冀教版八年级数学下册 （正方形）新课件(第1课时)

第二十二章四边形22.6正方形第1课时

1课堂讲解正方形的定义正方形边的性质正方形角的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点正方形的定义做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．知1－导问题：什么样的四边形是正方形？正方形(square)是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.它既有矩形的性质，又有菱形的性质.知1－导知1－讲正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．要点精析(1)正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形；(2)正方形的四个角都是直角,说明正方形是特殊的矩形.即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．知1－讲例1

如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.求证：DE=BE.（来自《点拨》）本题要证明两条线段相等，而证明线段相等的方法有很多，根据题中所给的条件，由正方形ABCD，我们可以得到边相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得到比较多的条件的情况下，一般会想到用全等去解决，而本题中全等的条件也很充足，那么问题即可解决．分析：知1－讲（来自《点拨》）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90°．∴∠BAE+∠EAD=90°．∴EA⊥AF，∴∠BAE+∠FAB=90°．∴∠EAD=∠FAB．∴△ABF≌△ADE．∴DE=BF.证明：总

结知1－讲

知道正方形就说明它的四边都相等，四个角都是直角.知1－练（来自教材）如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CFED重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有多少个？请指出它们的位置.1共3个．分别是点D、点C和线段CD的中点．解：知1－练（来自《典中点》）下面四个定义中不正确的是(

)A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的

平行四边形叫做正方形D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2B知1－练（来自《典中点》）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(

)A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AD＝BCD．BC＝CD3D知1－练（来自《典中点》）【中考·兰州】▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．4AC＝BD2知识点正方形边的性质正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即：①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；②角：四个角都是直角.知2－讲知2－讲例2已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交

点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG

交AO于F，求证：EF∥AB.要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝45°，即要证明OE＝OF，而OE＝OF可通过证明△AEO≌△DFO获得．导引：（来自《点拨》）知2－讲（来自《点拨》）∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA.∴EF∥AB.证明：总

结知2－讲（来自《点拨》）通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．1已知：如图，四边形ABCD和BGFE都是正方形.求证：AE=CG.知2－练（来自教材）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°.∵四边形BGFE是正方形，∴BE＝BG，∠EBG＝90°.∴∠ABC－∠EBC＝∠EBG－∠EBC，即∠ABE＝∠CBG.∴△ABE≌△CBG.∴AE＝CG.解：

知2－练（来自《典中点》）正方形具有而矩形不一定具有的性质是(

)A．四个角都相等B．四条边相等C．对角线相等D．对角线互相平分2B知2－练（来自《典中点》）【中考·宁波】一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是(

)A．3B．4C．5D．63A知2－练（来自《典中点》）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为(

)

A.B．2C.＋1D．2＋14B【中考·毕节】如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(

)A．3

B．4

C．5

D．65B知2－练（来自《典中点》）知3－讲3知识点正方形角的性质例3

如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．线段BE是Rt△ABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解．导引：（来自《点拨》）知3－讲（来自《点拨》）∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.

又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF，∴FC＝BE.

在Rt△ABC中，AC∴FC＝AC－AF＝(－1)(cm)，∴BE＝(－1)cm.解：总

结知3－讲（来自《点拨》）

解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．如图，正方形ABCD的对角线AC为菱形AEFC的一边.求∠FAB的度数.知3－练1（来自教材）由题意可知∠CAE＝∠DAB＝45°.∵在菱形AEFC中，AF平分∠CAE，∴∠FAB＝∠CAE＝22.5°.解：如图，E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点，且CE=BD，AE交DC于点F.求∠AFC的度数.知3－练2（来自教材）连接AC，在正方形ABCD中，AC＝BD，AD∥BC，∠DAC＝∠ACD＝45°.∵BD＝CE，∴AC＝CE.∴∠CAE＝∠CEA.∵AD∥CE，∴∠DAF＝∠AEC.∴∠DAF＝∠CAE＝∠DAC＝22.5°.又∵∠ACF＝45°，∴∠AFC＝112.5°.解：知3－练【中考·河北】如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(

)3A（来自《典中点》）知3－练（来自《典中点》）【中考·郴州】如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是(

)A．7B．8C．7D．74C知3－练【中考·河南】我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为(

)A．(，1)B．(2，1)C．(1，)D．(2，)5D（来自《典中点》）1知识小结正方形同时具备平行四边形、菱形、矩形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．【中考·安顺】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为________．2易错小结易错点：不能将两线段和转化为一条线段而致错

请完成《典中点》Ⅱ、Ⅲ板块对应习题！第二十二章四边形22.6正方形第2课时

1课堂讲解正方形的对称性正方形的判定2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升相传，上古神话人物伏羲在黄河边行走，得到龙马送来的“河图”(如下图所示)，在洛水边又得到神龟送来的“洛书”.“河图”、“洛书”是几千年前的两幅图象，是正方形的图案，由点和线交织而成，充满了巧妙的数字关系，说明中华祖先很早对于几何和代数的研究.充分显示了中华祖先的聪明才智.

1知识点正方形的对称性知1－导OABCD(A)(B)(C)(D)正方形的对称性：正方形是中心对称图形，对称中心为点O；又是轴对称图形，有四条对称轴.知1－讲例1

如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC

＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别

交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a，

则重叠部分四边形EMCN的面积为(

)A.a2

B.a2

C.a2

D.a2D（来自《点拨》）作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，易得△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM＋∠MEQ＝90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵CA是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，知1－讲导引：（来自《点拨》）在△EPM和△EQN中，∴△EPM≌△EQN(ASA)，∴S△EQN＝S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝

a，∵EC＝2AE，∴EC＝

a，∴EP＝PC＝

a，∴正方形PCQE的面积＝

a×a＝

a2，∴四边形EMCN的面积＝

a2.知1－讲（来自《点拨》）总

结知1－讲

本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中，再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了割补法及转化思想．（来自《点拨》）知1－练（来自教材）已知：如图，正方形ABCD的两条对角线相交于点O，点M，N分别在OA，OD上，且MN∥AD.请探究线段DM和CN之间的数量关系，写出结论并给出证明.1知1－练（来自教材）DM＝CN.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OD，AD＝DC，∠DAM＝∠CDN＝45°.又∵MN∥AD，∴OM＝ON.∴AM＝DN.∴△AMD≌△DNC.∴DM＝CN.解：知1－练（来自教材）已知：如图，正方形ABCD的两条对角线相交于点O，E为OC上一点，AM⊥BE，垂足为M，AM与DB相交于点F.求证：OE=OF.2知1－练（来自教材）在正方形ABCD中，OA＝OB，∠BOC＝∠AOF＝90°.∵在Rt△AME中，∠EAM＋∠AEM＝90°，在Rt△AOF中，∠FAO＋∠AFO＝90°，∴∠AEM＝∠AFO.∴△AOF≌△BOE.∴OE＝OF.证明：知1－练（来自《典中点》）3【中考·南京】如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为________．13cm知1－练（来自《典中点》）4【中考·台州】小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(

)A．1次B．2次C．3次D．4次B知1－练（来自《典中点》）5将五个边长都为2cm的正方形按如图所示方式摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为(

)A．2cm2

B．4cm2C．6cm2

D．8cm2B2知识点正方形的判定思考正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？把它们写出来，并和同学交流一下，然后证明其中的一些结论.知2－导知2－导正方形矩形有一组邻边相等菱形有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角平行四边形有一个角是直角有一组邻边相等归纳知2－导正方形的判定方法：要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是先证明它是菱形(或矩形)，再证明这个菱形(或矩形)有一个角是直角(或有一组邻边相等)，其实质就是根据正方形的定义来判定，当然也可以先证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等并且互相垂直．（来自《典中点》）知2－讲例2[中考·铁岭]如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形．(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．（来自《点拨》）知2－讲（来自《点拨》）(1)利用平行四边形的判定方法首先得出四边形

AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的

性质得出∠ADB＝90°，即可证得结论；(2)利用等腰直角三角形的性质得出AD＝BD＝

CD，进而利用正方形的判定方法即可判定

矩形AEBD是正方形．导引：知2－讲（来自《点拨》）(1)证明：∵点O为AB的中点，OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴平行四边形AEBD是矩形．(2)解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD.∵由(1)得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．总

结知2－讲（来自《点拨》）本题运用演绎推理解答，(1)中根据对角线互相平分判定四边形AEBD是平行四边形，再由等腰三角形三线合一的性质证直角，从而判定四边形AEBD是矩形．(2)中添加条件后可证得矩形的一组邻边相等，即可判定该矩形是正方形．知2－讲例3如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E

是BD的延长线上的点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，

求证：四边形ABCD是正方形．要证▱ABCD是正方形，有三种途径可走：即在平行四边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的条件进行证明；若要证明▱ABCD是菱形，由于题中条件与对角线相关，则需证AC⊥BD.导引：知2－讲(1)首先根据平行四边形的性质可得AO＝CO，再由EA

＝EC可得△EAC是等腰三角形，然后根据等腰三角

形三线合一的性质可得EO⊥AC，根据对角线互相

垂直的平行四边形是菱形可证出结论；(2)首先根据角的关系得出AO＝DO，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结

论．（来自《点拨》）知2－讲(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，∠DAC＝∠EAD＋∠AED，∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形.（来自《点拨》）证明：总

结知2－讲证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：(1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”；(2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”；(3)证：“矩形＋对角线互相垂直”；(4)证：“菱形＋对角线相等”．（来自《点拨》）1如图，把一张矩形纸片折叠，把重叠部分剪下来，展开后可以得到一个怎样的四边形？为什么？知2－练（来自教材）正方形．因为有三个角是直角，所以是矩形，由折叠可知一组邻边相等，所以是正方形．解：知2－练（来自《典中点》）2【中考·黑龙江】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件___________________________，使四边形ABCD是正方形．∠BAD＝90°(答案不唯一)知2－练（来自《典中点》）3【中考·益阳】下列判断错误的是(

)A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正

方形D知2－练（来自《典中点》）4【中考·河北】关于▱ABCD的叙述，正确的是(

)A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形C知2－练（来自《典中点》）5【中考·日照