节函数模型及其应用

1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)第二页第二页，共53页。(2)三种增长型函数之间增长速度的比较①指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长

xn的增长，因而总存在一个x0，当x>x0时有

.快于ax>xn第三页第三页，共53页。②对数函数y＝logax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)对数函数y＝logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有

.由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有

.logax<xnax>xn>logax第四页第四页，共53页。2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．第五页第五页，共53页。以上过程用框图表示如下：第六页第六页，共53页。 1．(教材习题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(

)A．f(x)>g(x)>h(x)

B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)

D．f(x)>h(x)>g(x)解析：在同一直角坐标系中，画出三个函数的图像易知B正确．答案：B第七页第七页，共53页。第八页第八页，共53页。解析：设甲、乙速度相同时时间为t0，在[0，t0]上，甲图像下的面积大于乙图像下的面积，故甲在乙的前方．答案：D第九页第九页，共53页。3．今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(

)t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01第十页第十页，共53页。解析：根据表格以t为横坐标，v为纵坐标在直角坐标系tOv中描出(1.99,1.5)，(3.0,4.04)，(4.0,7.5)，(5.1,12)，(6.12,18.01)五个点，并将其用平滑线连接易知，C最接近．答案：C第十一页第十一页，共53页。4．某航空公司规定，乘机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________．第十二页第十二页，共53页。答案：19kg第十三页第十三页，共53页。5．(2011·湖北高考)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000.此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．第十四页第十四页，共53页。答案：6

10000

第十五页第十五页，共53页。探究考向典例第十六页第十六页，共53页。第十七页第十七页，共53页。第十八页第十八页，共53页。第十九页第十九页，共53页。第二十页第二十页，共53页。[规律方法]………………►►(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图像与单调性求解．(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图像与单调性解决．提醒：在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．第二十一页第二十一页，共53页。1．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．第二十二页第二十二页，共53页。(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？第二十三页第二十三页，共53页。第二十四页第二十四页，共53页。第二十五页第二十五页，共53页。第二十六页第二十六页，共53页。第二十七页第二十七页，共53页。第二十八页第二十八页，共53页。(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1200,1225]，在t＝5时，y取得最大值为1225；在10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1200]，在t＝20时，y取得最小值为600.即第5天，日销售额y取得最大值为1225元；第20天，日销售额y取得最小值为600元．第二十九页第二十九页，共53页。[规律方法]………………►►分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．第三十页第三十页，共53页。2．(2013·丽水模拟)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．第三十一页第三十一页，共53页。解析：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x≥4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.第三十二页第三十二页，共53页。第三十三页第三十三页，共53页。所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)，乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．第三十四页第三十四页，共53页。

2010年10月1日起，我国开始第6次人口普查，假如某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210)第三十五页第三十五页，共53页。[解析]

(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)＝100×(1＋1.2%)3.…第三十六页第三十六页，共53页。x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N*)．(2)10年后人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.0121.20≈16(年)．因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人．

第三十七页第三十七页，共53页。[规律方法]………………►►在实际问题中的人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题一般用指数函数模型来表示，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式，利用指数运算与对数函数图像性质求解．第三十八页第三十八页，共53页。第三十九页第三十九页，共53页。(1)从药物释放开放，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间(t小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．第四十页第四十页，共53页。第四十一页第四十一页，共53页。关注思想方法第四十二页第四十二页，共53页。导数方法在几何问题中的应用从近两年的高考试题来看，建立函数模型解决实际问题是高考的热点，对导数方法在几何问题中的应用有考查，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题，解决问题的能力.第四十三页第四十三页，共53页。第四十四页第四十四页，共53页。(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.第四十五页第四十五页，共53页。第四十六页第四十六页，共53页。第四十七页第四十七页，共53页。第四十八页第四十八页，共53页。第四十九页第四十九页，共53页。第五十页第五十页，共53页。1．(2011·江苏高考，17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的