商业银行传染效应的风险分析

商业银行传染效应的风险分析

一、总结银行的系统风险是一种非常广泛使用的概念，但其含义非常不明确和不统一。为了行文方便,首先需要对其进行界定。(一)系统性风险的内涵系统性风险对应于英语中的SystemicRisk。吴伟(1998,P47-48)使用的是“金融体系风险”这一概念,与我们将要讨论的系统性风险有一定的相关性。他将一切潜在的导致金融体系基本功能丧失的可能性都视作金融体系风险。E.P.Davis(1992,P117)将系统性风险与混乱(disorder)、不稳定(instability)视为同义词,指金融市场上的骚乱(disturbance),这种骚乱会给信用和资产市场的价格和数量带来出乎意料的变化,会导致金融企业失败的危险。ArianoLucatelli(1997,P71)则是在区分了系统性危机(systemiccrisis)与系统性风险概念的基础上引出了系统性风险的内涵。他认为,金融系统性危机是一种骚乱(disturbance),能够从金融领域传播到经济系统的其他领域;而系统性风险则只表示出现系统危机的可能性。JamesDow(2000)认为,尽管系统性风险一直是政策制定者感兴趣的内容,但是目前并没有一个固定的、被普遍接受的定义。GeorgeG.Kaufman与KennethE.Scott(2003)认为,*本文是在导师楼继伟研究员的悉心指导下完成的,作者在此对楼老师的辛勤指导表示衷心的感谢。在论文答辩过程中,谢平、李晓西、贾康、齐建国、史建平以及巴曙松等专家提出了宝贵意见,作者表示诚挚的谢意。本文仅仅是作者的学术研究成果,不应理解为作者供职单位的观点。当然,“文责自负”的惯例也为笔者所遵守。系统性风险指整个系统崩溃的风险或可能性,表现为系统中的的大部分或所有组成部分的相关性(correlation),与之相对应的是组织中的个体或某一部分的崩溃。在笔者看来,需要对系统性风险做两个方面的理解:即广义系统性风险和狭义系统性风险。广义系统性风险指整个金融系统丧失基本功能的可能性;狭义系统性风险指系统中个别单位(或个体)或几个单位(或个体)受到其他不利冲击,其损失给系统中的其他单位(或个体)带来的负外部性,当这种负外部性累积到一定程度时,整个系统的基本功能就会受到影响甚至完全丧失,或者能给一般经济系统带来溢出效应,以致给不相关的第三方也产生损失的风险。广义系统性风险并不强调导致金融系统整体功能丧失的原因,而狭义系统性风险则突出强调了整个金融系统中的个别或几个机构的失败所产生的负外部性对整个金融系统功能的影响。(二)银行系统性风险关于银行系统性风险的标准表述,目前国内外学术界同样没有规范统一,甚至连名称也不统一,但是这并不妨碍对这个概念的使用。一般而言,国外文献中一般用“BankingSystemicRisk”或“SystemicRiskinBanking”等来表述(如BrendaGonzalez-ermosillo(1996),MicoLoretan(1996),DirkSchoenmaker(1998),GroupofTen(2001),GianniDeNicolo,andMyronL.Kwast(2002),GeorgeG.Kaufman,andKennethE.Scott(2003)等),国内则常用“银行系统风险”、“银行业系统风险”、“银行系统性风险”、“银行业系统性风险”、“系统性银行风险”、“系统性银行业风险”甚至用“系统性金融风险”等表述,不一而足(如翟金林(2001,P9-10),米运生(2003),陈耀辉(2003),汤凌霄(2004,P7)等都有一些论述)。笔者认为银行系统性风险的定义,依然需要按照广义银行系统性风险与狭义银行系统性风险的“范式”来展开。广义银行系统性风险指整个银行系统丧失基本功能的可能性;而狭义银行系统先风险可以简单地概括为由于主要银行的失败给其他银行带来负外部性,使其他银行的经营与生存受到影响,并有可能使银行系统丧失基本功能的可能性。传染效应是银行系统性风险的核心问题,是构成系统性风险的一个重要组成因素。传染可以被理解为能使微小的特殊的或广泛的冲击演化为系统性结果的一种扩散机制。从经济学角度分析,传染效应发挥作用的微观机理是溢出效应,或者说是风险的负外部性所致。第2部分将研究银行系统性风险传染的主要表现,第3部分将讨论一个封闭的银行系统的传染模型,第4部分将讨论银行间市场的一个传染模型。二、间接传染病的产生机理相对于其他行业而言,银行失败的传染性具有发展更快、影响更广泛、波及范围更广泛的特点,在给利益相关者带来巨大损失的同时,对经济也产生很大程度的损害。风险在银行之间快速传染是银行系统性风险产生的重要因素。银行系统性风险的传染分为直接传染与间接传染两种类型。当银行通过支付系统以及各种各样的头寸,诸如直接贷款、衍生工具、回购协议等形式,彼此之间存在债权债务关系时,就产生了直接传染。间接传染主要通过下面两种途径产生。一是市场会假定银行彼此存在着直接的传染,即使这并不符合实际;二是一旦一家银行遭遇财务问题,市场会认为其他银行也存在同样问题,从而导致其他银行遭受储户的挤兑,进而造成财务困难。直接传染主要起源于以下情况:(1)单个银行的不同储户基于对银行财务状况的不同猜测而出现挤兑导致单个银行出现困难或失败,这是直接传染的基础;(2)在银行间市场复杂的债权债务关系影响下,某单个银行不能及时偿还其债务,当由此产生的损失超过一定限额时就会导致其债权银行的失败,并由此产生一系列银行失败,呈现出系统性风险的特征。至于间接传染,其产生机理与传染过程都比直接传染要复杂得多,财务上的联系只是一个因素,更多的则是投资者心理因素的影响。间接传染最能体现“羊群效应”,研究间接传染要更多地应用行为金融学的有关研究成果1,着重分析投资者的从众心理。下文银行系统性风险传染模型将主要着眼于直接传染类型。三、d-d模型中的银行资产模型本节将构建一个封闭的银行系统的传染模型。假定这个银行系统中没有外界的援助力量,好比一个封闭的国家限于种种因素无法得到国际援助的情形。在这个封闭的银行系统中,假定只有一家商业银行2,而央行则由于要担负着货币稳定的职能,不能冒着通货膨胀的危险无限地向银行提供流动性援助,也就是说央行的援助是有限度的。我们的目标是研究不同存款人之间的相互影响对银行所产生的传染模型。该模型的构建思路是受到了DiamondDouglasW.和PhillipDybvig(1983,以下将简称D-D模型)的启发。D-D模型是研究银行问题的一篇具有开创性的文献,直接影响了以后一个时期的研究“范式”。但是笔者构建的模型与D-D模型有着本质的区别。这种区别主要表现如下:(1)我们的模型考虑了银行的资本因素;(2)我们分析的基础是通过定义存款人效用函数、银行利润函数展开的;(3)在(2)的基础上定义了一个社会福利函数,同时我们的决策目标是社会福利最大化;(4)笔者设计的存款挤兑模式是分阶段进行的,更好地符合自促成传染效应的本义;(5)考虑了银行的不良贷款因素。因此可以说,笔者的模型是D-D模型基础上的重要创新,并且所得出的研究结论也比D-D模型更新颖。为了分析方便,我们需要从构造一个高度简化的银行资产负债表开始,并需做以下假定:假定1:某银行(不妨称其为×××银行)的资产只拥有两种形式:流动性储备(用A表示)和贷款(用L表示);负债只有一种形式:存款(用D表示);所有者权益只有一种形式:股权资本(用K表示)3。则×××银行的资产负债表如表1所示。根据会计恒等式,下式成立A+L=D+K(1)假定2:流动性储备占存款比率为ρ(0≤ρ≤1),流动性储备为不生息资产,以现金形式保存;资产中只有贷款L为生息资产,同时也是风险资产;股权资本占风险资产的比重为ε。则下列关系式成立:A=ρ·D(2)ε=ΚLε=KL(3)则由公式(1)、(2)和(3)可解得L=1-ρ1-εD(4)Κ=1-ρ1-εDε(5)下面,笔者构建一个2时期3时刻的简单模型,t=0表示开始,t=1表示中期,t=2表示期末。假定3:存款人可分为“耐心”和“不耐心”两种,θ部分为不耐心的存款人;相对地,1-θ部分为耐心的存款人。θ部分不耐心的存款人会在t=1时刻提前支取存款,并将存款保存至t=2时刻,但是从t=1至t=2时刻现金在存款人手中既不增值也不贬值。假定4:银行对存款人的存款支付利息,约定存款人在t=1时刻支取存款时1元本金将获得r1的利息,在t=2时刻支取存款1元本金可获得r2的利息,其中r2>r1>0,可以视为银行对存款人将存款保存期限延长至t=2时刻的一种激励。假定5:银行在将资金转换为贷款时,如果贷款在t=1时刻清算,1元贷款仅能收回r的资金;如果贷款持有到t=2时刻再清算,则1元贷款可以收回R的资金。R与r的数量关系为,R>1+r2,r<1/2。假定6:银行依靠自身的资产组合来满足资产的流动性需要(排除央行为其提供流动性支持的可能),在t=1当自身的流动性资产不能满足存款人提取存款的需要时,银行所能做的只有清算已经发放出去的贷款,清算所得依据“先来的客户先得到服务”的原则按照事先约定的利率分配给存款人,直到将全部贷款清算完毕为止。银行对存款人约定支付存款本息以银行自身的资产耗尽为限,当银行没有资产可供清算变现时,存款人将得不到任何回报。假定7:假定上述内容为存款人与银行的共同知识。在t=0时刻,银行存款人存入存款D(D>>1),但此时存款人并不知道自己是何种类型;银行所有者投入股权资本K,银行经营者将D+K的资产进行分配:其中将A部分作为流动性储备,将L部分作为贷款贷出以赚取利息。在t=1时刻,存款人决定是否提前支取存款:如存款人支取存款,银行决定付给其本息合计θ·D·(1+r1)。在t=2时刻,耐心的存款人决定支取存款,银行决定付给其本息(1-θ)·D·(1+r2)。不考虑资金的贴现因素,存款人作为一个整体,其效用函数可定义为U(D1,D2)=D1+D2。其中,D1和D2分别存款人在t=1时刻和t=2时刻支取的存款本息,即D1=θ·D·(1+r1),D2=(1-θ)·D·(1+r2)。将存款人的效用函数视为θ的函数,则可表示为U(D1,D2)≡U(θ),于是下式成立,U(θ)=θD(1+r1)+(1-θ)D(1+r2)(6)由U′(θ)=D(r1-r2)<0,说明U(θ)为减函数,maxθ∈[0‚1]U(θ)=U(0)=D⋅(1+r2)。这说明,对存款人全体而言,其最佳策略是在t=2时刻支取存款,这样全体存款人获得的效用最大。假定银行经营存在经营成本C,在t=1时刻清算贷款时存在流动性清算成本Q。其中C为D、ρ的函数,即C=C(D,ρ)。Q为D、ρ和θ的函数,即Q=Q(D,ρ,θ)。并假定CD>0,Cρ<0;QD>0,Qθ>0,Qρ<0,Q(D,ρ,0)=0。则当θ=0时,XXX银行的预期利润目标函数为π=ρ⋅D+1-ρ1-εD⋅R-D⋅(1+r2)-C(D‚ρ)(7)为简化,定义一个社会效用函数F为存款人效用、银行利润与贷款三者之和,即F(U,π,L)≡U(θ)+π+L(8)下面,将θ视为一个随机变量,并可认为存款人以θ和1-θ的概率分别在t=1和t=2时刻提取存款。在通常状态下,θ的数学期望E(θ)可以由银行根据以往经验事先估计,这时,θ=E(θ)+η,其中η服从白噪声系列。我们假定,通常状态下,在一定θ下银行能够很好地处理流动性与盈利性两者的关系,并在满足资金流动性的同时最大化自身的利润。但是,当存在着一个较大的外生冲击,导致存款人对银行的流动性与盈利性前景表示怀疑时,假定这种情况下在t=1时刻提取存款的人数要大幅增加,我们将其表示为θ值出现跳跃,即从θ跳跃至θ′=E(θ)+Δθ(其中Δθ>0)。之所以会出现Δθ,可以理解为原来耐心的存款人有一部分受到不耐心存款人的影响,短时间内使自身状态出现“突变”,完成由“耐心”到“不耐心”的转变,这可以视为存款人之间的传染效应。我们将视Δθ以及θ′的大小进行讨论。首先定义关于θ的两个临界点:θ*和θ**。其中θ*≡ρ1+r1‚θ**≡θ*+1-ρ(1-ε)(1+r1)r。在上文分析中,我们一直是假定ρ为外生变量,对其变化基本上未作讨论。其实,ρ的取值与E(θ)息息相关。如果E(θ)较大,需要银行预留更多的流动性储备,即ρ的值要相应大一些;反之,则可以将ρ的值取得小一些。由于E(θ)是银行长期观察的结果,为了行文方便,可以假定在正常情形下,E(θ)≤θ*(否则的话适当增加ρ值就可以相应增加θ*)。而θ>θ*的情况可以视为由于存款人传染效应而导致的θ值的“骚动”。(一)银行特许经营权在这种情况下,在t=1时刻,不耐心的存款人提取存款为E(θ)⋅D≤θ*⋅D=ρ1+r1D(9)按照双方在t=0时刻的约定,银行向这些存款人支付利息为E(θ)⋅D⋅r1≤ρ⋅r11+r1D(10)由公式(2)知,支付的本息合计不超过流动性储备A,其余(1-θ)部分存款人将在t=2时刻支取存款。银行可以将贷款L的期限确定为在t=2时刻到期,在不考虑不良贷款情况下4,在市场均衡条件下,银行的特许经营权将决定其贷款本息扣除存款本息之后存在着正的利润。存款人作为一个整体,其效用为U(θ)=U(D1,D2)=U(θD,(1-θ)D)=θD(1+r1)+(1-θ)D(1+r2)(11)考虑到θ∈[0,θ*],且U(θD,(1-θ)D)关于θ为减函数,则U(θD,(1-θ)D)∈[θ*D(1+r1)+(1-θ*)D(1+r2),D(1+r2)]。银行利润为π1=ρ⋅D+1-ρ1-εDR-θ⋅D⋅(1+r1)-(1-θ)D⋅(1+r2)-C(D‚ρ)-Q(D‚ρ‚θ)(12)社会效用函数F1(U‚π‚L)=ρ⋅D+1-ρ1-εD(1+R)-C(D‚ρ)-Q(D‚ρ‚θ)(13)这种情况可以视为一种均衡状态。银行可以通过事先对存款人类型的预测来决定资产的配置比例,以实现利润最大化,进而使整个社会福利达到最大化。但是,当个别存款人对银行经营以及财务状况产生怀疑,或者出现有关银行财务状况的负面谣言时,原来的均衡就会被破坏,存款人的类型相应发生较大变化,存款人之间会发生传染效应。反映到θ值上,使得原来的θ值出现一个跳跃Δθ,达到θ′=θ+Δθ,当Δθ大到一定程度以至θ′∉[0,θ*]时,存款人效用、银行利润以及社会福利等都会发生变化。(二)银行的利润2由于θ′的变化已经超出了其正常变化范围,这时银行预留的流动性储备已经不能满足自身的流动性需要。存款人在t=1时刻的提款数量满足ρ1+r1D=θ*D<θ′D≤[θ*+1-ρ(1-ε)(1+r1)r]D。按照前文假定,只有清算部分贷款提前变现才能满足θ′部分存款人的资金需求。在t=1时刻,银行的资金缺口为θ′·D·(1+r1)-ρ·D,需要清算的贷款数额为θ′⋅D⋅(1+r1)-ρ⋅Dr≤1-ρ1-εD≡L,这样可以保证使不耐心的存款人在t=1时刻仍可以按事先的约定获得本金和利息。此时,银行剩余的贷款数量为1-ρ1-εD-θ′⋅D⋅(1+r1)-ρ⋅Dr≥0。则到t=2时刻,剩余贷款可产生的资金收入记为G,即G≡[1-ρ1-εD-θ′⋅D⋅(1+r1)-ρ⋅Dr]R≥0。这时存在两种情况:(1)当G≥(1+r2)(1-θ′)D时,银行按照在t=0时刻的约定支付耐心的存款人(1-θ′)部分的本息。(2)当G<(1+r2)(1-θ′)D时,(1-θ′)部分存款人可分得的本息合计为G,资金缺口为(1+r2)(1-θ′)D-[1-ρ1-εD-θ′⋅D⋅(1+r1)-ρDr]R,这时相当于t=0时刻1元的存款到t=2时刻收回的本息合计为[1-ρ(1-ε)(1-θ′)-θ′(1+r1)-ρr⋅(1-θ′)]R下面,我们也将分两种情形分别进行讨论:(1)在这一种情况下,存款人作为一个整体的效用函数在形式上与(11)式没有区别,惟一不同的是将式(11)中的θ换为θ′;但其取值范围为U(θ′D,(1-θ′)D)∈[θ**D(1+r1)+(1-θ**)D(1+r2),θ*D(1+r1)+(1-θ*)D(1+r2)],显然小于U(θD,(1-θ)D)。银行利润为π2=1-ρ1-εDR-θ′⋅D⋅(1+r1)-ρ⋅DrR-(1-θ′)D⋅(1+r2)-C(D‚ρ)-Q(D‚ρ‚θ′)<π1,社会效用函数为F2(U‚π‚L)=1-ρ1-εD(1+R)-θ′D(1+r1)-ρDr(R+1)+θ′D(1+r1)-C(D‚ρ)-Q(D‚ρ‚θ′)<F1(U‚π‚L)(2)在第二种情况下,存款人的效用函数为U(θ′D‚(1-θ′)D)=θ′D(1+r1)+[1-ρ1-εD-θ′⋅D⋅(1+r1)-ρ⋅Dr]R,这时的效用函数值小于第一种情况。银行贷款在t=1时刻清算一部分;到了t=2时刻,剩余贷款到期的资金流入还不足以按照t=0时刻约定付给存款人的本息,因此银行的利润一定为负数,也小于第一种情况,其具体形式与第一种相同。社会效用函数值也小于第一致情况,具体形式为F2(U‚π‚L)=1-ρ1-εD(1+2R)-θ′D(1+r1)-ρDr(1+2R)+θ′D⋅(1+r1)-(1-θ′)D(1+r2)-C(D‚ρ)-Q(D‚ρ‚θ′)<F1(U‚π‚L)综上,存款人传染效应的结果不仅降低了存款人的整体效用,而且减少了银行的利润,也降低了整个社会的社会效用。(三)有功能的存款人在上节中,当耐心的存款人发现其耐心的结果可能并不会给自身带来收益,甚至有可能降低自身收益时,就有可能迅速转化为不耐心的存款人,进而导致Δθ出现更大的“跳跃”,当这种“跳跃”足够大,以至使θ**<θ″=θ+Δθ时,更为严重的传染效应随之发生。在t=1时刻,银行的资金缺口为θ″D(1+r1)-ρD,需要清算的贷款数额为θ″D(1+r1)-ρDr>1-ρ1-εD,这说明银行的全部贷款即使在t=1时刻清算变现,也不能满足存款人的提款要求,此时银行已完全失去了应有的功能。银行所能清算的资金收入为1-ρ1-εD⋅r+ρD<θ″D(1+r1),用于θ″部分存款人的回报,其单位存款在t=1时刻获得的回报为1-ρ(1-ε)⋅θ″r+ρθ″<1+r1;其余(1-θ″)部分存款人发现这种情况,会立即变为不耐心的存款人,加入到提款的行列,θ″随之迅速上升至1,银行挤兑正式爆发。银行在t=2时刻之前,就已经不复存在。这时,每个存款人在t=0时刻1元的投入,在t=1时刻仅能提取1-ρ1-εr+ρ<1+r1的现金,资金缺口为D⋅(1+r1)-1-ρ1-εr-ρ⋅D。则存款人的效用函数为U⋅(D‚0)=1-ρ1-εD⋅r+ρD<D⋅(1+r1)<U(θ′D‚(1-θ′)D)<U(θD‚(1-θ)D)。银行根本没有利润可谈,π3=1-ρ1-εD⋅r+ρD-D⋅(1+r1)-C(D‚ρ)-Q(D‚ρ‚1)<π2,整个社会的效用函数为F3(U‚π‚L)=21-ρ1-εD⋅r+2ρD-C(D‚ρ)-Q(D‚ρ‚1)<F2(U‚π‚L)(四)为0当考虑不良贷款情况时,会加速上述传染过程。假定在贷款L中,有τ部分为不良贷款(0<τ<1)。为了分析简便,进一步假定τ部分贷款已不能收回,其余1-τ部分为正常贷款5。对于0≤θ≤θ*,情况与第(一)节类似,我们只考虑θ*<θ′≤θ**情况。定义一个关于θ的新临界点∼θ**=1-ρ(1-ε)(1+r1)(1-τ)⋅r+ρ1+r1,显然,θ*<∼θ**<θ**。可以证明,当θ*<θ′≤∼θ**与θ*<θ′≤θ**的情形是类似的。我们考虑∼θ**<θ′<θ**的情形。如果考虑了不良贷款因素,银行的资金缺口已经大于正常贷款数额,即θ′D⋅(1+r1)-ρDr>1-ρ1-εD⋅(1-τ),即使银行将所有贷款全部清算变现,所得资金加上流动性储备也不能满足θ′部分存款人在t=1时刻的提款要求,即1-ρ1-εD⋅(1-τ)⋅r+ρD<θ′⋅D⋅(1+r1),这时会引发θ′迅速突破θ**,直到最终达到1,银行挤兑随之爆发。四、监管机构间市场的渗透模型(一)银行失败引发系统性风险银行失去流动性与失去清偿能力是两个不同的概念。失去流动性的银行可能仍然具有清偿能力,但一时无法获得流动性援助,而表现为流动性不足,也可能是银行已经失去了清偿能力。失去银行清偿能力一般指银行资产市值已经小于负债,出现资不抵债现象。在这种情况下,银行一般也具有一定的流动性,能够应付目前的现金支出;但从长期来看,如果银行经营状况没有大的好转的话,银行迟早会失去流动性,陷入流动性危机之中。下面将银行失败定义为银行资不抵债。当银行的损失超过其资本和储备之和时,就可以将银行视为已经失败。为了下文分析简化,本文不考虑银行的储备情况,只要银行的损失超过了其自有资本,就可以视为银行失败。如果由于某种外生冲击,导致某一银行或某几个银行失败,随之导致其他银行失败,其他银行失败又导致另外一系列银行的失败,并有可能使银行系统失去其基本功能,这就说明最初的某一银行或某几个银行失败引发了系统性风险。在银行间市场上,存在着复杂的债权债务关系。银行的经营状况各不相同,抵御风险与外生冲击的能力也存在着很大不同。由于一个银行失败引发的其他银行失败的原理主要体现在两个方面。(1)当出现某个银行失败时,该银行的债权银行由于无法及时收回自身债权,很可能造成资产损失,当债权银行的资产损失达到一定程度时,会导致该债权银行失败,该债权银行的失败可能会导致更大规模的其他银行失败,呈现出传染效应。(2)由于多方债权债务关系,单个银行的失败可能引发多个银行的失败。这种现象在第三部分中已经通过构建一个简单模型予以说明。(二)压力下的h0下面,我们把上述思想转化为数学形式的语言,通过构建一个简单的模型来重点说明第一种情况。至于第二种情况,完全可以借鉴第三部分的模型进行说明。假定某银行系统中存在N个银行(N>2),N个银行通过银行间市场彼此存在着复杂的债权债务关系,这种债权债务关系可以用一个N×N阶矩阵A来表示。A的形式如下:A=(a11a12⋯a1Νa21a22⋯a2Ν⋮⋮⋱⋮aΝ1aΝ2⋯aΝΝ)其中,aij表示第i个银行拥有的第j个银行的债权,相当于银行i对银行j的风险敞口。aii(1≤i≤N)相当于自己对自己的债权,我们统一定义aii=0(1≤i≤N)。同时定义,bj=Ν∑i=1aij‚ci=Ν∑j=1aij。bj表示其他银行拥有的银行j的债权,ci表示银行i拥有的其他银行的债权。我们假定aij数据为已知6,则矩阵A为已知。在某外生冲击的作用下,该银行系统中有h0个银行失败。为了简化分析,我们假定只存在某一个银行失败(当出现几个银行失败时,所引发的传染效应与单个银行是类似的)。这时,h0=1。假定第i*(i*∈[1,N])个银行失败,为了与后面的分析相联系,本例中,将i*记为Oi*h0,即i*=Oi*h0。符号Oi*h0的含义为,前面的0表示该银行失败由外生冲击引发,*表示该银行在冲击下失败,后面的h0表示在本轮冲击所造成的失败银行的个数。我们构造一个N×1向量d1,d1=(0,0,Λ,0,1,0,Λ,0)′,其中向量d1中只有第i*=Oi*h0个变量为1,其余变量均为0。d′1表示d1的转置。银行系统中的N个银行的资本构成一个N×1向量k,其中k=(k1,k2,Λ,ki,Λ,kN)′,ki(1≤i≤N)表示为银行i的资本。银行失败时,清算失败银行的资产所得会发生一定损失,只能部分偿还其债权银行的债务,假定债务偿还率为1-β,这意味着失败银行的债权损失率为β。定义两个N×1向量e和f。e=k-β·A·d=(e1,e2,Λ,ei,ΛeN)′,其中,ei=ki-βai,i*(其中,1≤i≤N且i≠i*),表示第i个银行冲销损失后的净资本。f=(f1,f2,Λ,fi,ΛfN)′。其中,当ei≤0时,fi=1;当ei>0时,fi=0(补充定义fi*=1)。fi=1表示银行i失败,fi=0表示银行i能够承受本轮冲击。我们的判断准则是,计算行列式|f′·f|=g1。g1∈[1,N]。当g1=1时,表示银行i*失败没有产生传染效应(这时只有fi*=1使得g=1成立),没有进一步导致其他银行失败;当1<g1<N时,表示银行i*失败又使h1=g1-h0个银行失败。令h1个银行分别为1i*1,1i*2,Λ,1i*h1。按照上述过程重新构造一个新的向量d2,其中第Oi*h0和1i*1,1i*2,Λ,1i*h1个变量为1,其余变量为0。同样按上述规则构造向量e、f,并计算g2值和h2值。其中,h2=g2-g1。当g2=g1时,说明此时已经不存在传染效应,传染效应到此结束。当g1<g2<N时,说明还存在传染效应。不断重复上述过程,直到存在一个J(J∈[1,N]),使得gJ=N或hJ=0为止。其含义分别为,hJ=0表示外生冲击到本轮已不具有传染效应;gJ=N表示最初的外生冲击最终使银行系统的所有银行都带来传染效应,整个银行系统彻底崩溃。由上述分析可知,当ci<ki时,即使银行i的所有债权均不能收回,并且债权损失率为100%时,银行仍然能够抵御外生冲击,而不致失败。因此,我们将上述条件称为传染效应的免疫条件。(三)银行系统的资本量限于银行间市场的实时数据不易获取,我们接下来将通过一个虚拟的银行间市场的债权债务数据,应用上述原理与模型进行仿真模拟。假定某银行系统中存在9个银行。银行间的债权与债务数据由矩阵A给出,A的具体数值如下,A=(010239010391401017134437208983638219014700421500012312000611110000021213131100100103000)该银行系统中的各银行的资本量由向量k