册 13-2-4　第一课时　两平面平行 学案

13.2.4平面与平面的位置关系第一课时两平面平行新课程标准解读核心素养借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面平行的判定定理与性质定理数学运算、逻辑推理、直观想象上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉.问题（1）展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？（2）上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？

知识点一两个平面的位置关系1.两个平面平行的定义如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行，平面α平行于平面β，记作α∥β.2.两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示α∥βα∩β＝a图形表示如果两个平面（不重合）有一个公共点，那么这两个平面是否相交？提示：相交.由基本事实3可知这两个平面相交，同时它们有且只有一条过该点的公共直线.知识点二两个平面平行的判定定理定理判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂αb⊂图形语言提醒判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：（1）平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P；（2）两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.1.如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.这种说法正确吗？提示：不正确.当两条直线平行时，这两个平面可以相交.2.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.这种说法正确吗？提示：不正确.当这些直线平行时，这两个平面可以相交.已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，则直线a，b的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面D.垂直解析：A根据面面平行的判定定理可知a，b相交.知识点三两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥βα⋂图形语言提醒对两平面平行性质定理的再理解：①用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（ⅰ）平面α和平面β平行，即α∥β；（ⅱ）平面γ和α相交，即α∩γ＝a；（ⅲ）平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可；②在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切直线”的错误.1.两平行平面内的直线是否相互平行？提示：不一定.已知两个平面平行，显然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行.它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线.2.平面平行有传递性吗？提示：有.若α，β，γ为三个不重合的平面，则α∥β，β∥γ⇒α∥γ.若α∥β，a⊂α，b⊂β，下列几种说法中正确的是（）①a∥b；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a∥β.A.①②B.②④C.②③D.①③④答案：B知识点四两个平行平面间的距离1.两个平行平面的公垂线和公垂线段与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.2.两个平行平面间的距离两个平行平面的公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离.提醒（1）两个平行平面间的距离是分别位于两个平面内的两点间距离的最小值，即当α∥β，M∈α，N∈β时，线段MN的最小值就是平面α与β间的距离；（2）空间中的七种距离：①两点间的距离，②点到直线的距离，③两条平行线间的距离，④点到平面的距离，⑤平行线面间的距离，⑥平行平面间的距离，⑦异面直线间的距离.已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为（）A.33B.3C.32D.6解析：A过B作BC⊥α于C（图略），则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin60°＝33.题型一平面与平面之间的位置关系【例1】平面α与平面β平行的条件可以是（）A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a∥α，a∥βC.直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD.α内的任何直线都与β平行解析当α内有无穷多条直线与β平行时，α与β可能平行，也可能相交，故不选A.当直线a∥α，a∥β时，α与β可能平行，也可能相交，故不选B.直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α时，α与β可能平行，也可能相交，故不选C.当α内的任何直线都与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D.答案D通性通法1.解答此类题目，要抓住定义，仔细分析，把自然语言转化为图形语言，根据所给的条件，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系.2.在作图时，利用正方体（或长方体）这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关的命题的真假.另外像判定直线与直线、直线与平面的位置关系一样，反证法也是判定两个平面位置关系的有效方法.下面给出了几个命题：①若一个平面内的一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；②若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；③若两个平面没有公共点，则这两个平面平行；④平行于同一条直线的两个平面必平行.其中，正确的命题是（请把正确命题的序号都填上）.

解析：①错误，若一个平面内的一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交；②正确，任何直线包括两条相交直线，故能判定两平面平行；③正确，由面面平行的定义可得知；④错误，平行于同一条直线的两个平面平行或相交.答案：②③题型二平面与平面平行的判定【例2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：（1）E，F，B，D四点共面；（2）平面MAN∥平面EFDB.证明（1）如图，连接B1D1.∵E，F分别是B1C1和C1D1的中点，∴EF∥B1D1.又BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面.（2）由题意知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，∴MN∥平面EFDB，连接MF，∵点M，F分别是A1B1与C1D1的中点，∴MFAD.∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF.∵AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.通性通法平面与平面平行的判定方法（1）定义法：两个平面没有公共点（不易操作）；（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.证明：∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴EG∥平面PAB，∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，∴平面PAB∥平面EFG.题型三面面平行的性质定理的应用【例3】如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.通性通法1.应用面面平行的性质定理时，注意把握关键条件：两平行平面与第三个平面形成的交线平行.必要时，注意通过作辅助线构造两平行平面.2.证明线线平行，除去定义法和平面几何法外，目前有以下三种方法：①平行公理，即由线线平行得到线线平行；②线面平行的性质定理，即由线面平行得到线线平行；③面面平行的性质定理，即由面面平行得到线线平行.如图所示，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.（1）求证：AC∥BD；（2）已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长.解：（1）证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.（2）由（1）得AC∥BD，所以PAAB＝PCCD，所以45所以CD＝154（cm），所以PD＝PC＋CD＝274（cm题型四线线、线面、面面平行的综合问题【例4】如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论.解当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1，∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.通性通法解决线线平行与面面平行的综合问题的策略（1）立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的；（2）线线平行线面平行面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：如图，连接BD，由题意可知，BD∩AC＝O，O为BD的中点，又P为DD1的中点，∴OP∥BD1，又BD1⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，∴BD1∥平面PAO，连接PC.∵PD1CQ，∴D1Q∥PC.又PC⊂平面PAO，D1Q⊄平面PAO，∴D1Q∥平面PAO.又D1Q∩BD1＝D1，∴平面D1BQ∥平面PAO.1.正方体的六个面中相互平行的平面有（）A.2对B.3对C.4对D.5对解析：B正方体中上、下底面互相平行，左、右侧面及前、后侧面互相平行，故选B.2.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是（）A.平行B.异面C.相交D.平行或异面解析：D因为α∥β，m⊂α，n⊂β，所以m与n无公共点，故m与n平行或异面.3.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（）A.一定平行B.一定相交C.平行或相交D.以上判断都不对答案：C4.设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是（）A.l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB.l⊂α，m⊂β，且l∥mC.l⊥α，m⊥β，且l∥mD.l∥α，m∥β，且l∥m解析：