2023-2024学年苏教版必修第二册 13-2-3　第二课时　直线与平面垂直 学案

第二课时直线与平面垂直新课程标准解读核心素养借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的判定定理与性质定理数学运算、逻辑推理、直观想象木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.问题（1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？（2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？

知识点一直线与平面垂直的定义1.定义：如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α.直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足.2.画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？提示：不一定垂直.直线可能落在平面内.直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是（）A.l和平面α相互平行B.l和平面α相互垂直C.l在平面α内D.不能确定解析：D如图所示，直线l和平面α相互平行、直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.故选D.知识点二点到平面的距离1.点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离.2.直线到平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离.知识点三直线与平面垂直的判定定理及性质定理1.判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m⊂α，n⊂α，则a⊥α图形语言2.性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言a⊥αb⊥α⇒图形语言作用①线面垂直⇒线线平行；②作平行线1.过一点有几条直线与已知平面垂直？提示：有且仅有一条直线.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点.这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.2.过一点有几个平面与已知直线垂直？提示：有且仅有一个平面.1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（）A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC解析：C由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.2.已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是（）A.b∥αB.b⊂αC.b⊥αD.b与α相交解析：C由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.知识点四直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线斜足斜线与平面的交点，如图中点Q有关概念对应图形斜线段斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段，如图中PQ射影如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影有关概念对应图形直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角.规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°提醒对直线与平面所成的角的三点说明：①点P是斜线上不同于斜足Q的任意一点，点P具有随意性；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段；③求一条直线与平面所成的角，可先作出直线在平面内的射影，从而得到直线与平面所成的角，再进一步求解.如图所示，AB是☉O的直径，PA⊥☉O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为.

解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在△ABC中，AC＝12AB＝12PA，即PA＝2AC，所以tan∠PCA＝PA答案：2题型一线面垂直的判定【例1】如图所示，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.求证：AN⊥平面PBM.证明因为AB为☉O的直径，所以AM⊥BM.又因为PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN.因为AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.（变设问）在本例条件下，若AQ⊥PB，Q为垂足，证明PB⊥平面ANQ.证明：由本例知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.通性通法证明线面垂直的方法（1）线线垂直证明线面垂直：①定义法（不常用，但由线面垂直可得出线线垂直）；②判定定理法：要着力寻找平面内的两条相交直线（有时作辅助线），结合平面图形的性质（如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等）及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直；（2）平行转化法：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.如图，在四面体P-ABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝234.F是线段PB上一点，CF＝151734，点E在线段AB上，且EF⊥PB.求证：PB⊥平面证明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝234，∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF.又EF⊥PB，EF∩CF＝F，∴PB⊥平面CEF.题型二线面垂直的性质定理的应用【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.通性通法证明线线平行的常用方法（1）利用线线平行的定义：证明共面且无公共点；（2）利用基本事实4：证明两线同时平行于第三条直线；（3）利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行；（4）利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.题型三求直线与平面所成的角【例3】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.解如图，连接BC1交B1C于点O，连接A1O，设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1，又因为BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD.所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影.所以∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.在Rt△A1BO中，A1B＝2a，BO＝22a所以BO＝12A1B，∠BA1O＝因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.通性通法求直线与平面所成角的步骤（1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，求PA与平面PBC所成角的正弦值.解：过A作AH⊥BC于H，连接PH，如图所示.∵PC⊥平面ABCD，AH⊂平面ABCD，∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC.∴∠APH为PA与平面PBC所成的角.在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，∴H为BC中点，AH＝3，∵PC＝AC＝2，∴PA＝22，∴sin∠APH＝AHPA＝6故PA与平面PBC所成角的正弦值为64点在平面内的射影位置的确定立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置确定，因此这个点的射影就是一个关键量.一般地，可以直接由这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助一些常见结论进行确定，如：（1）如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上；（2）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线；（3）在三棱锥A-BCD中，有下列结论：①若AB＝AC＝AD，则点A在平面BCD内的射影为△BCD的外心；②若点A到棱BC，CD，BD的距离相等，则点A在平面BCD内的射影为△BCD的内心；③若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在平面BCD内的射影为△BCD的垂心.这些结论为确定点、斜线在平面内的射影的位置提供了重要的方法和依据，为分析问题时的广泛联想提供了有力的支持.三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（）A.内心B.重心C.外心D.垂心解析：C如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OP，OA，OB，OC.三棱锥的三条侧棱两两相等，即PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心.1.已知直线l1⊥平面α，直线l2⊂平面α，则下列结论一定不正确的是（）A.l1，l2相交B.l1，l2异面C.l1∥l2D.l1⊥l2解析：C若l1∥l2，l1⊄α，l2⊂α，则l1∥α，这与l1⊥α矛盾，所以l1∥l2不正确.2.下列命题中正确的是（）A.如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥αB.如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αC.如果直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线D.如果直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直解析：D如图所示，直线l与α内的无数条直线垂直，但l与α斜交，故A不正确；同理B也不正确；同样由图可得，l不垂直于α，但α内有与l垂直的直线，且这样的直线有无数条，故C不正确，D正确.3.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是（）A.垂直B.相交但不垂直C.平行D.不确定解析：A因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直.故选A.4.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是（）A.60°B.45°C.30°D.120°解析