第四章图像变换

数字（医学）图像处理Digital(Medical)ImageProcessing罗小刚生物工程学院第四章图像变换医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院图像变换增强概述和分类离散Fourier变换快速算法其它可分离图像变换医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院4.1概述和分类图像变换——图像转换到另一种空间处理，特有性质图像处理和分析的数学基础图像变换可分离变换统计变换Fourier变换(DFT)DCTWHTHTHotellingWavletTransform医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院4.2离散Fourier变换定义性质快速算法应用医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院4.2.12DFT

(TwoDimensionsFourierTransform）相位谱：R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部与虚部。能量谱：u,v--Frequencyvariable,|F(u,v)|--FourierSpectrum,医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院Fourier基函数0123456780481216(a)正弦分量（前1/2）0124567048121638(b)余弦分量（前1/2）医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院例：DFT的计算一维函数的四个采样值为f(0)=2,f(1)=3,f(2)=f(3)=4.f(x)全部值对FT都产生影响；反之，全部变换系数对反变换也产生影响。医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院4.2.2付立叶变换的性质

PropertiesoftheFourierTransform1.付立叶频谱的显示FourierSpectrumDisplay：

D(u,v)=log[1+|F(u,v)|] (5-5)2.可分离性SeparableProductF(u,v)=1/N

x

y

f(x,y)exp[-j2(ux+vy)/N] (5-6)=1/Nxexp[-j2ux/N]yf(x,y)exp[-j2vy/N] =1/NxF(x,v)

exp[-j2ux/N] 其中F(x,v)=N[1/Nyf(x,y)exp(-j2vy/N)]。医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院Fourier变换的分离性yN-1N-1f(x,y)0xN-1N-1F(x,v)0xN-1N-1F(u,v)0u行变换列变换vv医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院变换的基函数可分解：医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院频移性平移性付立叶变换的性质医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院频移性f(x,y)exp[j2(u0x+v0y)/N]F(u-u0,v-v0)当u0=v0=N/2时，

exp[j2(u0x+v0y)/N]=(-1)x+y

，则f(x,y)(-1)x+yF(u-N/2,v-N/2)频谱原点移到中心正向Fourier变换前需要进行数据处理医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院平移性f(x-x0,y-y0)F(u,v)exp[-j2(u0x+v0y)/N].|F(u,v)exp[j2(ux0+vy0)/N]|=|F(u,v)|图像平移不影响频谱医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院4.变换域的周期性Periodicity:T=N,F(u,v)=F(u+N,v)=F(u,v+N)=F(u+mN,v+nN).5.对称共轭性

ConjugateSymmetry:

F(u,v)=F*(-u,-v), |F(u,v)|=|F(-u,-v)|.旋转Rotation:

x=rcos

,y=rsin

,u=

cos

,v=

sin

.f(r,

+

0)

F(

,+0)，对连续、离散均成立。医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院注意观察对应关系医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院（1）相加性

F{f1(x,y)+f1(x,y)}=F{f1(x,y)}+F{f2(x,y)},F{f1(x,y)f2(x,y)}!=

F{f1(x,y)}F{f2(x,y)}.（2）尺度变换设a,b是两标量，

af(x,y)

aF(u,v), f(ax,by)

1/|ab|F(u/a,v/b).相加性与尺度变换医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院平均率和Laplacian9.Laplacian医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院空域和频率域之间的关系（1）卷积

f(x)*g(x)F(u)G(u),

f(x)g(x)F(u)*G(u),卷积定理医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院4.2.3快速算法1DFFT算法蝶形算法医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院原理医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院逐次加倍FFT来源：两点变换由两个一点变换算出，四点变换由两个两点变换算出，对于N等于2的整数幂都成立。Xm(p)Xm+1(p)Xm(q)Xm+1(q)WNr只要求一次复数乘法的简化蝶形图运算量分析医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院WN0WN0WN0WN2-1-1-1-1WN0WN0WN0WN2-1-1-1-1WN0WN1WN3WN2-1-1-1-1X(0)X(4)X(2)X(6)X(1)X(7)X(3)X(5)y(0)y(7)y(6)y(5)y(4)y(3)y(2)y(1)利用蝶形图构成的8点DFT的流程图医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院FFT要点迭代次数L=log2(N)排序乱序到正序:同址运算注:N为节点数,要求为2的幂值;m为迭代层;L为迭代次数医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院同址计算，输出正常次序，输入倒位序，序数的二进制码。节约内存

(n2n1n1)--(n0n1n2),x0(000)=x(000),x0(001)=x(100),x0(010)=x(010),x0(011)=x(110),x0(100)=x(001),x0(101)=x(101),x0(110)=x(011),x0(111)=x(111),X(n2n1n0)X(000)X(100)X(010)X(110)X(101)X(011)X(111)X(001)01111110000描述倒位序的树状图偶数取样在上半部，奇数取样在下半部。不断将离散付立叶变换分解成较小的离散付立叶变换造成序列x(n)倒位序。医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院FFT要点对偶节点K=k+2(m-1)权值计算令k=(n2n1n0)2,再将k=(n2n1n0)2

左移(L-m)位,右边位置补零,就可得到(r)2

的值，即(r)2=(k)22L-m注:N为节点数,要求为2的幂值;m为迭代层;L为迭代次数医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）,即N点DFT变换大约就需要N2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算医学图像处理讲义重庆大学生物工程学院在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要(N/2)2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2(N/2)2=N+N2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。

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