辽宁省辽阳市2023届高三二模数学试题

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一、单选题

1.已知集合，则（）

A．

B．

C．

D．

2.复数，则复数的实部和虚部分别是（）

A．3，2

B．3，2i

C．1，2

D．1，2i

3.已知抛物线的焦点为在抛物线上，且，则（）

A．2

B．4

C．8

D．12

4.若，，，则（）

A．

B．

C．

D．

5.已知是等比数列，则“”是“数列的公比为3”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

6.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为（）

A．

B．

C．

D．

7.如图，在正三棱柱，中，，在上，是的中点，则的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

8.已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

9.若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形均为正方形，则下列结论正确的是（）

A．在上的投影向量为

B．在上的投影向量为

C．在上的投影向量为

D．在上的投影向量为

10.某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有30张奖券，其中有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记表示甲中奖，表示乙中奖，则（）

A．

B．

C．

D．

11.正三棱锥的底面边长为3，高为，则下列结论正确的是（）

A．

B．三棱锥的表面积为

C．三棱锥的外接球的表面积为

D．三棱锥的内切球的表面积为

12.已知函数函数，则下列结论不正确的是（）

A．若，则恰有2个零点

B．若，则恰有4个零点

C．若恰有3个零点，则的取值范围是

D．若恰有2个零点，则的取值范围是

三、填空题

13.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，则这组数据的中位数是______

14.若，则的值可以是__________．

15.已知直线与圆交于两点，则的取值范围是__________．

16.已知函数，，且的最小值是．若关于x的方程在上有2023个零点，则的最小值是______

四、解答题

17.某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位专家进行初审．若两位专家的初审都通过，则予以录用；若两位专家的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位专家的初审，则再由另外的两位专家进行复审，若两位专家的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投稿的稿件能通过各位专家初审的概率均为，复审的稿件能通过各位专家复审的概率均为，且每位专家的评审结果相互独立．

(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(2)记X表示投到该杂志的3篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．

18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)证明：

(2)若，，求△ABC的面积．

19.在①2，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：设数列的前项和为，且__________．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

20.如图，在四棱锥中，底面为矩形，为棱上任意一点（不包括端点），为棱上任意一点（不包括端点），且．

(1)证明：异面直线与所成角为定值．

(2)已知，当三棱锥的体积取得最大值时，求与平面所成角的正弦值．

21.已知函数，其中为自然对数的底数．

(1)当时，曲线在处的切线方程；

(2)当时，恒成立，求的取值范围．

22.设双曲线的焦距为6，点在