爱提分七年级暑假 第11讲-与整式相关的找规律(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名初一1班 年级初一辅导科目初中数学学科教师车胜男上课时间01-1412:00:00-12:30:00 知识图谱与整式相关的找规律知识精讲一．找规律规律探究类的问题考查从特殊到一般的认识水平、运算能力以及对知识的贯通能力，要求学生必须具备逻辑推理能力、观察归纳能力、猜想验证能力．考察题型主要有“数字类”、“图形类”、“计算类”等．掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找到隐含的规律．（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题．解决“规律探索”的题目通常需要以下三个步骤：寻找数量之间的关系——用代数式表示规律——验证规律。在这过程中我们要要善于观察与比较，找到题目中隐藏的不变量，分析题目中的变量，善于寻找事物的循环部分，大胆的进行猜想和尝试。看增幅例：3、8、13、18、23、……求第n个数仔细观察相邻两个数之间有什么关系，从第二个数起，每个数都比前一位数增加5，所以第n个数是：3+5(n-1)即5n-2例：用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干图案，那么第n个图案中，白色地砖共________块．通过观察找到图形的不变量与增幅，第一个图中有白砖6个，以图1为基本图形，后面每个图都比左边相邻的基本图形多4个白砖，所以第n个图中有白色地砖6+4(n-1)即4n+2个与序列号有关例：观察下列各式：，按此规律写出第10个式子是______这一列式子都是单项式，我们要观察它们的次数和系数，次数依次是0，1，2，3，4，……即序列号减1；系数依次是0，1，1，2，3，5，8……即每一个系数是前面相邻两个单项式系数之和，以此类推第10个式子的系数是34，次数是10-1=9，即例：如图，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第n个“广”字中的棋子个数是________“广”字一共三画，其中一点固定只需要一个棋子，只有一横和一撇发生变化，前4个图的棋子个数依次是：1+3+3，1+4+4，1+5+5，1+6+6，整理一下得到1+2×3，1+2×4，1+2×5，1+2×6，以此类推第5个是1+2×7即15个，1+2×____中横线上的数始终比序号数（即第几个图）大2，所以第n个图的棋子个数是1+2×(n+2)，即2n+5三点剖析一．考点：数字类、图形类找规律． 二．重难点：数字类、图形类找规律．三．易错点：1．数字类规律是等差数列时，第项计算错误．数字类例题例题1、观察下列一组数：，，，，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是________．【答案】【解析】分子为1，2，3，4，5，，第10个数的分子为10，分母为3，5，7，9，11，，第10个数的分母为：，第10个数为：．例题2、观察下列各算式：，，，，，通过观察规律，确定的个位数字是（）A.1B.3C.7D.9【答案】A【解析】个位数字分别以3、9、7、1依次循环，，的个位数字与循环组的第4个数的个位数字相同，是1．例题3、观察下面一列数，，，，，，，……，将这列数排列成下列行式按照上述规律排下去，那么第行从左边第个数是__________，是第__________行从左边数第__________个数．【答案】；；．【解析】第一行数的个数是：个,第行共有个数,则前行共有：

个数，第行第一个数是，第个：；前行共有：

个数，，前行共个数，第行：以此类推：是行从左数第个数．例题4、观察下列各式：……猜想：__________．【答案】【解析】略．例题5、观察下列各式：（1）你能探索出什么规律？（用文字或表达式）（2）试运用你发现的规律计算：【答案】（1）（2）【解析】（1）；（2）例题6、请观察下列算式，找出规律并填空：，，，，则：（1）第10个算式是________；（2）第个算式为________；（3）根据以上规律解答下题：【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）根据题意知，第10个算式是，（2）第个算式为，（3）原式．例题7、已知一列数：1，，3，，5，，7，...将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第5个数是（）A.B.4955C.D.4950【答案】B【解析】∵第n行有n个数，此行第一个数的绝对值为；且奇数为正，偶数为负，∴第100行从左边数第1个数绝对值为，则第2个数为、第3个数为4953、第4个数为，第5个数为4955．随练随练1、如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2018次输出的结果为________．【答案】4【解析】由设计的程序，知依次输出的结果是50，25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，1…，发现从8开始循环．则，，故第2018次输出的结果是4．随练2、按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为________．【答案】【解析】由数列知第n个数为，则前2018个数的和为．随练3、世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是________．【答案】【解析】∵第10行最后一个数是，第9行最后一个数是，第8行最后一个数是∴第9号倒数第二个数是，第十行倒数第二个数是∴第10行倒数第三个数是．根据对称性可知，第10行从左边数第3个位置上的数也是．图形类例题例题1、观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是（）A.38B.46C.61D.64【答案】D【解析】∵1个图中点的个数是4=1+×1×2，第2个图中点的个数是10=1+×2×3，第3个图中点的个数是19=1+×3×4，…，∴第n个图中点的个数是1+n（n+1），∴第6个图中点的个数是：1+×6×7=1+9×7=1+63=64，例题2、如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为________（用含n的式子表示）．【答案】3n＋1【解析】观察可知，第1个图案由4个基础图形组成，4＝3＋1第2个图案由7个基础图形组成，7＝3×2＋1，第3个图案由10个基础图形组成，10＝3×3＋1，…，第n个图案中基础图形有：3n＋1．例题3、根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2012÷4=503，即0到2011共2012个数，构成前面503个循环，∴2012是第504个循环的第1个数，2013是第504个循环组的第2个数，∴从2013到2014再到2015，箭头的方向是例题4、观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形有（）个太阳．A.2nB.n＋2n－1C.n＋2nD.2n【答案】B【解析】第一行小太阳的个数为1、2、3、4、…，第5个图形有5个太阳，第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n－1，第5个图形有24＝16个太阳，所以第5个图形共有5＋16＝21个太阳，所以第n个图形共有（n＋2n－1）个太阳．例题5、如图，图①是一块边长为1，周长记为的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第块纸板的周长为，则_____．…………①②③④【答案】【解析】，，例题6、下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需根火柴棒．【答案】50【解析】∵图案①需火柴棒：8根；图案②需火柴棒：8+7=15根；图案③需火柴棒：8+7+7=22根；…∴图案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；当n=7时，7n+1=7×7+1=50，∴图案⑦需50根火柴棒；例题7、如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A.20B.27C.35D.40【答案】B【解析】第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=个，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个例题8、如图所示，每个小立方体的棱长为1，按如图所示的视线方向看，图1中共有1个1立方体，其中1个看得见，0个看不见；图2中共有8个立方体，其中7个看得见，1个看不见；图3中共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第11个图形中，其中看得见的小立方体个数是（）A.271B.272C.331D.332【答案】C【解析】图1中，共有1个小立方体，其中1个看得见，0＝（1－1）3个看不见；图2中，共有8个小立方体，其中7个看得见，1＝（2－1）3个看不见；图3中，共有27个小立方体，其中19个看得见，8＝（3－1）3个看不见；…，第n个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的个数为（n－1）3，看见立方体的个数为n3－（n－1）3，所以则第19个图形中，其中看得见的小立方体有193－183＝331个．随练随练1、观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是．【答案】．【解析】∵分子为1，2，3，4，5，…，∴第10个数的分子为10，∵分母为3，5，7，9，11，…，∴第10个数的分母为：1+2×10=21，∴第10个数为：，随练2、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的矩形．如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：．【答案】【解析】借助图形，不难发现．随练3、右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数：1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是______；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C第次出现时（n为正整数），恰好数到的数是___________（用含n的代数式表示）【答案】B；603；【解析】不难发现，字母的出现规律是A→B→C→D→C→B，循环下去．因此数到12时，对应的字母是B；每个循环中出现2个字母C，因此当字母C第201次出现时，数到的数字应该是；当字母C第次出现时（n为正整数），数到的数字应该是随练4、如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是．【答案】n（n+2）．【解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子2×3﹣3个，第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4﹣4个，第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5﹣5个，…则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n（n+2）．故答案为：n（n+2）．随练5、七年级（1）班的宣传委员在办黑板报时，采用了下面的图案作为边框，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若一段边框上有45个黑色六边形，则这段边框共有白色六边形（）A.182个B.180个C.272个D.270个【答案】A【解析】根据题意分析可得：每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形．此链子共有个白色六边形，若链子上有45个黑色六边形，则链子共有白色六边形个．随练6、如图所示，用圆圈拼成的图案，图1由一个圆环组成，图2由5个圆圈组成，图3由13个圆圈组成，依此规律，第8个图案一共由________个圆圈组成，第n个由________个组成．【答案】113；【解析】图1由一个圆环组成：图2由5个圆圈组成：图3由13个圆圈组成：依此规律，第8个图案：第n个由，拓展拓展1、观察下面的一列单项式：；；；，根据你发现的规律，第个单项式为________．【答案】【解析】∵；；；；第个单项式为拓展2、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，请根据这组数的规律写出第10个数是（）A.25B.27C.55D.120【答案】C【解析】，，，，，，，．所以第10个数是55．拓展3、有一组数：则这组数的第8个为________，第n个数为________（用含n的代数式表示）【答案】，【解析】根据数据可知，这组数的第8个为，第n个数为拓展4、从1开始得到如下的一列数：1，2，4，8，16，22，24，28，…其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（）A.21B.22C.23D.99【答案】A【解析】由题意知：1，2，4，8，16，22，24，28，…由此可知，每4个数一组，后面依次为36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，故小于100的个数为：21个，拓展5、观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是____A.31B.46C.51D.66【答案】B【解析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题．由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46．故选：B．拓展6、下列图形由同样的棋子按一定规律组成，图1有3颗棋子，图2有9颗棋子，图3有18颗棋子，，图8有（）A.84颗棋子B.108颗棋子C.135颗棋子D.152颗棋子【答案】B【解析】第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有颗棋子，第③个图形一共有颗棋子，第④个图形有颗棋子，，第⑧个图形一共有颗棋子．拓展7、如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（）个黑子．A.37B.42C.73D.121【答案】C【解析】第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1＋2×6＝13个，第5、6图案中黑子有1＋2×6＋4×6＝37个，第7、8图案中黑子有1＋2×6＋4×6＋6×6＝73个，拓展8、用火柴棒按如图所示的方式搭出新的图形，其中第1个图形有6个正方形，第2个图形有11个正方形，第3个图形有16个正方形，则第个图形中正方形的个数为________．【答案】【解析】∵第1个图形中正方形的个数，第2个图形中正方形的个数，第3个图形中正方形的个数，∴第个图形中正方形的个数为拓展9、观察下面的图形（每个正方