概率论与数理统计课件4

讨论随机变量的数字特征的意义前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数。例如，在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量；又如在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数；再如检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义。下面将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩．随机变量的数字特征数学期望方差协方差及相关系数矩、协方差矩阵返回退出本章小结习题例：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：甲射手击中环数8910概率0.30.10.6乙射手击中环数8910概率0.20.50.3试问哪个射手本领较好？解：设两个选手各射N枪，则有甲：8×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N平均甲射中9.3环，乙射中9.1环，因此甲射手的本领好些。离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量X的分布率为若级数绝对收敛，则称的和为随机变量X的数学期望（或均值），记为E(X)。即例1：求二项分布的数学期望。例2：求泊松分布的数学期望。例3：求几何分布的数学期望。例4：随机变量X取值求数学期望。引入连续型随机变量数学期望设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，x0<x1<x2<…<xn，则X落在[xi,xi+1)中的概率近似等于f(xi)(xi+1-xi)，因此X与以概率f(xi)(xi+1-xi)取值xi的离散型随机变量近似，而该离散型随机变量的数学期望为连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分绝对收敛，则称的值为随机变量X的数学期望（或均值），记为E(X)。即例5：随机变量X服从正态分布N(a,

2),求数学期望。例6：随机变量X服从指数分布求数学期望。例7：设X～U(a,b),求E(X)。例8：由两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1,2)服从同一指数分布，其概率密度为若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时计）N的数学期望。引入任何类型随机变量数学期望设随机变量X的分布密度函数为F(x)，x0<x1<x2<…<xn，则X落在[xi,xi+1)中的概率近似等于F(xi+1)-F(xi)，因此X与以概率F(xi+1)-F(xi)取值xi的离散型随机变量近似，而该离散型随机变量的数学期望为任何类型随机变量的数学期望设随机变量X的分布函数为F(x)，若积分绝对收敛，则称的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)。即考虑随机变量的函数Y=g(X)的数学期望随机变量的函数Y=g(X)的数学期望随机向量的函数g(X1,X2,…Xn)的数学期望随机变量的函数g(X1,X2,…Xn)的数学期望数学期望的性质数学期望性质的证明数学期望性质的证明数学期望性质的证明数学期望性质的性质例：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：甲射手击中环数8910概率0.30.10.6乙射手击中环数8910概率0.20.50.3试问哪个射手本领较好？解：设两个选手各射N枪，则有甲：8×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N平均甲射中9.3环，乙射中9.1环，因此甲射手的本领好些。问：那个射手技术稳定些？显然乙射手的技术稳定些。衡量技术稳定性，可以考虑用随机变量与其均值的偏离程度，如E{|X-E(X)|}或E{[X-E(X)]2}方差随机变量X的方差与数学期望有如下关系：D(X)=E(X2