十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题15 推理与证明（含解析）

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题15推理与证明1.(2019·全国2·文T5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙【答案】A【解析】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,即甲的成绩比乙高,丙的成绩比乙低,故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意.若丙预测正确,则甲预测错误,即丙的成绩比乙高,乙的成绩比甲高,即丙的成绩比甲、乙都高,即乙的预测也正确,不合题意,故选A.2.(2017·全国2·理T7文T9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.3.(2016·北京·理T8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.4.(2014·北京·理T8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人 B.3人C.4人 D.5人【答案】B【解析】用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.5.(2014·山东·理T4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【答案】A【解析】因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.6.(2012·江西·理T6)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=()A.28 B.76 C.123 D.199【答案】C【解析】利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.7.(2017·北京·文T14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;(ⅱ)女学生人数多于教师人数;(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;

②该小组人数的最小值为.

【答案】612【解析】设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,则x,y,z都是正整数,且x即2z>x>y>z,x,y,z∈N*.①教师人数为4,即z=4,8>x>y>4,所以y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.②由题意知2z>x>y>z,x,y,z∈N*.当z=1时,2>x>y>1,x,y不存在;当z=2时,4>x>y>2,x,y不存在;当z=3时,6>x>y>3,x=5,y=4,此时该小组人数最少,人数为5+4+3=12.8.(2017·北京·文T13)能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.

【答案】-1,-2,-3(答案不唯一)【解析】答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,则a>b>c,而a+b=-3=c,能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题.9.(2016·全国2·理T15文T16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.

【答案】1和3【解析】由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.10.(2016·山东·文T12)观察下列等式:sinπsinπsinπ7-sinπ9-……照此规律:sinπ2n+1-【答案】43n(n+【解析】由等式可知,等式右边共三个数相乘,第1个数都是43所以第n个式子等号右边为4311.(2015·山东·理T11)观察下列各式:C10=4C30+C50+C70+……照此规律,当n∈N*时,C2n-10+【答案】4n-1【解析】等号右侧指数规律为0,1,2,…,n-1.所以第n个式子为C2n-10+12.(2015·福建·理T15)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:x4⊕x为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.

【答案】5【解析】若1≤k≤3,则x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不满足x4⊕x5⊕x6⊕x7=0;若k=4,则二元码为1100101,不满足x1⊕x3⊕x5⊕x7=0;若k=5,则二元码为1101001,满足方程组,故k=5.13.(2015·陕西·文T16)观察下列等式1-11-11-1……据此规律,第n个等式可为.

【答案】1-12+13−【解析】经观察知,第n个等式的左侧是数列(-1)n-1·1n的前2n项和,而右侧是数列14.(2014·全国1·理T14文T14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.

【答案】A【解析】根据甲、乙、丙说的可列表得ABC甲√×√乙√××丙√15.(2014·陕西,理14)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.

【答案】F+V-E=2【解析】因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2.16.(2014·北京·文T14)顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为个工作日.

【答案】42【解析】最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工,共需6天,然后工艺师加工该件工艺品,需21天;徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工;最后由工艺师完成原料A的精加工,需15个工作日.故交货期为6+21+15=42个工作日.17.(2014·安徽·文T12)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=22,过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=

.

【答案】1【解析】由题意知数列{an}是以首项a1=2,公比q=22的等比数列,∴a7=a1·q6=2×218.(2013·安徽·理T14)如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是【答案】an=3n【解析】设S△O∵a1=1,a2=2,OAn=an,∴OA1=1,OA2=2.又易知△OA1B1∽△OA2B2,∴S△OA∴S梯形A1∵所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等,且△OA1B1∽△OAnBn,∴OA∴a1an=13n-19.(2012·陕西·理T11)观察下列不等式1+121+121+12……照此规律,第五个不等式为.

【答案】1+1【解析】由前几个不等式可知1+122+所以第五个不等式为1+1220.(2012·福建·文T16)某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案.方案设计图中,点表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的线路图如图(1),则最优设计方案如图(2),此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3),则铺设道路的最小总费用为.

【答案】16【解析】由题意知,各城市相互到达,且费用最少为1+2+2+3+3+5=16=FG+GD+AE+EF+GC+BC.21.(2017·浙江·T22)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).证明:当n∈N*时,(1)0<xn+1<xn;(2)2xn+1-xn≤xn(3)12n-1≤x【解析】(1)用数学归纳法证明:xn>0.当n=1时,x1=1>0,假设n=k时,xk>0,那么n=k+1时,若xk+1≤0,则0<xk=xk+1+ln(1+xk+1)≤0,矛盾,故xk+1>0.因此xn>0(n∈N*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.因此0<xn+1<xn(n∈N*).(2)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得,xnxn+1-4xn+1+2xn=-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1).记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),f'(x)=2x函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,因此xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(x故2xn+1-xn≤xnxn+12(n(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn≥12由xnxn+12≥2xn+1-xn得所以1xn−12≥21x故xn≤12综上,12n-1≤xn≤1222.(2015·北京·理T20)已知数列{an}满足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=2an,an≤18,(1)若a1=6,写出集合M的所有元素;(2)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;(3)求集合M的元素个数的最大值.【解析】(1)6,12,24.(2)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数.由an+1=2an,如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.类似可得,ak-2,…,a1都是3的倍数,从而对任意n≥1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.(3)由a1≤36,an=2an-因为a1是正整数,a2=2所以a2是2的倍数.从而当n≥3时,an是4的倍数.如果a1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数.因此当n≥3时,an∈{12,24,36}.这时M的元素个数不超过5.如果a1不