爱提分七年级秋季 第05讲-定义新运算与找规律(学生版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学学生辅导讲义[学生版]学员姓名初一1班 年级初一辅导科目初中数学学科教师车胜男上课时间01-1412:00:00-12:30:00 知识图谱定义新运算知识精讲一．定义新运算近几年出现了一类“定义新运算”型的题目，这类题目以加、减、乘、除、乘方等运算为基础，定义了很多具有实际意义的新运算．这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算规律，其实质是给出了一种变换规则，以此考查同学们的思维应变能力和计算能力．解此类问题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们所熟悉的加、减、乘、除、乘方等运算．注意：解答定义新运算题，关键是要正确地理解新定义的算式的含义，在计算时，严格按照规定的法则代入数值，然后转化为常规的四则运算算式进行计算．新运算符号现定义两种运算和，对于任意两个整数a、b,都有：，试求：的值.原式程序计算类按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为3，求最后输出的结果当输入3时，，再将6重新输入，，再将21重新输入，，故输出结果为231解答此类问题的方法是用数值替换程序中的x，如果计算结果符合条件，那么输出；如果计算结果不符合条件，那么再将计算结果重新输入进行计算，如此循环，直到符合条件为止周期循环已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．已知a1=﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2017=______．分析：根据定义计算：a1=﹣，a2=，a3==4，a4==﹣，…，依此类推，每3个数为一个循环组依次循环，∵2017÷3=672余1，∴a2017为第673循环组的第一个数，∴a2017=a1=﹣．三点剖析一．考点：新定义运算二．重难点：新定义运算三．易错点：新定义运算定义新运算例题例题1、若“”是新规定的某种运算符号，设，（1）计算：（2）若，，求出的值．例题2、规定一种新运算，，，其中、为有理数，化简的结果为（）A.B.C.D.例题3、观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“共生有理数对”，记为，如：数对，，都是“共生有理数对”．（1）判断数对（－2，1），是不是“共生有理数对”，写出过程；（2）若是“共生有理数对”，求的值；（3）若是“共生有理数对”，则________“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；说明理由；（4）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为________（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）例题4、若定义：f（a，b）＝（－a，b），g（m，n）＝（m，－n），例如f（1，2）＝（－1，2），g（－4，－5）＝（－4，5），则g（f（2，－3））＝（）A.（2，－3）B.（－2，3）C.（2，3）D.（－2，－3）例题5、对有理数、、，在乘法运算中，满足①交换律：②对加法的分配律：．现对这种运算作如下定义，规定：．（1）计算：和的值，想一想：这种运算是否满足交换律？（2）举例说明：这种运算对加法是否满足分配律？随练随练1、规定图形表示运算，图形表示运算．则________（直接写出答案）．随练2、我们定义三个有理数之间的新运算法则“”：，如：，在，，，0，2，5，6这7个数中，任意取三个数作为，，的值，进行“”运算，求在所有计算的结果中的最大值是________．随练3、一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：时，我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为．（1）若是“相伴数对”，则________；（2）是“相伴数对”，则代数式的值为________．随练4、已知整式，，，若一个次数不高于二次的整式可以表示为（其中，，为常数）．则可以进行如下分类①若，，则称该整式为类整式；②若，，，则称该整式为类整式；③若，，．则称该整式为类整式；（1）模仿上面的分类方式，请给出类整式和类整式的定义，若________，则称该整式为“类整式”，若________，则称该整式为“类整式”；（2）说明整式为“类整式；（3）是哪一类整式？说明理由．与整式相关的找规律知识精讲一．找规律规律探究类的问题考查从特殊到一般的认识水平、运算能力以及对知识的贯通能力，要求学生必须具备逻辑推理能力、观察归纳能力、猜想验证能力．考察题型主要有“数字类”、“图形类”、“计算类”等．掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找到隐含的规律．（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题．解决“规律探索”的题目通常需要以下三个步骤：寻找数量之间的关系——用代数式表示规律——验证规律。在这过程中我们要要善于观察与比较，找到题目中隐藏的不变量，分析题目中的变量，善于寻找事物的循环部分，大胆的进行猜想和尝试。看增幅例：3、8、13、18、23、……求第n个数仔细观察相邻两个数之间有什么关系，从第二个数起，每个数都比前一位数增加5，所以第n个数是：3+5(n-1)即5n-2例：用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干图案，那么第n个图案中，白色地砖共________块．通过观察找到图形的不变量与增幅，第一个图中有白砖6个，以图1为基本图形，后面每个图都比左边相邻的基本图形多4个白砖，所以第n个图中有白色地砖6+4(n-1)即4n+2个与序列号有关例：观察下列各式：，按此规律写出第10个式子是______这一列式子都是单项式，我们要观察它们的次数和系数，次数依次是0，1，2，3，4，……即序列号减1；系数依次是0，1，1，2，3，5，8……即每一个系数是前面相邻两个单项式系数之和，以此类推第10个式子的系数是34，次数是10-1=9，即例：如图，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第n个“广”字中的棋子个数是________“广”字一共三画，其中一点固定只需要一个棋子，只有一横和一撇发生变化，前4个图的棋子个数依次是：1+3+3，1+4+4，1+5+5，1+6+6，整理一下得到1+2×3，1+2×4，1+2×5，1+2×6，以此类推第5个是1+2×7即15个，1+2×____中横线上的数始终比序号数（即第几个图）大2，所以第n个图的棋子个数是1+2×(n+2)，即2n+5三点剖析一．考点：数字类、图形类找规律． 二．重难点：数字类、图形类找规律．三．易错点：1．数字类规律是等差数列时，第项计算错误．数字类例题例题1、一组按规律排列的式子“，，，，…”．按照上述规律，它的第个式子（且为整数）是（）A.B.C.D.例题2、在一列数：a1，a2，a3，…an中，a1＝7，a2＝1，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这个数中的第2018个数是（）A.1B.3C.7D.9例题3、点A1、A2、A3、…、An（n为正整数）都在数轴上．点A2在点A1的左边，且A1A2＝1；点A3在点A2的右边，且A2A3＝2；点A4在点A3的左边，且A3A4＝3；…，点A2018在点A2017的左边，且A2017A2018＝2017，若点A2018所表示的数为2018，则点A1所表示的数为________．例题4、将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，……，按如图所示有序排列．如图所示有序排列．如：“峰1”中峰顶C的位置是有理数4，那么，（1）“峰6”中峰顶C的位置是有理数________；（2）2008应排在A、B、C、D、E中________的位置．例题5、观察下列单项式：，，，，，的特点，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面的解题思路：（1）先观察这组单项式系数的符号及绝对值的规律；（2）再看这组单项式次数的规律．请根据你的经验，猜想第个单项式可表示为________．（用含的式子表示）例题6、观察下面三行数、4、、16、、64、①0、6、、18、、66、②5、、、、35、、③（1）第①行数的第7个数是________；（2）设第②行数中有一个数为，第③行数中对应位置的数为，则和之间等量关系为________；设第①行数的第个数为，取每行的第个数，这三个数的和是________；（3）根据（2）中的结论，若取每行的第9个数，计算这三个数的和．随练随练1、按数字排列规律：，，，，…，写出第n个数为________（n为正整数）．随练2、如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（）A.B.C.D.随练3、数学规律在数学中有着极其重要的意义，我们要善于抓住主要矛盾，提炼出我们需要的信息，从而解决问题．（1）观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561…，通过观察，用你所发现的规律确定32017的个位数字是________；（2）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝________，an＝________；（3）观察下面的一列单项式：x，－2x2，4x3，－8x4…，根据你发现的规律，第5个单项式为________；第7个单项式为________；第n个单项式为________________．图形类例题例题1、如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，设第n（n是正整数）个图案是由y个基础图形组成的，则y与n之间的关系式是（）A.y＝4nB.y＝3nC.y＝6nD.y＝3n＋1例题2、如图是用棋子摆成的“”字，摆成第一个“”字需要7枚棋子；摆第个“”字需要的棋子数可用含的代数式表示为（）A.B.C.D.例题3、如图是由火柴棒搭成的几何图案，其中图形①中有4根火柴，图形②中有12根火柴，图形③中有24根火柴，则图形⑧中火柴的根数是（）A.96B.112C.144D.180例题4、如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有________个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．例题5、下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为________．例题6、如图所示，图（1）表示1张餐桌和6张椅子（三角形表示餐桌，每个小圆表示一张椅子），图（2）表示2张餐桌和8张椅子，图（3）表示3张餐桌和10张椅子，，若按这种方式摆放25张桌子，需要的椅子张数是________．随练随练1、观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形有（）个太阳．A.2nB.n＋2n－1C.n＋2nD.2n随练2、如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒…，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒________根（用含有n的代数式表示）．随练3、下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A.64B.77C.80D.85拓展拓展1、已知为有理数，表示不大于的最大整数，如，，，等，则计算________．拓展2、定义新运算，若，则________．拓展3、若规定：，例如，的值为________．拓展4、我们规定运算符号⊗的意义是：当a＞b时，a⊗b＝a－b；当a≤b时，a⊗b＝a＋b，其他运算符号意义不变，按上述规定，请计算：．拓展5、观察如图有※组成的图案和下面的算式，解答问题：（1）请猜想________；（2）请猜想________；（3）请用上述规律计算：．拓展6、观察如图中的数列排放顺序，根据其规律猜想：第10行第8个数应该是________．拓展7、观察下列式子：；；；设为正整数，用含的等式表示你发现的规律________拓展8、已知一列数：1，，3，，5，，7，...将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第5个数是（）A.B.4955C.D.4950拓展9、一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，这串数是由小明按照一定规则写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么这串数接下来的三个数应该是下面的（）A.30，32，64B.31，6