椭圆单元教学设计

椭圆单元教学设计一、内容和内容解析1．教学内容：教学内容课时设计椭圆的定义1课时椭圆的标准方程1课时椭圆的简单几何性质约3课时直线与椭圆的位置关系约2课时2．内容解析：内容的本质：本单元采用研究直线与圆所用的坐标法，在研究椭圆几何特征的基础上，建立其方程，通过方程用代数的方法研究椭圆的性质，研究直线与椭圆的位置关系.蕴含的思想和方法：在用代数的方法研究椭圆的性质，研究直线与椭圆的位置关系的过程中，进一步感受函数与方程思想，感受“数形结合”的基本思想，体会坐标法的魅力与威力，初步认识“设而不求”思想在解析几何中的妙用.知识的上下位关系：育人价值：通过对椭圆的学习，一方面使学生感悟到数学的美学价值，弘扬中华美育精神，另一方面渗透数学辨证思想，树立辩证唯物主义世界观，椭圆本身就是数形结合的代表，在教学中，引导学生从数的角度认识椭圆，再从形的角度揭示椭圆的本质.充分利用数形结合将对立的双方统一起来，让学生在学习椭圆的同时，学会建立对立统一的观念.椭圆可以看作是静止的图形，也可以看作是点运动产生的轨迹.因此，在椭圆的教学中，引导学生动手操作，从动的角度发现曲线中的数量关系，再在静止中寻找其中的规律，做到两者互相转化，真正体会“静中有动、动中有静”的辩证关系，在解题中擅于利用这种运动变化的辩证关系，让学生在学习椭圆中培养出运动变化观.教学重点：掌握椭圆的基本方程与基本性质，理解坐标法的基本思想。二、目标和目标解析1．目标：（1）了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）经历从具体情形中抽象出椭圆模型的过程，理解并掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质；（3）能用坐标法解决一些与椭圆有关的几何问题（直线与椭圆的位置关系）和实际问题；（4）通过椭圆学习，进一步提升数学运算素养，体会数形结合思想在解题中的应用.2.目标解析：（1）学生感受到椭圆与现实世界的密切联系，明白了数学来源于生活，体会到从具体情境抽象出一般规律的思想；（2）学生能清晰描述椭圆几何特征，会用数学语言表征椭圆，能结合具体问题建立坐标关系，推导出椭圆的标准方程，知道a、b、c的几何含义及其关系，会根据条件求椭圆的标准方程；（3）学生能根据椭圆的标准方程探求椭圆的顶点、范围、对称性等几何性质，会用离心率描述椭圆形状，能用椭圆方程解决简单实际问题；（4）学生能类比应用解决直线与圆的位置关系的方法，解决直线与椭圆的位置关系，体会方程函数思想在解题中的应用，并提高运算求解能力，进一步体会数形结合思想，运用几何直观去解决复杂繁琐的问题.三、教学问题诊断分析（1）教师教学经验分析椭圆是圆锥曲线不可或缺的部分，是高中圆锥曲线的主要内容，但这部分所涉及到的知识点特别多，难度也相当大。在高中数学圆锥曲线这章教学大纲规定14课时，其中椭圆5课时，3.1.1椭圆及其标准方程2课时，3.1.2椭圆的简单几何性质3课时，这样的安排让老师无所适从，如果要多加些练习、例题或者进行适当的拓展，势必造成课时紧张，但是不加课时或者不进行拓展，学生学习就很困难，何况这一单元作业题难度也比较大，不讲学生就不一定弄得清楚，一旦积累势必造成学生心理上的负担，甚至打击学生的信心.因此很多老师在这一单元教学时会做出适当拓展，比如焦点三角形、直线与椭圆的位置关系、设而不求求解综合问题等，同时在教学中注重知识的构建，为双曲线抛物线的教学打下基础.（2）学生本单元认知障碍椭圆不仅仅是圆锥曲线的主要内容，同时对后续双曲线抛物线的学习有承上启下的作用，在高考中也占有很大比重.但纵观本校各届学生，该单元得分一直不太理想，究其原因学生学习椭圆存在如下难关,一是心理上的难关，学生看到是解析几何，就认为是难题，于是浅尝辄止甚至直接放弃；二是知识上的难关，学生对椭圆的定义的理解不到位，对相应方法不熟练而造成失分；三是计算上的难关，解析几何最难的地方就在于复杂的计算，学生普遍计算能力不强，选择方法不当均会造成无法完整解答.（3）教学中椭圆实际背景的引入分析鉴于我校学生的实际水平，在椭圆的定义的引入过程中，要注意使用比较直观、形象的教具或者模型，首先让学生在感性上有一定的认识，然后再慢慢上升到理性认识，逐渐在大脑中形成正确清楚的概念。教师可以从我们生活中的宇宙中太阳、地球、人造卫星等的运动轨道说起，再到大家喜欢吃的火腿肠或者黄瓜切片及一些与生活中贴近的实例，让学生直观了解椭圆，再让学生动手实践画椭圆，也可用几何画板展示椭圆的画法，让学生根据圆的定义推出椭圆的定义.教师因势利导，提问“到两定点的距离的和为定长的点的轨迹一定是椭圆吗？”，让学生改变两定点间的距离或者绳长，再次观察轨迹形状，从而彻底挖掘椭圆定义的内涵，这样的引入会让学生对椭圆的严格定义深深地刻在心中.（4）注意标准方程中参数的几何性质，注重几何要素代数化的过程关于椭圆方程问题，处理思路大致有两种：一是确定曲线类型后，写出标准方程（含参），然后根据已知条件求出参数；另一类是先确定椭圆的几何要素，再对几何要素根据题意代数化，最后得出结论写出方程.其中第一种偏向代数（实质就是待定系数法），第二组偏向几何，在教学中偏向几何的思路往往会被老师和学生忽略，因此我们要注重几何要素代数化，要懂得利用几何图形，有时几何图形可以直观帮助我们思考问题，避免一些复杂计算，比如教材107页例1.椭圆是学习的第一种圆锥曲线，其方法要延伸到双曲线与抛物线中去，因此椭圆几何性质的学习要重视几何图形的特征，既注重“代数”，又重视“几何”.（5）椭圆离心率的理解是难点离心率的概念比较抽象，如果单纯由教师灌输式的讲解，学生可能会理解不到位，因此可以把课堂交给学生，让学生自己去探究实验，然后讨论得出结果，充分反应“教师为主导，学生为主体”的思想，在学生讨论的基础上并追问a/b,b/c可以刻画扁平程度吗？这样整个过程都是学生在展开，而不是教师强加灌输，避免学生的逆反心理.（6）直线与椭圆的位置关系是重点也是难点学生已经学习了大约4-5节课程的椭圆知识，但是大部分学生对椭圆涉及到的大题还处于初级阶段，解题信心不足，学生要明确直线与椭圆相交、相切、相离三种位置关系时的条件，要会解决焦半径、弦长、切线等问题，要领悟解决这一类问题的套路，即“设而不求”、“方程思想”、“数形结合”等思想，多总结归纳，增强解决该类问题的信心.（7）学生认知难关突破椭圆的学习对学生的能力要求较高，特别是数形结合、化简、等价转化等能力要求较高，所以在教学中要注意引导方法，保持学生学习热情.要循序渐进因材施教突破心理难关，要紧扣四基、分解难点，突破知识难关，还要精选例题，对比总结，突破计算难关.学生要有耐心、信心、恒心，不能急于求成，要有迎难而上的精神，这样才能取得理想的成绩.四、教学支持条件分析在新课改形式下，椭圆教学要求不可避免发生一定程度的改变，从新课改要求来看，探索更新颖、更科学、更高效的教学形式已成为必然趋势，线上线下融合教学已成为热点。基于本单元教学设计，本节教学要借助多媒体，利用幻灯片及学生手中的细绳、胶带，演示椭圆的生成过程，帮助学生巩固旧知并理解新知，增强学生的想象能力，提高学生学习兴趣，使学生更好地认识椭圆，培养学生几何直观能力，促进对知识的理解。本单元还要准备软件《GeoGebra》或者《几何画板》辅助教学，从而更直观的认识椭圆，了解椭圆.五、课时教学设计第1课时（一）课时教学内容3.1.1椭圆及其标准方程（二）课时教学目标1.在课堂情景中，通过实物演示绳子端点处铅笔在不同的定点作为参照画出的运动不同的运动轨迹，感受从圆的轨迹过渡到椭圆的轨迹的过程，从而引出椭圆的定义，提高学生的数学建模的核心素养，类比思想，观察能力和探索能力.2.在引导学生寻求椭圆的标准方程的过程中，感受构建一个几何与解析两体系能相互融合，相互探索的世界，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用，提升数学运算的核心素养.3.在经历例题讲解的过程中，体会椭圆的标准方程与焦点在轴与轴的不同差异，从而提升解决问题的能力，提高数学运算的核心素养.（三）教学重点与难点重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式.难点：椭圆标准方程的建立和推导.关键：掌握建立坐标系统与根式化简的方法.椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容，一是椭圆定义，二是椭圆的标准方程，椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中，先要学习的内容，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，对双曲线和抛物线的教学中巩固和应用，先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线是非常重要的。学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当是导致“标准方程的推导”成为教学难点的直接原因。为突破难点，在设计中通过课堂精心设问，逐步引导，这样，椭圆方程的化简这一难点也就迎刃而解.（四）教学过程设计1、教法建议〈1〉安排学生提前预习，动手切割圆锥形的事物，使学习了解圆锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子.〈2〉对椭圆定义的引入，要注重于借助直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，进而形成正确的概念.〈3〉将课本提出的问题分解成若干小问题，通过学生、教师动手演示，来体现椭圆定义的实质.〈4〉注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系.〈5〉推导椭圆的标准方程时，教师要注重化解难点，实施的补充根式化简方法.〈6〉讲解完焦点在轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程.然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识.〈7〉在学习新知识的基础上要巩固旧知识.〈8〉要突出教师的指导作用，又要强调学生的主体作用，课堂上尽量让全体学生参与讨论.由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生团结协作的团队精神.2、课前准备<1>、每人准备一根细绳、一卷胶带.<2>、课本等.3、教学基等本流程小结与布置作业例题及练习回忆圆的定义，及画法根据条件，建立椭圆的标准方程类比画出椭圆，引出椭圆定义小结与布置作业例题及练习回忆圆的定义，及画法根据条件，建立椭圆的标准方程类比画出椭圆，引出椭圆定义4、教学过程设计问题设计意图师生活动1、我们在初中以及本书第二章中，已学习圆的知识，请同学们用集合的观点叙述圆的定义？在数学学习中，我们可以用类比的思想方法，由学习熟悉的知识引入新的知识，体会旧知引新知的过程.教师在黑板上，分别用圆规画圆；用线绳画圆.让学生观察、回答圆的定义.问题设计设计意图师生活动2、刚才通过固定一个点，将铅笔套在细绳边缘得到的轨迹是圆，如果把细绳两端拉开，分别固定，套上铅笔，拉紧绳子，画出的轨迹是什么呢？通过将一个定点改变为两个定点，引出椭圆的轨迹，让学生从根本上了解椭圆是如何产生的，并将两个定点抽象成焦点，观察椭圆轨迹产生过程中不变量，为引出椭圆的定义做铺垫，体会从实物抽象成数学符合的过程，提升数学抽象的核心素养.学生思考、试验.教师可提示采用线绳画.〈1〉固定在两点、，〈2〉细绳长用表示〈3〉套上铅笔，拉动细绳移动笔尖.圆需要关注什么因素.3、通过画椭圆观察这条曲线上所有点满足的几何条件是什么？提高学生观察能力、归纳总结能力，为形成椭圆定义奠定基础.分析画图过程中的“变”与“不变”的条件都在变化，但的长度保持不变.问题设计设计意图师生活动5、如何描述动点所满足的几何条件.在整理试验的过程中，归纳抽象成数学问题.把平面内与两个定点，，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点；两点间的距离叫做椭圆的焦距（板书）.6、如何用集合表示点所满足的几何条件.学生感受用数学语言描述椭圆的定义，为推导椭圆标准方程做铺垫.学生回答：教师板书7、椭圆是由点组成，点可以联系到直角坐标系里，用坐标表示出来，因此，椭圆也有方程式表示，不同的原点有不同的方程式，我们怎样建立坐标系，使椭圆的方程式更简单呢？通过寻求椭圆的标准方程的推导，学生逐渐构建一个几何与解析相互融合的体系，推导曲线方程时，建立坐标系要适当，提高学生的逻辑思维能力.师生共同分析椭圆的特征（如：对称性），使方程比较简单；以线的中心为原心，以垂直平分线为轴，建立直角坐标系.完成“建系”，设动点是椭圆上的任意一点，（强调任意性）椭圆的焦距为，则又设与的距离和等于（板书）问题设计设计意图师生活动8、请同学们来表示到的距离运用已学过的两点距离公式，得出具体距离公式，为推导标准方程做准备.由得9、如何整理化简上式.在预知此点是本节课的难点时，充分运用学生主观能动性，先让学生尝试，在遇到困难时，适当的提示学生，化简出正确式子。在此过程中，学生通过在一个困难的地方转换思路，思维得到很大的提升，同时学生数学运算能力也得到提高.找两位同学板演，其余同学自己完成，化简到：遇到学生卡顿，就适当提醒，共同化简出：10、观察下图，找出表示、、的线段确定、、的几何定义及其关系,体现数形结合的思想.通过观察轴是的中垂线，到的距离相等，，被轴平分，所以：，，由，令,，即：代入得椭圆形标准方程：根据上图知：问题设计设计意图师生活动11、对于椭圆形标准方程的特点是什么？还有什么结论。适时总结归纳，区分焦点在轴与轴的不同.学生讨论，教师板书。<1>的焦点在轴上；<2>（结论）12、P107思考推导焦点在轴上的椭圆标准方程，巩固推导过程，提高学生的运算，类比能力.学生已有推导焦点在x轴上的椭圆标准方程的经验，教师通过以下几点引导，由学生完成〈