浅析重积分在变量变换问题中的应用

浅析重积分在变量变换问题中的应用工业设计1301班史家奇201348422014-6-10浅析重积分在变量变换问题中的应用1概要重积分在数学分析中占有比较重要的地位，是数学分析中重要的一部分，也是数学分析学习的难点之一，由于重积分的题型十分多，因而方法灵活，技巧性强且解题对于学习者来说是十分困难的。由于重积分的解法可分为多种情况。比如：利用对称性计算重积分，利用换元法计算重积分，利用分部积分法计算重积分等等。而本选题则是学习关于利用变量变换计算重积分。在所找的文献中，有关于重积分的基本定义以及利用变量变换来计算重积分的技巧，并对这种技巧有很好的总结。但是这些还远远不够的，理论的东西和实际的应用还存在着很大的差距。理论研究后，在应用于生产实际中时，还会出现许多新的问题，这时考虑的问题就和理论是不一样了。仅仅研究理论时，对待某些问题，我们还需要更加深入得去了解。因此，重积分计算式变量变换的技巧还有待我们更深入的去研究。2基本概念2.1二重积分的定义设f（x¸y）是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数。J是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D的任何分割T，当它的细度‖T‖<δ时，属于T的所有积分和都有则称f（x¸y）在D上可积，数J称为函数f（x¸y）在D上的二重积分，记作其中f（x¸y）称为二重积分的被积函数，x，y称为积分变量，D称为积分区域。2.2二重积分的性质：若f（x¸y）在区域D上可积，k为常数，则kf（x¸y）在D上也可积，且若f（x¸y），g（x，y）在D上可积，则f（x¸y）g（x，y）在D上也可积，且若f（x¸y）在与无公共内点，则f（x¸y）在∪上可积，且=若f（x¸y）与g（x，y）在D上可积，f（x¸y）≤g（x，y），（x，y）ϵD则（5）若f（x¸y）在D上可积，则函数在D上可积，且（6）若f（x¸y）在D上可积，且则这里是积分区域D的面积（7）若f（x¸y）在有界闭区域D上连续，则存在（ξ，η）ϵD，使得，这里是积分区域D的面积。2.3二重积分的变量变换公式：2.3.1定理：设f（x，y）在有界闭区域D上可积，变换T：x=x（u，v），y=y（u，v）将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数x（u，v）,y(u，v)在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式∆则证明：用曲线网把∆分成n个小区域，在变换T作用下，区域D也相应地被分成n个小区域。记及的面积为及（=1,2,3…,n）.由引理及二重积分中值定理，有，其中（=1,2，…,n）.令=x，=y，则（，）ϵ（=1,2,3…,n）.作二重积分的积分和=.上式右边的和式是∆上可积f（x（u，v），y（u，v））|J(u,v)|的积分和.有由变换T的连续性可知，当区域∆的分割的细度‖‖→0时，区域D相应的分割的细度‖‖也趋于零.因此得到2.3.2二重积分的变量代换公式为设f(x,y)在平面的有界闭区域D上连续且(1)连续可微函数x=x(u,v),y=y(u,v)把D双方单值地变到区域(2)雅可比行列式在上成立，则2.4用极坐标计算二重积分2.4.1当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为时，采用极坐标变换（1）2.4.2结论：设f（x，y）满足定理2.3.1的条件，且在极坐标变换（1）下，xy平面上有界闭区域D与∂θ平面上区域∆对应，则成立2.5三重积分的概念2.5.1定义：设f（x，y，z）为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个确定的数。若对任给的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对于V的任何分割T，只要‖T‖<δ，属于分割T的所有积分和都有则称f（x，y，z）在V上可积，数J称为函数f（x，y，z）在V上的三重积分，记作或，其中f（x，y，z）称为被积函数，x，y，z称为积分变量，V称为积分区域。2.5.2性质：（1）有界闭区域V上的连续函数必可积；（2）如果有界闭区域V上的有界函数f（x，y，z）的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则f（x，y，z）在V上必可积。2.5.3定理若函数f（x，y，z）在长方体V=【a，b】*【c，d】*【e，h】上的三重积分存在，且对任何xϵ【a，b】，二重积分I（x）=存在，其中D=【c，d】*【e，h】，则积分也存在，且（1）证明：用平行于坐标面的平面网T作分割，它把V分成有限个小长方体设，分别为f（x，y，z）在上的上，下确界.对于上任一点，在上有现按下标j，k相加，则有及上述不等式两边是分割T的下和与上和.由于f（x，y，z）在V上可积，当‖T‖→0时，下和与上和具有相同的极限，所以由上式的I（x）在【a，b】上可积，且若把（1）式右边的二重积分可化为累次积分来计算，于是我们就能把（1）式左边的三重