2023-2024学年苏教版必修第二册 13-2-3　第一课时　直线与平面平行 学案

13.2.3直线与平面的位置关系第一课时直线与平面平行新课程标准解读核心素养借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面平行的判定定理与性质定理数学抽象、逻辑推理、直观想象门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面（墙面）存在不变的位置关系.问题（1）上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？（2）若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？

知识点一直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示若直线a在平面α外，那么直线a与平面α平行，这种说法是否正确？提示：不正确.直线a在平面α外，包括两种情况：直线a与平面α相交或平行.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A.一条直线不相交B.两条相交直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交解析：D根据直线和平面平行的定义，排除A、B.对于C，无数条直线可能是一组平行线，所以C也不正确.直线a与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，故D正确.知识点二直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.简记为：若线线平行，则线面平行符号语言a⊄αb⊂图形语言提醒线面平行判定定理的再理解：①线面平行的判定定理中的三个条件“a⊄α，b⊂α，a∥b”缺一不可；②线面平行的判定定理的作用：证明线面平行；③应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可.1.若一条直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？提示：不一定，直线有可能在平面内.2.如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？提示：直线有可能平行于平面或直线在平面内.能保证直线与平面平行的条件是（）A.直线与平面内的一条直线平行B.直线与平面内的无数条直线不相交C.直线与平面内的无数条直线平行D.直线与平面内的所有直线不相交解析：DA不正确，因为直线可能在平面内；B不正确；C不正确，直线也可能在平面内；D正确，因为直线与平面内所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行.知识点三直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.简记为：若线面平行，则线线平行符号语言l∥α图形语言提醒对线面平行性质定理的再理解：①线面平行的性质定理的条件有三个：（ⅰ）直线l与平面α平行，即l∥α；（ⅱ）平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝m；（ⅲ）直线l在平面β内，即l⊂β.三个条件缺一不可；②定理的作用：（ⅰ）线面平行⇒线线平行；（ⅱ）画一条直线与已知直线平行.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系？提示：平行或异面.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为（）A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点解析：A因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c，…，故选A.题型一直线与平面的位置关系【例1】下面三个命题中正确命题的个数是（）①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.A.0B.1C.2D.3解析如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AA'∥BB'，AA'却在过BB'的平面AB'内，故命题①不正确；AA'∥平面B'C，BC⊂平面B'C，但AA'不平行于BC，故命题②不正确；③中，假设α与b相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确.答案B通性通法1.在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏.2.解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.下列命题正确的个数为（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.3解析：B如图所示，借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD，所以命题②不正确；直线l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题③正确.题型二直线与平面平行的判定【例2】如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点.证明BC1∥平面A1CD.证明如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点.又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.通性通法1.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线.把握几何体的结构特征，合理利用几何体中的三角形的中位线，平行四边形对边平行等平面图形的特点是找线线平行关系的常用方法.2.用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤：已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.证明：如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，PMAB＝EPEA，QNCD∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，∴PMQN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.又∵PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.题型三线面平行性质定理的应用【例3】如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A'C'.（1）要经过平面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？解（1）如图，在平面A'C'内，过点P作直线EF，使EF∥B'C'，并分别交棱A'B'，D'C'于点E，F.连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线.（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C'相交于B'C'，所以BC∥B'C'.由（1）知，EF∥B'C'，所以EF∥BC.而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC.显然，BE，CF都与平面AC相交.通性通法1.通过线线平行与线面平行的相互转化，来证明线线平行是常用的解题思路.2.利用线面平行的性质定理解题的步骤1.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面PAHG交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又M是PC的中点，∴AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，知PA∥GH.2.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且SFSC＝λ，SA∥平面BEF.求实数λ的值解：如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG.∵SA∥平面BEF，SA⊂平面SAC，平面SAC∩平面EFB＝FG，∴SA∥FG，∴SFFC＝AG∵AE∥BC，∴△GEA∽△GBC，∴AGGC＝AEBC＝∴SFFC＝AGGC＝12，即SF＝13SC，∴1.（多选）两条直线a，b满足a∥b，b⊂平面α，则a与平面α的位置关系可以是（）A.a∥αB.a与α相交C.a与α不相交D.a⊂α答案：AD2.（多选）若直线a平行于平面α，则（）A.平面α内有且只有一条直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行C.平面α内存在无数条与a不平行的直线D.平面α内任意一条直线都与a平行解析：BC过直线a可作无数个平面与α相交，由直线与平面平行的性质定理可知，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确.平面α内存在与a不平行的直线，且有无数条，故C正确，D不正确.3.如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：D因为EF∥A'A，A'A⊂面A'ADD'，EF⊄面A'ADD'，所以EF∥面A'ADD'，同理EF∥面D'DCC'，EF∥面A'ABB'，EF∥面B'BCC'.4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E