【数学】2023-2024学年高一上人教A版（2019）必修第一册 两角和与差的正弦、余弦公式

第五章三角函数第二课时两角和与差的正弦、余弦公式课标要求1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角差(和)的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简.素养要求理清两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系，熟悉公式的特征，完善知识结构，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.问题导学预习教材必备知识探究内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU问题导学预习教材必备知识探究1一、两角和的余弦公式1.问题你能利用两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式吗？

提示

以－β代替公式C(α－β)中的角β.2.填空

cos(α＋β)＝_______________________，其中α，β∈R.

温馨提醒

两角和与差的余弦公式的记忆为：“余余正正，符号相异”.①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦，正弦乘正弦，②“符号相异”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相异.cosαcosβ－sinαsinβA3.做一做

cos22°cos38°－sin22°sin38°的值为(

)二、两角和与差的正弦公式1.问题

(1)如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？(2)怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？提示

在两角和的正弦公式中，以“－β”代替β.2.填空

(1)两角和与差的正弦公式简记公式S(α＋β)sin(α＋β)＝_______________________________S(α－β)sin(α－β)＝_______________________________sinαcos__β＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ(2)记忆口诀：“正余余正，符号相同”.×4.思考辨析正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)sin(α＋β)＝sinα＋sinβ

一定不成立.(

)(2)sin(α－β)＝sinα－sinβ恒成立.(

)××√HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2例1

(1)cos70°cos50°＋cos200°cos40°的值为(

)B题型一公式的正用和逆用解析

法一原式＝sin20°sin40°－cos20°cos40°＝－(cos20°cos40°－sin20°sin40°)法二原式＝cos70°sin40°－cos20°cos40°＝sin40°cos70°－sin70°cos40°＝sin(40°－70°)＝sin(－30°)＝－sin30°探究解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.(2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.思维升华训练1

(1)sin245°sin125°＋sin155°sin35°的值是(

)B解析

原式＝－sin65°sin55°＋sin25°sin35°＝－cos25°cos35°＋sin25°sin35°＝－cos(35°＋25°)＝－cos60°题型二给值求值所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]1.给角求值：解题关键是正确选用和差角的正弦余弦公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.2.给值求值：解题关键是找出已知式子与待求式子之间的联系及函数名称和结构的差异.一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角.思维升华所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)题型三给值求角∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ又因为α，β均为锐角，思维升华解

因为α和β均为钝角，由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ课堂小结TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分层精练核心素养达成31.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为(

)A解析

－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°解析

由2tanα·sinα＝3，BC∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα两式相加可得2cosαcosβ＝0，即cosαcosβ＝0.ABD6.已知cosαcosβ－sinαsinβ＝1，那么sinαcosβ＋cosαsinβ＝________.解析

由题设，得cos(α＋β)＝1.∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)＝0.5则0<α－β<π.则sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ解

∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinαA求：(1)cos(2α－β)的值；所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)(2)β的值.解

cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinα·sin(α－β)14.“在△ABC中，cosAcosB＝________＋sinAsinB”，已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c