概率论与数理统计(第一)课件

概率论与数理统计

10/17/20231关于本课程的一些要求及成绩分配1.上课纪律5%2.到课率5%3.作业（含课前回顾）20%4.期末考试70%2针对本课程教学的想法每次课前安排5-10分钟，请同学上讲台回顾上一次课所学的知识点定期进行小型测验，计平时成绩3排列组合回顾4例7人坐成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻，则有（）种排法。解根据插空原理，先将除了甲、乙、丙三人以外的四人进行一个排序，即为然后在五个空里任意选择三个空给甲、乙、丙三人，由于顺序不能改变则不需排序，即为那么最后结果就是5概率论与数理统计是研究随机现象统计性规律的一门学科。6目录第一章随机事件与概率第二章随机变量及其分布第三章随机变量的数字特征第四章多维随机变量及其分布第五章大数定律与中心极限定理第六章抽样分布第七章参数估计第八章假设检验第九章回归分析7关键词：

1.1随机事件

1.2随机事件的概率

1.3古典概型和几何概型

1.4条件概率

1.5事件的独立性第一章随机事件与概率目录8第一节随机事件返回第一章9一、随机现象确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定确定性现象不确定性现象——确定——不确定——不确定自然界与社会生活中的两类现象例：向上抛出的物体会掉落到地上明天天气状况

买了彩票会中奖10概率统计中研究的对象：随机现象的统计性规律对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。

它具有以下特性：可以在相同条件下重复进行事先知道可能出现的结果进行试验前并不知道哪个试验结果会发生

例：抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；二、随机试验11三、样本空间定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}，

称S中的元素e为基本事件或样本点．S={0,1,2,…}；S={正面，反面}；S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；S={x|a≤x≤b}记录一城市一日中发生交通事故次数例：一枚硬币抛一次记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y记录一批产品的寿命x12

一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。四、随机事件 事件：在概率论中，把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件。13如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不包含 任何样本点。

记A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…}A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。S＝{0,1,2,…}例：观察15路公交车财大浙院大站候车人数，14五、随机事件的集合表示例抛硬币试验样本空间S=｛正，反｝A=｛正｝，B=｛反｝基本事件C=｛正，反｝复杂事件基本事件：恰由一个样本点组成的事件复杂事件：由两个或两个以上的样本点组成的事件151、包含、相等例：记A={明天天晴}，B={明天无雨}记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}

SAB六、事件的关系及运算162、和（并）、积（交）SBASABSBA

A与B的和事件，记为

A与B的积事件，记为当AB=Φ时，称事件A与B不相容的，或互斥的。

17SAB

3、差、对立事件18交换率结合律分配率对偶律七、事件的运算性质19

“和”、“交”关系式例：设A={甲来听课}，B={乙来听课}，则：{甲、乙至少有一人来}{甲、乙都来}{甲、乙都不来}{甲、乙至少有一人不来}作业P241、2、320第二节随机事件的概率返回第一章21一、用频率估计概率(一)频率 定义：记 其中—A发生的次数(频数)；n—总试验次数。称为A在这n次试验中发生的频率。例：中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为 某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记

A={听课迟到}，则 #

频率 反映了事件A发生的频繁程度。22试验序号n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表1例：抛硬币出现的正面的频率实验者nnHfn(H)德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.5005表224**频率的性质：且随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．

25实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率。26

定义1： 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p

定义2：给每个事件A，都赋予一个实数P(A)，且满足：

称P(A)为事件A的概率。二、概率的定义27三、概率的性质28对于任一事件A，这是因为，任一事件A的频数m≥0，m≤n。对于有限个两两互不相容的事件即29例已知求：解：30第三节古典概型和几何概型返回第一章31一、古典概型定义：若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性)称这种试验为等可能概型(或古典概型)。32如果一次试验有n种可能的结果，且这n种结果出现的可能性都相同，而事件A包含了这n种可能中的k种可能，则事件A发生的概率为P(A)＝k／n，这种概率称为古典概率。例掷一枚骰子，求C＝{4,5,6}和D＝{4,6}的概率。解：掷一枚骰子出现的点数有6种可能，这6种点数的可能性是相同的，属于古典概型。其中C占了3种可能出现的情况，D占了2种可能出现的情况，故P(C)＝3／6，P(D)＝2／6。33例：在10000张奖券中设特等奖1名，一等奖2名，二等奖10名，三等奖100名，求购买1张奖券中奖的概率。解：n＝10000，k＝1＋2＋10＋100＝113P(A)＝k／n＝113／10000＝0.0113在古典概率的计算中，经常要用到排列和组合数的计算方法。[求古典概率的一般方法]⒈求出随机试验一共有多少种不同的结果n，如考虑顺序用排列数求，不考虑顺序用组合数求。⒉求出事件发生包含了多少种不同的结果k，⒊则P(A)＝k／n34例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A={摸到红球}，求P(A)．

解：S={1,2,…,8} A={1,2,3}35例2：从上例的袋中不放回的摸两球，

记A={恰是一红一黄}，求P(A)．

解：（注：当L>m或L<0时，记 ）例3：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件，

记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)．

解：36例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球数不限， 记A＝{恰有n个盒子各有一球}，求P(A)．

解：n12N①②……②12N①②①12N①②12N…… 即当n＝2时，共有N2个样本点；一般地，n个球放入N个盒子中，总样本点数为Nn，使A发生的样本点数 可解析为一个64人的班上，至少有两人在同一天过生日的概率为99.7%．若取n＝64，N＝36537例5：一单位有5个员工，一星期共七天，老板让每位员工独立地挑一天休息，求不出现至少有2人在同一天休息的概率。

解：将5为员工看成5个不同的球，

7天看成7个不同的盒子， 记A={无2人在同一天休息}，

则由上例知：38例6:(抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n．

设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球， 不放回地摸n次。 设{第k次摸到红球}，k＝1,2,…,n．求

解1：

①②…n①——a①②…n可以是①号球，亦可以是②号球……是号球

n号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．----------与k无关 可设想将n个球进行编号： 其中 视 的任一排列为一个样本点，每点出现的概率 相等。

39解3： 将第k次摸到的球号作为一样本点：此值不仅与k无关，且与a，b都无关，若a＝0呢？对吗？

为什么？总样本点数为，每点出现的概率相等，而其中有个样本点使发生，①，②，…，nS＝{}，①，②，…，a{}{红色}解2： 视哪几次摸到红球为一样本点解4：

记第k次摸到的球的颜色为一样本点： S＝{红色,白色}，

40

解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为212/712=0.0000003.例7：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?

人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。41

1、几个例子例1：某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间短于10分钟的概率(半点报时)。二、几何概型42

例2：如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架储藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？

例3：在40毫升自来水里有一个细菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现细菌的概率。432、定义若记A={在区域S中随机地任取一点，而该点落在区域g中}，则这一类概率称为几何概率。44

例4：甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去。求两人会面的概率。

解：以x和y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件为在平面上建立直角坐标系如图，

则

15601560Y=x+15Y=x-15453、几何概率的基本性质

（1）0P(A)1；（2）P(S)＝1；P()=0；（3）若，A1,A2,…An…两两互不相容，则

（可列可加性）。

46第四节条件概率与概率的三个基本公式返回第一章47一、条件概率例：抛两枚硬币，考察出现正面或者反面朝上的情况，则样本空间已知至少有一次是出现正面朝上，求至少有一次反面朝上的概率。解记事件A为“至少有一次出现正面”，事件B为

“至少有一次是出现反面”，则从而又已知事件A发生，则事件B发生的概率为BAS若记P(B|A)=x，则应有P(A):P(AB)=1:x解得：分析这是因为事件A的发生，排除了TT发生的可能性，这时样本空间也随之缩小，而在其中事件B只含有2个样本点，故事实上，以上条件概率还可以写成 定义：

由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。例如：50 当下面的条件概率都有意义时：二、乘法公式51

例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下 的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80% 的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产 品的报废率。∵AB与不相容利用乘法公式解：设A={生产的产品要报废} B={生