2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　第二章 1-2　第2课时　椭圆的简单几何性质的综合问题 学案

第2课时椭圆的简单几何性质的综合问题[学习目标]1.进一步熟悉求解椭圆方程的方法.2.会利用椭圆的几何性质解决一些简单的实际问题.3.了解代入法求解轨迹方程的方法．一、椭圆方程的设法例1根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)中心在原点，焦点在x轴上，且焦距为2eq\r(2)，与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1有相同离心率；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(－2，－4)．解(1)由题意，设所求椭圆的方程为eq\f(x2,6t)＋eq\f(y2,2t)＝1(t>0)，则6t－2t＝(eq\r(2))2，得t＝eq\f(1,2)，∴所求椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)①当焦点在x轴时，设椭圆方程为eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，则eq\f(4,4b2)＋eq\f(16,b2)＝1，解得b2＝17，所以此时椭圆方程为eq\f(x2,68)＋eq\f(y2,17)＝1；②当焦点在y轴时，设椭圆方程为eq\f(y2,4b2)＋eq\f(x2,b2)＝1(b>0)，则eq\f(16,4b2)＋eq\f(4,b2)＝1，解得b2＝8，所以此时椭圆方程为eq\f(y2,32)＋eq\f(x2,8)＝1，所以椭圆方程为eq\f(x2,68)＋eq\f(y2,17)＝1或eq\f(y2,32)＋eq\f(x2,8)＝1.延伸探究若将本例(1)中的条件“焦点在x轴上”去掉，其他条件不变，求椭圆方程．解当焦点在x轴上时，由本例(1)知椭圆方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1，当焦点在y轴上时，设椭圆方程为eq\f(y2,6t)＋eq\f(x2,2t)＝1(t>0)，由6t－2t＝(eq\r(2))2得t＝eq\f(1,2)，所以椭圆方程为eq\f(y2,3)＋x2＝1，所以所求椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1或eq\f(y2,3)＋x2＝1.反思感悟(1)与eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝t(t>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝t(t>0)；(2)与eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同焦距的椭圆方程可设为eq\f(x2,a2－k)＋eq\f(y2,b2－k)＝1(k<b2)或eq\f(y2,a2－k)＋eq\f(x2,b2－k)＝1(k<b2)．跟踪训练1根据下列条件求椭圆的标准方程．(1)与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同离心率且经过点(2，－eq\r(3))；(2)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为eq\f(\r(5),5).解(1)当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t(t>0)，∵椭圆过点(2，－eq\r(3))，∴t＝eq\f(22,4)＋eq\f(－\r(3)2,3)＝2，∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1；当焦点在y轴上时，设方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝m(m>0)，∵椭圆过点(2，－eq\r(3))，∴m＝eq\f(25,12)，∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.(2)椭圆方程4x2＋9y2＝36可化为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴c＝eq\r(5).又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，∴a＝5，b＝eq\r(25－\r(5)2)＝2eq\r(5)，则所求椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,20)＝1.二、椭圆简单几何性质的实际应用例2(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是()A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2C.eq\f(c1,a1)<eq\f(c2,a2) D.eq\f(c1,a1)>eq\f(c2,a2)答案BD解析由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，aeq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,1)＋2a2c1，所以aeq\o\al(2,1)－ceq\o\al(2,1)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)－ceq\o\al(2,2)＋2a2c1，即beq\o\al(2,1)＋2a1c2＝beq\o\al(2,2)＋2a2c1，由图可得，beq\o\al(2,1)>beq\o\al(2,2)，所以2a1c2<2a2c1，eq\f(c2,a2)<eq\f(c1,a1)，所以C错误，D正确．反思感悟解决和椭圆有关的实际问题的思路(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．(3)用解得的结果说明原来的实际问题．跟踪训练2某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8eq\r(7)米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米．答案32解析设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,36)＝1，当点(4eq\r(7)，4.5)在椭圆上时，eq\f(16×7,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2,36)＝1，解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米．三、代入法求轨迹方程例3已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－eq\r(3)，0)的距离与它到定直线l：x＝－eq\f(4\r(3),3)的距离之比为常数eq\f(\r(3),2).(1)求动点M的轨迹Q的方程；(2)设点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，若P是(1)中轨迹Q上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程．解(1)设动点M(x，y)，由已知可得eq\r(x＋\r(3)2＋y2)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4\r(3),3)))，即x2＋2eq\r(3)x＋3＋y2＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(8\r(3),3)x＋\f(16,3)))，化简得eq\f(x2,4)＋y2＝1，即所求动点M的轨迹Q的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设B(x，y)，P(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0＋\f(1,2),2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－1，,y0＝2y－\f(1,2)，))由点P在轨迹Q上，得eq\f(2x－12,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y－\f(1,2)))2＝1，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,4)))2＝1，∴线段PA的中点B的轨迹方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,4)))2＝1.反思感悟(1)直接法求轨迹方程求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示．(2)相关点法求轨迹方程求轨迹方程时，关键是要找到所求动点与相关动点之间的等量关系．(3)定义法求轨迹方程观察图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程．注意要检验是否有要删除的点．跟踪训练3(1)已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(MQ,\s\up6(→))，则动点M的轨迹方程是()A．(x－3)2＋2(y－3)2＝1B．(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1C．(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9D．(x－1)2＋2(y－1)2＝9答案B解析设动点M(x，y)，Q(m，n)，∵eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(MQ,\s\up6(→))，P(－4，－4)，即(x＋4，y＋4)＝eq\f(1,3)(m－x，n－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4＝\f(1,3)m－x，,y＋4＝\f(1,3)n－y，))化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4x＋3，,n＝4y＋3.))又Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上，故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16，即(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1.，求点C的轨迹．解由sinB＋sinA＝eq\f(5,4)sinC，可知b＋a＝eq\f(5,4)c＝10(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，即|AC|＋|BC|＝10>|AB|＝8，满足椭圆的定义．令椭圆方程为eq\f(x2,a′2)＋eq\f(y2,b′2)＝1(a′>b′>0)，则a′＝5，c′＝4⇒b′＝3，则轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(x≠±5)，图形为椭圆(不含左、右顶点)．1．知识清单：(1)椭圆方程的设法．(2)实际生活中的椭圆问题．(3)求轨迹方程．2．方法归纳：待定系数法、代入法、分类讨论．3．常见误区：求椭圆方程未确定焦点在哪个轴上时不讨论而致误．1．椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的最大值是()A．2B．3C．4D．6答案D解析由题意可得a＝4，c＝eq\r(16－12)＝2，则|PF|≤a＋c＝6.所以|PF|的最大值是6.2．过点(2,1)，焦点在x轴上且与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同的离心率的椭圆方程为()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,\f(4,3))＝1 B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(x2,\f(16,3))＋eq\f(y2,4)＝1答案D解析设所求椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝λ(λ>0)，又由椭圆过点(2,1)，可得eq\f(22,4)＋eq\f(12,3)＝λ，解得λ＝eq\f(4,3)，即所求椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝eq\f(4,3)，即eq\f(x2,\f(16,3))＋eq\f(y2,4)＝1.3.万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为______cm.答案20解析因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，所以eq\f(c大,a大)＝eq\f(c小,a小)，即eq\r(\f(a\o\al(2,大)－b\o\al(2,大),a\o\al(2,大)))＝eq\r(\f(a\o\al(2,小)－b\o\al(2,小),a\o\al(2,小))).所以eq\r(\f(202－102,202))＝eq\r(\f(a\o\al(2,小)－52,a\o\al(2,小)))，解得a小＝10.所以小椭圆的长轴长为20cm.4．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),2)eq\o(DP,\s\up6(→)).当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是____________．答案eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1解析设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0,0)，∵eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),2)eq\o(DP,\s\up6(→))，即(x－x0，y)＝eq\f(\r(3),2)(0，y0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0，,y＝\f(\r(3),2)y0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x，,y0＝\f(2,\r(3))y，))∵点P在x2＋y2＝4上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，∴x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))y))2＝4，∴点M的轨迹方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.1．德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是()A.eq\f(1,59)B.eq\f(2,59)C.eq\f(29,59)D.eq\f(30,59)答案A解析设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意可得eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(29,30)，整理得a＝59c，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,59).∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是eq\f(1,59).2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1答案B解析椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq\r(5))，故可设所求椭圆的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq\r(5)，又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,6)＝1.3．(多选)经过点M(1,2)且与椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1有相同离心率的椭圆方程为()A.eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,\f(9,2))＝1 B.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1 D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1答案CD解析当焦点在x轴上时，设椭圆方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝t1(t1>0)，将M(1,2)代入得，t1＝eq\f(1,12)＋eq\f(4,6)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)，故所求椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1，当焦点在y轴上时，设椭圆方程为eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝t2(t2>0)，将(1,2)代入得t2＝eq\f(1,2)，故椭圆的方程为eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1.4．某月球探测器发射后顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，近月点与月球表面的距离为100km，远月点与月球表面的距离为400km.已知月球的直径约为3476km，则该椭圆形轨道的离心率约为()A.eq\f(1,25)B.eq\f(3,40)C.eq\f(1,8)D.eq\f(3,5)答案B解析由题意知月球半径为eq\f(1,2)×3476＝1738(km)．设A为近月点，B为远月点，F为月球的球心，如图所示．则|AF|＝100＋1738＝1838(km)，|BF|＝400＋1738＝2138(km)，故2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988.又a＋c＝2138，所以c＝2138－1988＝150，故椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(150,1988)≈eq\f(3,40).5．设A1，A2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的长轴的两个端点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1答案C解析设交点为P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，∵A1，P1，P共线，∴eq\f(y0,x0＋3)＝eq\f(y,x＋3)，①∵A2，P2，P共线，∴eq\f(－y0,x0－3)＝eq\f(y,x－3).②①×②得eq\f(－y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－9)＝eq\f(y2,x2－9)，③∵P1(x0，y0)在椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上，∴eq\f(x\o\al(2,0),9)＋eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1，∴yeq\o\al(2,0)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),9)))，将yeq\o\al(2,0)代入③得eq\f(y2,x2－9)＝－eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),9))),x\o\al(2,0)－9)＝eq\f(4,9)，∴P的轨迹方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，1))答案C解析当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为eq\r(122＋62)＝6eq\r(5)(厘米)，短轴长为6厘米，∴椭