《离散数学》第四章1-2节

第四章函数函数是一个基本的数学概念，在通常的函数定义中，y=f(x)是在实数集上讨论，在这里函数的概念得到了推广，把函数看成是一种特殊的关系。本章主要介绍函数的基本概念、特殊类型的函数及函数的复合运算和逆运算。整理ppt通过本章学习，应该掌握以下内容：（1）函数的基本概念（2）入射、满射和双射函数

（3）逆函数和复合函数

整理ppt4-1函数的概念一、函数的基本概念定义4-1.1设X和Y是任意两个集合，而f是X到Y的一个关系，如果对于每一个x∈X，有唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f，称关系f为函数记为：f:X→Y或X Y一种特殊的二元关系

<x,y>∈f也记为y=f(x)，

且记f(X)={f(x)|x∈X}读作：f是X到Y的函数或X到Y的函数f

假如<x，y>∈f，则称x为自变元

(y在f下的原象)

y为在f作用下x的象

整理ppt例设A={a，b，c，d}，B={1，2，3，4}判断下列关系是否为函数abcd2134f1abcd2134f2abcd2134f3abcd2134f4整理ppt函数与关系的区别(1)函数的定义域是X，而不是X的某个真子集(2)一个x∈X，只能对应唯一一个y

(3)函数中序偶的个数与其定义域中元素的个数是否相等？在函数f中，f的前域是函数y=f(x)的定义域；f的值域是Y的子集。即domf=X，ranf

Y(Rf)。Rf={y|(x)(x∈X)∧y=f(x)}，其中，集合Y称为f的共域，ranf也称为函数的象集合。设A，B为集合，如果f为函数，且domf=A,ranf

B,则称f为从A到B的函数，记作f:A→B。整理ppt一般关系domRranRx1x2x6x7

y3

y5y6

x3x4x5y1y2y4函数domfranf共域x1x2x3x4

y3

y5y6

y1y2y4整理ppt例3判断下列关系中哪个能构成函数

a.b.c.y1=y22例1设X={1，5，p，张明}，Y={2，q，7，9，G}，满足f(1)=2，f(5)=q，f(q)=7，f(张明)=G，求domf和Rf整理ppt函数相等的定义定义4-1.2设函数f：A→B，g：C→D,如果A=C，B=D，且对于所有x∈A和x∈C有f(x)=g(x),则称函数f和g相等，记作f=g

函数与笛卡尔积的关系例设X={a,b,c},Y={0,1}X×Y={<a,0>,<b,0>,<c,0>,<a,1>,<b,1>,<c,1>}，考虑其子集有多少个函数？如何写出这些函数？若集合X和Y中分别有m和n个不同的元素，则共可构成nm个从X到Y的函数。常用符号YX表示从X到Y的所有函数的集合。整理ppt二、函数的特殊情况定义4-1.3设函数f：X→Y，(1)若ranf=Y，则称f是满射的。即对任意y∈Y，必存在x∈X使f(x)=y(2)X中没有两个不同的元素有相同的象，则称f是入射的（单射）。即对于任何的x1,x2∈X，x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，。(3)若f既是满射的又是入射的，则称f是双射的(一一对应)。若f是一个满射，则f(X)=Y,则|f(X)|=|Y|若f是入射，则|X|=|f(X)|整理ppt例1若f:{a,b,c,d}→{1,2,3}(1)f(a)=1，f(c)=3，f(d)=2(2)f(a)=1，f(b)=2，f(c)=3,f(d)=2例2若f:{a,b}→{2,4,6}为f(a)=4，f(b)=6;(2)f(a)=4，f(b)=4例3若f:Z→Z,

f(x)=x+1整理pptabcdeabcdeabcdexyzmxyzmnoxyzmn例4找出下列关系图中的满射、入射和双射abcdexyzo整理ppt练习：判断下列函数是否为满射、单射或双射的，为什么？

(1)f:R→R,f(x)=x

(2)f:N→N×N,f(x)=<x,x+1>1

(3)f:S→R,S=[0,+∞),f(x)=x+11

(4)f:S→R+,S=(0,1),f(x)=xKEY:

(1)满射的，单射的，双射的

(2)不是满射的，是单射的

(3)不是满射的，是单射的

(4)不是满射的，是单射的整理ppt证明:(1)若f是入射，则|X|=|f(X)|,则|Y|=|f(X)|

假设在Y中存在一个元素在X中没有与之对应的象,则∵f(X)

Y，∴|f(X)|<|Y|出现矛盾∴f是满射。(2)若f是一个满射，则f(X)=Y,则|f(X)|=|Y|∵|X|=|Y|∴|f(X)|=|X|

假设在X中存在有两个不同元素的象相同，则|f(X)|<|X|，这与|f(X)|=|X|相矛盾∴f是一个入射。定理4-1.1令X,Y为有限集，若X,Y的元素个数相等，即|X|=|Y|，则f:X→Y是入射的，当且仅当它是一个满射。整理ppt一.逆函数例(1)令f：{1,2,3}→{a,b,c}，且f={<1,a>，<2,a>，<3,b>}(2)令f：{1,2,3}→{a,b}，且f={<1,a>，<2,a>，<3,b>}(3)令f：{1,2,3}→{a,b,c}，且f={<1,a>，<2,b>，<3,c>}

求fc

4-2逆函数和复合函数函数的逆不一定是函数对于什么样的函数f:A→B的逆f-1才是从B到A的函数呢？整理ppt定义4-2.1设f:X→Y是一双射函数，称Y→X的双射函数fc为f的逆函数，记为f-1。(反函数）例设A={1，2，3}，B={a,b,c},f:A→B,为

f={<1,a>,<2,c>,<3,b>},f-1={<a,1>,<c,2>,<b,3>}函数若有逆函数，则必为双射，且逆函数也是双射的定理4-2.1设f:X→Y是双射的，则fc

是从Y到X的双射函数。整理ppt二、复合函数1、复合函数定义定义4-2.2设函数f:X→Y,g:W→Z,若f(X)⊆W，则称g在函数f的左边可复合。gºf:X→Z例设X={1，2，3}，Y={p,q},W={p,q,r}，Z={a,b}，且

f={<1,p>,<2,p>,<3,q>},g={<p,b>,<q,b>},h={<p,a>,<r,b>,<q,b>}

求：gºf，hºf在上述定义中，若不满足ranf⊆domg，则定义gºf=

整理ppt与关系复合的区别若g(y)=z，f(x)=y，则有gºf(x)=g(f(x))=g(y)=z

gºf={<x,z>|……}两函数复合后是否仍是一个函数？复合关系，表示为RºS={<x,z>|x∈X∧z∈Z∧(

y)(y∈Y∧<x,y>∈R∧<y,z>∈S)}定理4-2.2两个函数的复合是一个函数。整理ppt简单地说，若f(a)=b,g(b)=c，则gºf(a)=g(b)=c据复合函数的定义，显然有gºf(x)=g(f(x))整理ppt2、复合函数性质定理4-2.3令gºf是一个复合函数a)若g和f是满射的，则gºf是满射的。证明：设f:X→Y，g：Y→Z。对于

z∈Z，因g是满射，故

y∈Y，使g(y)=z，又f是满射，故

x∈X，使f(x)=y；因此有

gºf(x)=g(f(x))=g(y)=z，即Rgºf=Z，gºf是满射的。

b)若g和f是入射的，则gºf是入射的。c)若g和f是双射的，则gºf是双射的。整理ppt例2设R为实数集合,对x∈R有f(x)=x+2,g(x)=x-2,h(x)=3x。

求：gºf，hº(gºf)和(hºg)ºf

函数的复合满足结合律，即hº(gºf)=(hºg)ºf=hºgºf整理ppt定义4-2.4如果Ix={<x,x>|x∈X},称函数Ix：X→X为恒等函数。3、特殊的函数定义4-2.3令函数f:X→Y，若存在某个y0∈Y，对于

x∈X，都有f(x)=y0，即f(X)={y0}，则f称为常函数。定理4-2.4设函数f:X→Y,则f=fºIx=Iy

ºf整理ppt4、逆和复合的综合性质定理4-2.5如果函数f:X→Y有逆函数f-1:Y→X,则

f-1

ºf=Ix；fºf-1=Iy012abcabc012012cba例3令f:{0,1,2}→{a,b,c}其定义如图所示，求f-1ºf和fºf-1

整理ppt定理4-2.6若f:X→Y是一一对应的函数，则(f-1)-1=f。证明:(1)因f为X到Y的一一对应函数，则f-1为Y到X的一一对应函数，(f-1)-1为X到Y的一一对应函数，故domf=dom(f-1)-1=X(2)对

x∈X，f:x→f(x)，则f-1:f(x)→x，同样(f-1)-1：x→f(x)

由(1)(2)可知(f-1)-1=f整理ppt定理4-2.7若f:X→Y，g:Y→Z均是一一对应的函数，则(gºf)-1=f-1

ºg-1

整理ppt基数的相关概念定义1：给定集合A的后继集定义为集合：A+=A∪{A}。若A为

，则后继集合为：

+令0=

0+=

+=

∪{

}={

}=11+=(

+)+=({

})+={}∪{{}